我们回顾了塞弗特光纤空间定理的证明历史，以及它在3流形拓扑中的动机及其推广。
1.简介
读者应该熟悉3流形的拓扑结构。基础课程可以在参考书中找到（参见[1–三]).
在低维流形（维数至多为3）的拓扑中，基本群，或，起着关键的作用。一方面，2流形和3流形的几个主要拓扑性质可以根据基本群的性质重新表述，另一方面，在一般情况下完全决定了它们的同胚类型。那个通常根据它们是泛型这一事实来确定它们的同伦类型（即其通用覆盖空间是可收缩的）；同伦类型一般决定同胚类型，这似乎是一个刚性性质，或者非正式地是因为缺乏维数阻止了过多流形的存在，这与高维相比。
长期以来，表面的这一点众所周知；三维流形研究的进展表明，它在维数3上仍然是全局正确的。例如，人们可以想到Poincaré猜想、Papakyriakopoulos的Dehn和球面定理、环面定理、Haken流形的刚性定理或双曲3-流形的Mostow刚性定理，等等。它为他们的研究提供了某种共同的范式，与组合和几何群理论密切相关，而组合和几何群论已经发展成为一门独立的学科：低维拓扑，在更一般的流形拓扑.
关于这个主题的第一本参考书起源于年轻学生塞弗特在Threlfall教授的代数拓扑课程中所做的注释笔记。1933年，塞弗特引入了一类特殊的3流形，称为塞弗特歧管或塞弗特光纤空间它们已经被广泛研究和理解，并对现代3流形的理解产生了巨大影响。它们适合许多优良的特性，其中大多数自塞弗特的深入研究以来就已为人所知。
然而，它们的主要特性之一，即所谓的塞弗特光纤空间定理这是一个由来已久的猜想，直到大约二十年来，瓦尔多森、戈登和海尔、雅科和沙伦、斯科特、梅斯、图基亚、卡森和容雷斯以及加拜的大量集体工作才完成了它的证明。它已成为用于3歧管。
Seifert光纤空间猜想表征了Seifert纤维空间具有无限大根据基本群的一个性质，在可定向不可约3-流形类中：它们包含一个无限循环正规子群。随着我们的进一步解释，它现在已经成为理解（紧）3-流形的一个重要定理。
我们在这里回顾了理解Seifert光纤空间定理的3-流形的动机和应用，它对不定向3-流形和PD（3）群的推广，以及证明它的各种步骤。
2.塞弗特光纤空间定理及其应用
2.1、。塞弗特光纤空间综述
赛弗特纤维空间最初出现在赛弗特的一篇论文中[4]; 它们构成了一大类3-流形，并通过一组有限的不变量进行了完全分类。自那以后，它们在文献中广泛出现，因为它们在紧致3流形拓扑中起着核心关键作用，并且现在（以及自Seifert的原始论文以来）非常著名和被理解。它们允许开发3流形拓扑中的核心概念，如JSJ分解和瑟斯顿几何化猜想。
2.1.1. 塞弗特光纤空间
让和是两个3流形，每个流形是一组简单闭合曲线的不相交并，称为纤维.A型纤维保持同胚从到是一个同胚，它发送在一根纤维上; 在这种情况下和据说是保纤维同胚.
