我们在Lane-Riesenfeld算法上应用六点变分，得到了一类新的细分方案。我们还确定了支持度、平滑度、Hölder正则性、伪影的大小，以及由于表征族成员的整数平滑参数的变化而产生的收缩效应。还讨论了多项式的再生度。结果表明，所提出的方案具有较小的收缩效应，从而更好地保持了控制多边形的形状。
1.简介
Lane-Riesenfeld算法[1]是一种用于细分均匀B样条的有效细分算法。为了细分B样条曲线，该算法由两个阶段组成。第一阶段只需将每个控制点取两次，即可使控制点加倍。此步骤之后是一系列平滑操作符，即中点平均。通过递归应用此细分过程，生成了一系列分段线性曲线，在极限内收敛到由原始控制点定义的均匀B样条。我们可以参考文章[2–4]以进一步了解细分方案。然而，为了方案的顺利进行，我们可以参考[5–7].
在文献中，Lane-Riesenfeld算法应用了不同的变体。例如，Schaefer等人[8]在Lane-Riesenfeld算法中，用非线性平均规则代替线性平滑算子。他们将算术平均值替换为几何平均值，以生成细分方案。霍曼和萨宾[9]通过均匀B样条卷积和内核谢弗和高盛[10]提出了一种任意次非均匀B样条的细分算法，其方法类似于任意次均匀B样条子样条的Lane-Riesenfeld细分算法。Cashman等人[11]提出了广义Lane-Riesenfeld算法；他们使用相同的操作符来定义细化和每个平滑阶段。他们申请了四分[12]Lane-Riesenfeld算法的变体，引入新的方案族。
平滑算子的最佳选择是保持方案不同性质之间的平衡感。例如，一些平滑算子可以提供高平滑度，但多项式复制度很低。因此，选择平滑算子是一项具有挑战性的任务。本文所提出的平滑算子的优点之一是它保持了方案不同性质之间的平衡。
本文将六点变量应用于Lane-Riesenfeld算法，引入了细分格式族。拟议方案系列包括两个阶段，即：，精炼和平滑的，与Lane-Riesenfeld算法类似，但唯一的区别是我们使用了精炼以与每个人相同的方式介绍新观点的阶段平滑阶段。我们还展示了支持度、平滑度、Hölder正则性、伪影的大小以及收缩效应是如何随着对族成员进行分类的整数平滑参数的变化而变化的。此外，我们发现该家族的每个成员都有五次多项式复制。我们有以下发现。（i）所提出的平滑算子在方案的不同性质之间保持平衡。它还提供了最佳的多项式复制度。（ii）对于固定数量的控制点，平滑阶段的数量是伪影大小的倒数。（iii）方案的连续性水平通常不会通过增加平滑阶段而增加。然而，Hölder连续性存在上下界，且随着平滑阶段的增加，其上下界逐渐增大。（iv）提出的方案具有较小的收缩效应，因此可以更好地保持控制多边形的形状。（v）平滑阶段影响极限曲线中的收缩，而细化阶段不是此影响的因素。
2-方案
Lane-Riesenfeld算法对输入序列执行通过使用细化阶段然后平滑阶段.细分步骤因此是，其中定义为每个控制点加倍的细化阶段。是使用中点平均值计算新控制点的平滑阶段；也就是说，这个-积分方案[13]将局部五次插值采样到与Lane-Riesenfeld平滑操作符类似的相邻值它对每两个相邻值之间的局部线性插值进行采样。这为平滑操作符提供了新算法使用细化阶段因此，新方案族的细分算子由下式给出精炼阶段在哪里被追捕者平滑阶段。我们将这一系列计划称为-方案。当我们采取第个平滑阶段，然后简化为新的六点格式[13]. 通过增加平滑阶段的数量，即，，我们得到了新的细分方案。我们可以很容易地导出-不同值的方案如下所示。
平滑算子的因子形式和精炼阶段可以写为因此，很明显(4)代表-具有的方案平滑阶段可以写成具有哪里在表中1，我们展示了面具和对应于和.
备注1（支持-方案）。基函数是从域中的位置到细化极限曲线的映射，该细化对应于一个单位值为零的旧顶点。
由于平滑操作符使用六个相邻值插入一个新值，即是以及细化阶段掩码中非零条目的数量是；因此，通过以下方式[14]，我们得出以下结论：和是和分别是。
自从面具-通过应用细化阶段获得方案关于初始数据平滑阶段，则基础极限函数的支撑宽度-方案是.在表中1，我们支持-方案。通过应用代数条件（14）和引理4.2[15]论符号-方案(6)，我们可以证明每个-这个方案是五次的。
3.持续性分析-方案
在本节中，我们使用了洛朗多项式（符号）形式[16]计算的整数类连续性-方案。使用以下定理计算Hölder连续性的下限，使用Rioul方法计算上限[7]. 此外，使用Floater和Muntingh算法也可以导出Hölder连续性的精确上界[5].
定理2。由-具有的方案平滑阶段是
证明。自(6)然后是Rioul[7]极限曲线的Hölder连续性从下面限定为自和两者都是交替符号（即其偶数系数为非负，奇数系数为负），然后也是交替的哪里和是的奇偶系数之和分别是。自[11]然后通过特征值分解，我们得到这意味着因此，我们有因此，由-具有的方案平滑阶段从下面限定为
表2总结了-方案。我们观察到，通过-方案是合理的，但不会随着平滑阶段的增加而增加。然而，Hölder连续性有上下界，随着.
