研究了具有不同节点动力学和不同拓扑结构的两个不同分数阶复杂动态网络之间的修正投影外同步。基于分数阶系统的稳定性定理，通过应用非线性控制，给出了自适应控制器和实现同步的充分判据。该方法也适用于具有相同拓扑结构的分数阶复杂网络之间的修正投影外同步。此外，对耦合配置矩阵和内耦合矩阵的限制较少。相应的数值结果与理论分析一致，这也表明反馈强度和分数阶可以有效地影响同步性能。
1.简介
自Pecora和Carroll开创性地同步具有不同初始条件的相同混沌系统以来[1]，已经研究了混沌系统的各种同步场景[2–4]. 近年来，由于复杂网络在各个领域的广泛而潜在的应用，其研究受到了越来越多的关注。复杂动态网络由一组相互连接的节点组成，这些节点是具有特定内容的动态系统。网络模型广泛存在于自然界和社会中，例如万维网、互联网、社交网络、生物神经网络、食物网、蛋白质、运输网络等[5–8]. 随着复杂网络性质和动力学的发展，复杂网络的混沌同步因其在安全通信、神经网络、生物系统、并行图像处理等方面的工程应用而成为研究热点。因此，文献中对复杂网络的同步做了大量工作[9–12].
上述研究成果为复杂网络同步动力学的进一步理论研究和实际应用奠定了良好的基础。然而，现有的研究工作主要集中在整数阶复杂网络（ICN）的同步上，ICN的动力学由整数阶微分方程描述。事实上，分数阶系统为描述各种材料和过程的记忆和遗传特性提供了一种极好的工具。此外，它们还包括传统的整数阶导数作为特例。如果许多实际问题用分数阶动力系统来描述，而不是用整数阶动力系统描述，那会更好。另一方面，由于分数阶系统动力学分析理论的局限性，分数阶复杂系统的同步仍然是一个具有挑战性的研究课题，有关它的研究还很少[13–16]. 在[13]作者研究了耦合分数阶系统的星形网络中的同步运动，其中主元素与每个非相互作用的单个元素耦合。在[14]，Chen等人讨论了具有分数阶动态节点的复杂动态网络的簇同步。只需要控制一个社区中与其他社区中的节点直接连接的节点，从而降低控制成本。在[15]研究了复杂网络的投影同步问题，识别了连接节点的耦合函数。在[16]，Wong等人研究了具有参数不确定性的分数阶复杂动态网络的鲁棒同步。基于Kronecker积的性质和分数阶系统的稳定性，通过应用非线性控制，导出了鲁棒同步准则。
在上述文献中，单个网络节点之间的同步被称为“内部同步”。在这种情况下，已经表明同步状态的稳定性取决于底层网络拓扑的细节。相反，两个耦合网络中相应节点之间的同步称为“外部同步”。在现实世界中，关于不同网络之间的关系有很多例子，例如两个社区之间传染病的原始传播，我们消化系统中有益细菌和致病细菌的平衡，以及生态系统中的捕食者-食饵相互作用。这些例子表明，研究两个耦合网络之间的动力学是必要的和有意义的。目前，人们对耦合ICN之间的外部同步进行了广泛的研究[17–19]. 然而，据我们所知，很少有论文研究两个具有分数阶节点的复杂网络之间的同步，只有四次尝试是在[20–23]. 通过设计非线性控制器，Wu和Lu首次报道了两个耦合FCN之间的外同步现象[20]. 此外，Asheghan等人考虑了两个FCN之间的鲁棒外部同步，这两个FCNs通过一个开加闭方案耦合[21]. 最近[22]解决驱动器响应配置中耦合的两个FCN之间的全局外部同步问题。特别地，对于由Lur’e系统组成的给定FCN，构造了具有非脆弱输出反馈控制器的观测器型响应网络。中的作者[23]提出了一种通过标量传输信号在单向耦合的不确定FCN之间进行投影外同步的新方法。然而，在这些参考文献中，只有[23]考虑了具有相同节点和相同拓扑结构的两个FCN之间的投影同步。因此，有必要在两个耦合的FCN之间构造一个更通用的投影同步方案。
本文讨论了具有不同节点动力学和不同拓扑结构的两个FCN之间的修正投影外同步（MPOS）问题。采用自适应控制方案，设计了一个非线性控制器来实现MPOS。该控制器也适用于拓扑结构相同的两个FCN的MPOS。基于分数阶系统的稳定性理论，提出了MPOS的线性矩阵不等式（LMI）形式的基本准则。最后，通过对混沌驱动响应FCN的数值仿真，验证了所设计的MPOS控制策略的有效性和可行性。这些仿真结果表明，增加分数阶和反馈强度将加快外同步的速度。
2.型号说明和准备工作
分数导数有几种定义。卡普托衍生产品在实际应用中更受欢迎[24]，定义为哪里是大于的最小整数,表示分数导数的Caputo定义，是-通常意义上的阶导数，以及代表伽马函数。
现在，考虑一类由以下内容组成的复杂网络相同的耦合节点，其中每个节点是-维数分数阶混沌系统。标准导数替换为分数导数，如下所示：哪里是的状态向量第个节点，是描述单个节点动力学的连续可微向量函数，是耦合强度，是一个满足、和是表示耦合强度和网络拓扑结构的耦合配置矩阵，其中定义如下：如果存在来自节点的连接到节点,; 否则，.矩阵的对角元素定义为
为了研究两个不同网络之间的外部同步，我们考虑(2)作为主网络并假设响应复杂动态网络包含动态节点如下：哪里是节点的状态向量,是描述单个节点动力学的连续可微向量函数，是耦合强度，与中的含义相同(2),是与矩阵含义相同的耦合配置矩阵、和是节点的控制器根据驱动和响应网络的特定节点动力学和拓扑结构进行设计。这里是耦合配置矩阵和不一定对称或不可约。我们也不对内耦合矩阵施加任何限制.