让表示复合平面中的单位圆盘。一个纤维实心环面是从以下位置获得的通过识别底部和顶部磁盘和通过同胚进行一些旋转带角度可与…相称.因此有一个有限的顺序，使得识别出区间并集后的图像：对于，生成一组纤维。什么时候？有订单核心纤维，图像称为例外，否则称为常规；所有其他纤维都是规则的。
在Seifert的原始定义中（H.Seifert介绍Seifert纤维空间的原始论文的英文版本（W.Heil从德语翻译而来），除其他外，他对其进行分类并计算其基本群[5])，闭3-流形的圆的纤维是一种分解为简单闭合曲线的不相交并集的方法，这样每个纤维都有一个保持同胚于纤维实心环面的邻域纤维。对于纤维，规则或例外既不依赖于保持纤维的同胚，也不依赖于所涉及的邻域。
该定义自然扩展到具有非空边界的紧致3流形。它要求边界是纤维的不相交结合；因此，边界中的所有成分都是用欧拉特征0封闭的，只能由托里瓶和克莱因瓶组成。
塞弗特纤维是由圆圈形成的叶状结构；相反，对于可定向的3流形，情况也是如此：这是爱泼斯坦的结果[6]在所有紧凑的可定向3流形中，可定向Seifert纤维空间的特征是允许通过圆进行叶理化。
对于不可定向的3流形，这两个概念不一致，因为圆的叶理可能是局部纤维保持同胚的纤维固体克莱因瓶。一个纤维实心克莱因瓶来自通过识别和通过同胚得到的流形是不可定向的，边界是克莱因瓶，并且自然地被圆叶化。这些特殊的纤维是对所有人来说; 它们是非孤立的，位于规则纤维是所有纤维的图像为所有人; 它们围绕特殊纤维缠绕了2次（参见图1)。
现代的考虑已经指出，需要扩大Seifert的原始定义，以便将此现象包含在不定向3流形中。用一个更现代的术语来说，紧凑的3流形是一个塞弗特纤维空间，只要它允许通过圆圈形成叶理。我们将讨论Seifert捆绑包以强调细微差别。这是爱泼斯坦结果的一个结果，即这种流形是那些分解为不相交的纤维联合体的流形，所有纤维都具有与纤维实心环面或纤维实心克莱因瓶同胚的邻域纤维，后者仅出现在不定向流形中。
如上所述，给定3流形的塞弗特纤维，所有纤维都分为两部分，仅取决于纤维：常规纤维和特殊纤维；后者可以是孤立的，也可以是非孤立的。让成为塞弗特捆绑包；给出了塞弗特的谎言，通过将每根纤维识别到一个点而获得的纤维空间是一个表面，调用了基础纤维的长度。这个表面自然具有球形结构。其奇点仅由有限数量的锥点（孤立异常光纤的图像）和有限数量的反射器圆和线（非孤立异常光纤图像）组成。这个基orbifold是Seifert fibration的不变量。
在涉及球形体的现代术语中，Seifert束是3个球形体范畴中的3个流形，它们是二维球形体上的圆形束，没有角反射器奇异性。这将产生第二个不变量，与束关联的Euler数（参见[7]).
2.1.2. Seifert光纤空间的一些拓扑性质
塞弗特包是二维球面上的一个圆束，因此纤维提升到通用覆盖空间属于通过圆形物上的圆圈或线条形成纤维没有适当的覆盖。当纤维是圆形时，只能最多有2个圆锥体点。在这种情况下通过在其边界上粘贴两个纤维实心圆环获得，因此它是一个透镜空间，因此其通用覆盖空间只能是或.当纤维是线时只能是其中之一或和同胚于或（请参见[7]详细信息）。
命题1。Seifert束的普适覆盖的总空间同胚于,或此外，塞弗特纤维通过线条（前两种情况）或圆圈（后一种情况）将万能覆盖物中的纤维提升为叶理。
回忆一下3流形是不可约的当每个球体嵌入界外球。不包含任何嵌入双面的不可约3-流形据说是-不可简化的。现在根据亚历山大定理和是不可约的，因此任何3-流形都被或是-不可简化的。所以只有--不可约Seifert束被覆盖，并且这种流形非常少（参见[8]); 我们可以得到以下结果。
定理2。除以下情况外,、和，Seifert束是不可约的。唯一不可约和非--不可约Seifert纤维束.