备注3。事实上，匿名评论员建议使用平滑操作符显著提高了方案的平滑度。那就是，我们得到, , , 和 平滑度, , 、和，但只有线性度的多项式复制。而通过使用我们提出的平滑算子，我们得到了五次复制度, , , 和 平滑度, , 、和分别是。
4.极限曲线分析
在本节中，我们将介绍-方案。
4.1. 的极限行为-方案
可以通过检查细分矩阵的特征结构来分析细分方案的极限行为.对于非Defective矩阵，如果有线性无关特征向量对应于特征值，则可以对角线化通过特征向量及其逆对其进行变换；也就是说，。如果细分曲线是（即，如果然后求和为1将有一个由所有特征向量组成的特征向量，并且至少有一个特征向量必须是一个。如果，则细分方案为.），然后是局部邻域中的所有顶点将收缩到相同的点，从而从数学上获得细分方案的极限模板的细分矩阵-对应于掩码的方案, , 、和如表所示1有订单, , 、和分别是。这些限制模板-表中列出了一些平滑阶段的方案三通过在局部邻域中的连续控制点上应用极限模板，得到中心控制点的极限位置。此外，这些模板有助于计算多边形中出现的伪影的大小。
4.2. 人工制品分析-方案
伪影被定义为任何不希望出现的特征，并且不能通过控制点的移动来分离，这意味着曲线将空间频率保持在Shannon极限之上[17]相对于控制多边形的密度，因为低于此限制的空间频率特征可以通过控制点的移动来消除[18]. 根据定义，空间频率是每个周期控制点数量的倒数，伪影大小是空间频率的函数。我们使用以下策略测量第一个细分级别后多边形中出现的伪影量。首先，取对称掩码/符号与对称极限模板/符号的乘积，然后将该乘积表示为多项式然后，可以通过替换来计算伪影的大小对于在多项式中，其中是空间频率。极限曲线中出现的伪影大小由下式给出了解到数据是从正弦曲线中采样的每个循环的样本数，其中是控制点的数量。
定理4。6点二进制方案产生的极限曲线中出现的伪影量（即。，)是哪里.
证明。通过替换在(6)和(7)，我们得到了6点二进制方案，其对称形式的符号可以写成这可以操作为自从极限模具的符号（如表所示三)6点二进制格式的，这意味着通过将其表示为多项式，我们得到由于极限曲线中出现的伪影大小由以下公式给出然后，通过替换对于在上面的多项式中，我们得到哪里,、和是多边形的控制点数量。
同样，我们可以证明以下定理。
定理5。8点二进制方案产生的极限曲线中出现的伪影量（即。，)是
定理6。11点二进制方案产生的极限曲线中出现的伪影量（即。，)是
定理7。13点二进制方案产生的极限曲线中出现的伪影量（即。，)是
类似地，我们可以确定极限曲线中其他值的伪影量。的工件数量-四个方案（即。，)平滑阶段如图所示1根据控制点数量绘制极限曲线中伪影的大小需要注意的是，当平滑阶段增加时，对于相同数量的控制点，伪影的大小会减小。
4.3. 收缩效应-方案
控制多边形是空间中的一系列点，通常用于管理对象的形状。我们在闭合控制多边形上应用细分方案来创建视觉上平滑的极限曲线。图2显示由-具有不同平滑阶段数的方案。注意，当我们增加平滑阶段的数量时，最终极限曲线与控制多边形的距离更大。由于这种收缩效应只由平滑阶段引起，因此很明显，细化阶段不是这种效应的一个因素。因此，我们可以仅通过检查平滑阶段来测量收缩效果。我们可以表示闭合的平滑阶段-点多边形作为矩阵由于上述矩阵是循环的[19]，其特征值为哪里.
这里，我们可以确定主导特征值其对应的特征向量也是由所有特征向量组成的列向量。这显示了一种主导行为，即当我们增加平滑阶段时，整个配置朝着原始控制多边形的重心下降。
次优势特征值和它们是相互的复共轭，多边形对其重心的收缩以及相移都是由它们决定的。忽略此旋转，每个平滑阶段的收缩率为。我们根据平滑阶段的数量绘制收缩率在图中三从图中三，很明显-当平滑阶段的数量增加时，方案承受的收缩较小，因此与-方案[11].
5.总结
本文在Lane-Riesenfeld算法中应用了6点变量[1]生成一系列新的方案，我们称之为-计划。此外，我们还评估了支持度、平滑度、Hölder连续性和平滑阶段数之间的关系。还讨论了多项式的再生度。我们评估了原始控制多边形在不同平滑阶段的极限曲线收缩率，并与-方案[11]. 对提出的方案进行了伪影和极限模板分析。
利益冲突
作者声明，本文的发表不存在利益冲突。
致谢
作者感谢匿名审稿人，他们的宝贵意见大大改进了本文。这项工作得到了中国科学院（CAS）第2013FFJA0008号、中国国家科学基金会（NSF）第11371341号和巴基斯坦高等教育委员会（HEC）土著博士奖学金计划的支持。
![（a）-方案[11]](https://static.hindawi.com/articles/jam/volume-2014/628285/figures/628285.fig.003a.jpg)
