在Akbar和Gabeleh（2013）最近的论文中，通过使用-性质，证明了从不动点理论中已有的相关结果的版本中可以得到关于最佳邻近点的存在唯一性的一些最新结果。沿着同样的思路，本文证明了这些结果可以在较弱的条件下获得，即弱-属性。
1.简介和序言
让和是度量空间的两个非空子集.签署人和，我们表示以下集合：哪里.
定义1。让和是度量空间的一对非空子集然后让成为一个映射。有人会这么说最接近如果
在[1]，作者介绍了-属性如下。
定义2（参见[1]).让是度量空间的一对非空子集具有然后，这对据说有-属性if哪里,和,.
最近，Zhang等人[2]引入弱者-属性。
定义3（参见[2]).让是度量空间的一对非空子集具有然后，这对据说有-属性if哪里,和,.
很明显，如果一对有-属性，则它具有弱-属性。在[2]，作者建立了一些例子来证明上述陈述的逆命题是错误的。
在文献中，出现了大量的不动点定理来推广、扩展和改进著名的Banach收缩原理。其中，我们给出了其中两个结果作为示例，并证明了它们在最佳邻近点理论背景下的版本可以作为不动点理论设置中结果的结果进行推导。
让表示所有函数的集合满足要求的是连续的，并且不会减少；是肯定的和.
定理4（参见[3]).让是一个完整的度量空间，并且满足条件的算子哪里满足要求的.然后，有一个唯一的固定点。
备注5。注意定理4如果我们去掉以下假设，则仍然有效.
定义6。让表示所有函数的族满足要求的对于每个，其中是第次迭代.不会减少。
备注7。A函数，，在文献中称为比较函数或Bianchini-Grandolfi规范函数[4]. 此外，很容易看出，这些函数满足条件
2012年，罗马圭拉[5]证明了以下不动点定理在部分度量空间中的相似性。很明显，其公制版本仍然正确。
定理8（参见[5]).让是一个完整的度量空间，并且满足条件的算子哪里和然后，有一个唯一的固定点。
2.主要成果
我们从以下引理开始这一节，该引理隐含地出现在[2]. 我们证明了这个引理，因为本文是自包含的。
引理9。让是完备度量空间的一对非空闭子集.假设以下条件成立：（i）;（ii）这对有弱者-财产。然后已关闭。
证明。我们有由于假设.让是这样的序列.我们将证明事实上，因为，我们找到一个序列这样的话利用弱者-属性，我们推断作为是中的Cauchy序列；从不等式(10)，我们推导出序列是中的Cauchy序列因此，自是闭合的，我们推断毫无疑问.
最后，通过度量的连续性与(9)，它给了我们因此，.
引理10。让是完备度量空间的一对非空闭子集.假设以下条件成立：（i）;（ii）这对有弱者-属性；（iii）是一个连续映射.那么，我们有.
证明。足以证明如果，然后事实上，因为，我们可以找到一个序列这样的话.由于（iii），我们.自映射以来是连续的，并且由引理封闭9，我们得出结论.
在陈述本文的主要结果之前，我们需要回顾Sankar Raj的主要结果[1].
定理11。让是完备度量空间的一对非空闭子集具有.让成为令人满意的映射哪里假设这一对有-财产和.然后，有一个独特的最佳接近点。
现在，我们介绍本文的主要结果。如果在定理中11我们更换-弱者的财产-属性，我们得出以下结果。
定理12。定理11在弱者的假设下-属性而不是-属性是定理的结果4.
证明。假设定理的所有条件11在弱者的假设下实现-属性而不是-属性。我们首先注意到是连续的，因为对于任何因此，通过引理10，我们有.
接下来，我们定义一个运算符通过这样的话.作为，我们可以找到这样的话此外，是一个定义良好的映射。相反，假设存在另一个这样的话通过使用这对有弱者-属性，我们推导出因此，.
现在，我们考虑操作员.在续集中，我们将证明操作员满足定理的所有假设4。请注意是一个完整的度量空间，因为已关闭。
另一方面，我们有对于.作为一对有弱者-属性，我们从中推断(14)那个关于(11)，我们推导出对于任何,.
因此，根据定理4，存在唯一的不动点属于也就是说，。根据定义，我们因此，是映射的最佳接近点这就完成了证明的存在部分。
我们会证明的是地图上独一无二的最佳距离相反，假设是另一个最接近地图的地方。因此，我们还有此外，考虑到操作员的定义，这意味着因此，是的固定点.通过不动点的唯一性，我们推断，这就完成了证明。
定理4强加定理11因为我们使用了一个较弱的条件，即较弱的概念-属性。
定理13。让是完备度量空间的一对非空闭子集具有.让是满足条件的连续映射哪里和假设这一对有弱者-财产和.然后，有一个独特的最佳接近点。
通过使用定理中使用的相同技术12，我们导出定理13.
定理14。定理13是定理的结果8.
为了避免重复，我们省略了定理的证明14.
备注15。注意在定理中14，我们假设自收缩状态以来是连续的(20)出现在定理中13并不意味着.
推论16。让是完备度量空间的一对非空闭子集具有.让是一个连续映射，满足哪里和假设这一对有弱者-财产和.然后，有一个独特的最佳接近点。
我们跳过了映射后的证明没有减少，因此我们得到因此，推论16是定理的结果13.
备注17。推论16可以被视为定理的部分版本 第20页，共页[6].
利益冲突
提交人声明他们没有利益冲突。
作者的贡献
所有作者在写这篇论文时都做出了同等重要的贡献。所有作者阅读并批准了最终论文。
确认
作者感谢评审人员的仔细评审和有用的评论。