A 3歧管据说是哈肯如果是-不可约且是或包含正确嵌入的双面不可压缩曲面考虑基orbifold中的一条双边简单曲线，该曲线仅由非奇异点组成，并且是闭合的或其两端位于边界上。只要该曲线的一侧没有绑定至多有一个锥点的圆盘，其预成像就会生成一个正确嵌入的双面不可压缩曲面。
定理3。除了透镜空间，,,、和，Seifert包要么是Haken，要么有底座和3种特殊纤维；在最后一种情况下Haken是当且仅当是无限的。
请注意-不可约3-流形其第一个同源群无穷大包含一个双面适当嵌入的不可压缩曲面，因此是Haken；然而，存在Haken 3-流形具有有限的第一同源群（实例可以通过对节点执行Dehn封闭来构建）。
2.1.3. 的循环正规子群Seifert光纤空间
流形上Seifert纤维的存在性对其基本群体有很强的影响。我们已经看到纤维提升到通用覆盖空间以圆形或线条为基础形成叶状结构.的操作到上面保留叶理的圆圈或线条，以便引起到上面它定义了同态从关于orbifold基本群属于.内核由那些在上充当身份的元素组成或同等保护所有纤维.因此可自由作用于每根光纤。万一由绳索构成，是无限循环的。万一是,是有限循环的，并且是有限的。最后，由于覆盖层限制在覆盖,由任何常规纤维生成。
定理4。让是一个底部呈圆形的Seifert束。然后有一个简短的精确序列：哪里是由任何规则光纤生成的循环子群。此外在任何时候都是无限的是无限的。
特别是来自以及同态（请注意具有1级或2级），可以推导出任何塞弗特束的有限表示，这与其塞弗特纤维密切相关（参见[5,7,9]).
2.2。塞弗特光纤空间定理
2.2.1. 塞弗特光纤空间定理的表述
如上所述，塞弗特丛的无限基群包含一个正规的无限循环子群。Seifert光纤空间定理（或S.f.S.t.）使用了在无穷大可定向不可约3流形类中刻画Seifert纤维空间可以这样说。
定理5（塞弗特光纤空间定理，20世纪90年代）。让是一个可定向不可约的3-流形，其是无限的，并且包含一个非平凡的正规循环子群。然后是Seifert光纤空间。
它已经成为许多拓扑学家共同工作的一个定理：对于Haken情形：Waldhausen（其群具有非平凡中心的Haken流形是Seifert纤维的[10])Gordon和Heil（在Haken案中部分获得S.f.S.t：要么是Seifert光纤空间或通过粘贴两份扭曲的-束[11])以及Jaco和Shalen（哈肯案例中S.f.S.t.的证明结束；但几乎是著名的Jaco-Shalen-Johansen定理[12]); 对于非Haken情形：Seifert纤维空间的刚性定理Scott[13]，Mess（简化了S.f.S.t.的证明，以证明圆的收敛群实际上是曲面群[14]，未发表），Tukia（部分解决了收敛群猜想[15])Casson和Jungreis（通过给出Tukia剩余案例的解决方案，独立提供替代解决方案；他们推导出S.f.S.t[16])和Gabai（证明了圆的收敛群是fuchsian群；在这种情况下，他推导了S.f.S.t.、环面定理和几何化[17]); 对于可定向非Haken情形，也可以引用Maillot（证明了单连通完备黎曼曲面的拟度量群实际上是曲面群[18]并扩展了Mess等人的策略，以恢复3个球体的S.f.S.t.和3个流形的推论S.f.st[19])和Bowditch（给出了S.f.S.t.的独立证明；它推广到PD（3）群[20])他提供了另一个证据，包括Mess未公布的关键结果。
它被Whitten推广到了不可定向的情况。
定理6（Seifert Bundle定理，（S.f.S.t.推广到不定向情况）[21]).让成为-不可约3-流形who是无限的，并且包含一个非平凡的循环正规子群。然后是Seifert包。
进一步，Heil和Whitten将该定理推广到了不可定向不可约3-流形（参见不可定向的不可约非--S.f.S.t的不可约性。在这种情况下，他们推导了环面定理和几何化（模伪也就是说，对庞加莱猜想取模。）[22]); 参见定理9.
我们还可以注意到，这两个定理可以用几种方式加以推广：对于开放的3-流形和3-orbifold[19]，对于PD（3）组[20]或者通过削弱正常的存在条件通过存在一个非平凡的有限共轭类（S.f.S.t.中的条件是该群包含正规可以被包含非平凡有限共轭类的条件削弱，或者等价地，它的Von Neumann代数不是类型因子它也适用于PD（3）组[23]).
2.2.2. 所涉及假设的解释
现在我们来讨论这些定理的假设。（i）将球面定理与代数拓扑的经典参数结合使用，可以看到-无限不可约流形有一个无挠基团。因此，在这两种推测中，可以替换： “…谁的是无限的，并且包含一个非平凡的正规循环子群。”签署人： “…谁的包含正规无限循环子群。”（ii）不可约可定向3流形? 可定向Seifert光纤空间要么是不可约的，要么是同胚的或至作为Kneer-Milnor定理的结果，一个可定向的不可约3-流形谁的包含非平凡正规循环子群，或具有不可约和简单连接，或其是无限二面体群用庞加莱猜想（现在由佩雷尔曼提出）是从以下位置获得的,或者从一个不可约的3流形中去掉有限数量的球。因此，结果如下。
定理7。让是一个可定向的不可约3-流形，其包含无限循环正规子群。然后通过填充所有球体得到流形有球的是赛弗特纤维空间。
（i）不可约和不可约--不可约3-流形? 不定向Seifert光纤空间是-不可约或或.一大类不可约的，非--不可约3-流形不允许Seifert分支，而它们的包含作为正常子群。我们将看到，尽管如此，通过考虑海尔和惠顿所称的塞弗特束模型，结果在这种情况下也得到了推广.（ii）那么有限的3流形呢? 根据Kneser-Milnor分解，这样的流形在最终用球填充边界中的所有球并用球替换所有同伦球之后，变得不可约。注意，作为Dehn引理的结果，它们的边界只能包含和.唯一不可定向不可约3-流形是（D·爱泼斯坦的研究结果，参见[三]定理9.5和9.6）。已知的有限可定向不可约3流形变成椭圆流形，所有的流形都是Seifert纤维的，正交化猜想（参见第2.3.3节，由Perelman的工作证明）对此作出了声明，其结果之一是Poincaré猜想，即所有同伦球都是实球。因此，由来已久的猜想已成为一个定理。
定理8（正交化猜想的结果，2000年）。具有有限元的3流形当可定向且当不可定向时。
2.3. 动机
三维拓扑中的三个重要问题促成了塞弗特光纤空间猜想（简称S.f.S.c.）的诞生。首先是中心猜想（1960年代），然后是环面定理猜想（1978年），最后是瑟斯顿的几何化猜想（1980年代）。
2.3.1. 中心猜想
这是Kirby三维拓扑问题列表中的问题3.5[24]这被归因于瑟斯顿。
中心推测.让是具有无穷大的可定向不可约3-流形有一个重要的中心。然后是Seifert光纤空间。
该猜想是Seifert纤维空间定理的直接推论，因为群的中心有任何循环子群在中正常.
它首先被观察到并证明是结补体：Murasugi[25]和Neuwirth（交替结中心猜想的证明[26])1961年，对于交替结，然后是Burde和Zieschang（证明结补码的中心猜想：那些具有中心复曲面结是补码吗[27])1966年的所有节。1967年Waldhausen[10]证明了Haken流形的更一般的情况。这一证明是在90年代用塞弗特纤维空间定理实现的。
从Seifert纤维空间的表示可以看出当且仅当基座可定向时，可定向Seifert光纤空间的中心。具有无穷大的Seifert光纤空间有一个不可定向的底座有一个无心包含一个非平凡的正规循环子群。S.f.S.c.从这个意义上推广了中心猜想。
2.3.2条。圆环定理猜想
长期以来所谓的“环面定理猜想”断言如下。
圆环定理猜想.让是一个有向不可约3-流形包含作为一个子组。然后要么包含不可压缩圆环或是一个（小）Seifert光纤空间。
Waldhausen于1968年（于[28]（Haken流形环面定理的公告），由Feustel于[29,30])。请注意，与理论足够大Haken在60年代开发的3-流形，这个部分结果最终导致了雅各布·沙伦·约翰森Haken 3-流形的分解（1979，参见[12]).
该猜想的完全通用性证明简化为S.f.S.c的证明，有助于斯科特1978年证明的“强环面定理”（“强环面的定理”）[31]).
强环面定理.让是一个可定向不可约的3-流形，其中包含作为一个子组。然后要么包含不可压缩圆环，或包含一个非平凡的正规循环子群。
利用强环面定理，环面定理猜想是塞弗特光纤空间定理的推论。
2.3.3. 几何化猜想
三维拓扑中的一个主要问题是三维流形的分类。19世纪初，对表面进行分类有助于欧拉特征。庞加莱的二重性（参见[2])结果是，对于任何闭合的3流形，欧拉特征消失为0；维度2中使用的技术不能应用于维度3。
拓扑曲面继承了黎曼几何的更多结构。黎曼的一致化定理表明，它们可以被赋予一个完全的常曲率黎曼度量，因此它们都是作为三个二维几何空间之一的商空间出现的：欧几里得空间，椭圆形、和双曲线通过自由行动的离散等距子群。
这种性质不能推广到3维，因为存在已知的障碍：例如，非简单连通3流形的连通和不能在其中一个几何空间上建模,、和; 否则，一个基本领域将被提升为一个基本范围或(由于无限大），但和都是同胚的根据亚历山大定理，不包含任何基本球体。
然而，这一事实推广到3维，有助于3流形的拓扑分解。任何可定向的3-流形都可以沿着基本曲面规范地切割：球体（Kneser-Milnor）、圆盘（Dehn引理）和圆环（Jaco-Shalen-Johanson），这样得到的块都是不可压缩边界的不可约块，或者是Seifert纤维空间，或者不包含任何不可压缩圆环。
瑟斯顿几何化猜想认为，在可定向3-流形的拓扑分解中得到的所有片段都可以在其内部赋予一个完全的局部齐次黎曼度量，或者等价地，它们的内部是一个离散的齐次黎曼单连通3-流形商等距子组自由活动。
瑟斯顿证明了在3维中有八种均质（非必然各向同性）几何：三种各向同性几何，椭圆，欧几里得、和双曲线，两种产品几何，和和三个扭曲的几何体，无,溶胶和通用盖属于（参见[7]).
事实证明，以六种几何形状中的一种为模型的可定向3流形,,,,无、和正是塞弗特光纤空间（所涉及的几何形状仅取决于基的欧拉特性和束的欧拉数e，见定理 5.3.ii英寸[7])。由此可知，其等距群的所有离散子群都通过基本拓扑空间的线或圆来保持叶理,或.
证明几何化猜想的策略自然而然地被理解为三个猜想。
猜测.让是一个可定向不可约的3-流形。(1)（正交化猜想）。如果是有限的，那么是椭圆形的。(2)（S.f.S.c.）。如果是无限的并且包含一个非平凡的正规循环子群是Seifert光纤空间（S.f.S.c.）(3)如果是无限的并且不包含非平凡的正规循环子群可以几何化。
用强环面定理[31]第三个猜想简化为猜想2，并考虑以下两种情况不包含以及何时包含一个不可压缩的环面。在后一种情况下，JSJ分解定理适用。在七种非双曲几何体之一上建模的流形，除少数例外情况外，都有一个包含最后，猜想3简化为猜想2和以下猜想。（4）（双曲化猜想）。如果是无限的并且不包含然后是双曲线。
瑟斯顿通过证明以下内容，证明了哈肯流形的猜想是正确的。
瑟斯顿双曲化定理.任意具有无穷大的Haken流形不包含不可压缩圆环的是双曲线。
确实是有限的Haken 3-流形Haken流形是一个球，根据Thurston的双曲化定理和Haken流的Seifert纤维空间定理，Haken 3流形的几何化猜想成立。
要证明所有情况下的几何化猜想，只需证明非Haken定向3流形的正交化猜想、S.f.S.c和双曲化猜想。
因此，S.f.S.c.似乎是几何化猜想的三个部分之一，即该猜想适用于可定向不可约3-流形，其包含无限循环正规子群。这是一个通常被认为是最容易的，并且是第一个被证明的。Perelman等人利用Ricci流（参见[32]).
3.S.f.S.定理证明的历史
证明这个猜想的进展如下。
3.1. 哈肯东方案：1967–1979
在1967瓦尔德豪森和费斯特尔[10,29,30]表明Haken 3-流形具有具有非平凡中心当且仅当它是具有可定向基础的Seifert光纤空间时。当循环正规子群是中心子群时，它激发了S.f.S.c.并解决了Haken情况。结果由Waldhausen于年宣布[10]Feustel的两篇论文中都有证据[29,30].
在1975Gordon和Heil[11]在Haken案例中部分显示S.f.S.c.：Haken流形谁的包含一个无限循环正规子群，它要么是一个Seifert空间，要么是通过粘贴扭曲的两个副本获得的-沿着不可定向的表面捆绑。因此，他们将剩余的Haken情形简化为这个3流形情形。
在1979、杰科和沙伦[12]和MacLachlan（未发表）独立完成了剩余Haken 3-流形的证明。
3.2. 非哈肯定向案例：1979-1994
利用已经证明的Haken情形，将自己限制在封闭的3-流形上就足够了。证明工作分为几个主要步骤。
在1983，斯科特[13]通过推广Waldhausen在Haken情况下的结果，显示了Seifert纤维空间刚性的强结果。
让和是两个闭的可定向不可约3-流形具有无穷大的Seifert光纤空间.如果和那么是同构的和都是同胚的。
注意，利用球面定理和代数拓扑的经典自变量，和是和条件”和同构的“可以替换为”和它们具有相同的同伦类型。”
这将塞弗特光纤空间定理的证明简化为涉及基本群的类似陈述。推测如下。
（S.f.S.c.）如果是一个封闭的可定向3流形包含无限循环正规子群，则是一个封闭的可定向Seifert光纤空间。
斯科特也表示是一组封闭的可定向Seifert光纤空间当且仅当是二维闭球面的基本群（最终不可定向）；在引理15.3中给出了另一个证明 [20]. 最后，他将塞弗特光纤空间定理的证明简化为以下猜想的证明。
（S.f.S.c.）如果是一个封闭的可定向3流形包含无限循环正规子群，则是（封闭的）2-球面的基本群。
迟到20世纪80年代、Mess[14]在一篇未发表的论文中证明了这一点。
让闭可定向且不可约包含无限循环正规子群。那么（i）覆盖关联到同胚于开放流形;（ii）覆盖作用在引起几乎处处明确的行动：遵循其术语是欧几里德或双曲平面的粗拟计量；（iii）在这种情况下是欧几里德平面的粗拟几何，则它是2-球面的群；因此，（斯科特的结果）是Seifert光纤空间；（iv）在其余情况下，其中是双曲平面的粗拟计量，在无穷远处诱导圆上的一个动作，这使得收敛群。
一个收敛群是一个组通过在圆上保持方向的同胚作用，这样如果表示一组有序三元组：,，使用以该顺序出现在在直接意义上在自由且适当不连续。
通过Mess的工作，S.f.S.c.的证明简化为：
（收敛群猜想）。收敛群是2-orbifold的基本群。
在1988，Tukia秀（请参见[15])一些收敛组（当是非紧的，并且没有阶数大于3）的扭转元件为Fuchsian群，尤其是2个眼眶。
在1992、Gabai秀（参见[17])独立于其他作品，并且在总体上，收敛群是Fuchsian群。他们采取行动，直到变戏法，作为对他们的自然行为这证明了S.f.S.t。
在1994同时，卡森和容雷斯展示了Tukia遗留下来的病例（参见[16])。这与S.f.S.t的Gabai无关。
证明了塞弗特光纤空间定理，并遵循中心猜想、环面定理和三个几何化猜想之一。
在1999后来，鲍迪奇获得了S.f.S.c的不同证明（参见[20])。它的证明推广到其他类型的群，如PD（3）群（上同调维数的FP型群其上同调群满足某种类似于3-流形的Poincaré对偶的关系；据推测，它们与第个，共个，已关闭-无限不可约3-流形; 参见[20]).
在2000在他的论文中，Maillot扩展了Mess的技术，在更一般的开放3-流形和-眼眶。这个结果是已知的S.f.S.c.（如Mess等人所证明的）和Thurston-orbifolds定理的结果，其优点是不使用任何这些结果就可以证明，并且作为推论，可以完整地证明S.f.S.c.和Mess技术。
在2003梅洛特于年提出了梅斯的论点[19]其中，他将群化为拟计量到黎曼平面，并在[18]它们实际上是表面基团（因此也是紫红色基团）。
3.3. 不可定向案件：1992-94
在不可定向的情况下，S.f.S.c.的解可以追溯到Whitten，由Whiten和Heil改进。
在1992惠顿证明了[21]非伪的不可定向和不可约3-流形的S.f.S.t和谁的不包含任何他特别获得了-无法简化的情况。
1994年，海尔·惠顿[22]刻画那些不含伪的不可定向不可约3流形和谁的包含法线子组和可能的：他们叫他们Seifert束国防部 ; 它们构成了一个比塞弗特丛更大的类。考虑歧管从两份通过连接的磁盘和，即通过粘合沿着和每个副本的一个边界组件（见图2). 它是一个不可约的不可定向3流形，其边界由两个流形构成和一个克莱因瓶。它的基本群是无限二面体群，其中包含唯一的无限循环正规子群。边界中的克莱因瓶包含一个“纤维”环，由两个带顶点的矩形带组成、和（如图所示2)谁的嵌入恢复正常，以便它可以与生成循环无限正规子群的纤维相连。
Seifert捆绑模块是其中之一或者通过在塞弗特丛的边界上粘贴流形的有限数量的副本而从塞弗特丛中获得沿着纤维环，使纤维映射到纤维上。因此包含无限循环正规子群。从不可约性纤维环的不可压缩性决定了Seifert束mod，与定理中的例外情况相同2，都是不可约的。
定理9。让是不含伪的不可定向不可约3-流形这样的话包含一个非平凡的循环正规子群。然后是其中之一或者塞弗特包 .
他们在不可定向的情况下推导出环面定理：“如果是不可约的不定向3-流形，然后包含不可压缩圆环体或克莱因瓶。”
方位覆盖空间Seifert捆绑模块 ,成为塞弗特包裹一旦它边界上的所有球体都被球填满。的覆盖对合延伸至带孤立不动点和商的球面，获取自用圆锥体填充边界上的所有投影平面.球形在六种塞弗提克几何体之一上以球状体的意义建模，最后塞弗特束mod正是那些被称为（用非完全度量）建模到6个几何体之一的不可定向3流形：,,,,和通用封面.
3.4. 用庞加莱猜想
在2003–06Perelman（2003等）的工作证明了Poincaré猜想是正交化猜想的推论。因此，每个简单连接的封闭3流形是一个3球体，不存在假球或假球如前所述，我们可以简单地在S.f.S.定理中避免不可约性的假设。这个定理的更一般的表述如下。
定理10。让是一个3流形，其是无限的，并且包含一个非平凡的循环正规子群。将所有球体填满后对于球，可以得到与自身或与或塞弗特包 此外，是Seifert包不包含任何或等效地，当不包含任何.
3.5. 具有无穷共轭类的3-流形群
2005。如所示[4]在3流形群和PD（3）群的情况下，S.f.S.和Seifert丛定理中的假设：”包含一个非平凡的循环子群“可以减弱为”包含一个非平凡的有限共轭类“或等同于”具有Von Neumann代数，该代数不是II-1型因子”. 结果是：(1)让要么是无穷大的-不可约3-流形或PD（3）-群，包含一个非平凡的有限共轭类。然后是塞弗特包裹。(2)让是无限的不可约的3-流形。如果包含一个非平凡的有限共轭类，那么是Seifert捆绑模块.
这些结果的证明利用了3流形和PD（3）群的S.f.S.定理。
利益冲突
作者声明，本论文的出版不存在利益冲突。