接下来，根据两个混沌系统之间修正投影同步的定义，我们将给出驱动FCN之间MPOS的定义(2)和响应FCN(4).
定义1（MPOS）。对于驱动网络(2)和响应网络(4)，它被称为相对于比例因子矩阵的修正投影外同步（MPOS），如果存在控制器，因此始终保持不变。
备注2。对于单向耦合FCN(2)以及(4)，我们可以从定义中看到1MPOS意味着相应的节点状态向量和可以实现与比例因子的同步不考虑内部网络的同步。因此，这两个网络可能包含孤立的集群或节点。耦合配置矩阵不一定是不可约的。
备注3。很容易看出任意常数矩阵可以进行调整以实现状态之间的各种外部同步行为和例如，如果，我们可以观察到完全外同步（COS）；什么时候，获得了反相位同步（AOS）。此外，我们还可以实现驱动器FCN中振荡的放大或衰减(2)相对于响应FCN中的(4)通过选择或分别为。
引理4（参见[25]).对于给定的自治分数阶线性系统哪里,是状态向量，并且是常数矩阵，系统渐近稳定的当且仅当，其中表示特征值的参数属于 此外，系统(6)是稳定的当且仅当它渐近稳定或满足以下条件的临界特征值具有几何多重性。
定理5（参见[26]).一类自治分数阶非线性系统哪里,是状态向量，并且是一个连续的系数矩阵，它包含状态变量。如果存在实对称正定矩阵，这样方程始终适用于任何状态然后是平凡解系统的(7)是渐近稳定的。
证明。显然，是系统的平衡点(7)来自.因为，我们有.表示，我们可以得出结论始终保持。否则，如果，签署人，必须存在状态，例如矩阵; 因此，我们有，一个矛盾。因此，不平等始终保持.
假设是矩阵的特征值之一相应的非零特征向量为; 也就是说，.将的左边相乘通过它就在。我们得出
因为，我们可以获得因此，我们有对于.根据引理中分数阶非线性系统的稳定性理论4，平凡解系统的(7)是渐近稳定的。
证明已完成。
假设6（参见[11]).对于正定矩阵在网络中(2)，存在一个常量矩阵这样的话始终保持不变。
根据定义1，误差向量可以表示为.减法网络(4)来自(2)给出了误差动态网络
然后是驱动网络的MPOS问题(2)和响应网络(4)转化为误差动态网络的稳定性问题(11). 我们的目标是设计一些合适的控制器来实现.
3.MPOS的自适应控制器
在本节中，我们将使用自适应控制方法研究具有不同拓扑或相同拓扑的两个FCN之间的MPOS。我们首先提供以下关于两个具有不同拓扑结构的FCN之间MPOS的主要定理。
定理7。对于正定矩阵在网络中(2)，假设满足假设6然后让.如果满足以下条件，然后是解决方案误差动态网络(11)在以下控制器下渐近稳定：哪里是-维数单位矩阵，反馈优势是正常数和常数矩阵.
证明。考虑以下内容功能：替换后(11)以及(13)到，我们有哪里和.因为，很容易得出结论，如果(12)满意，解决方案误差动态网络(11)是渐近稳定的。
证明已完成。
来自定理7，我们可以得出结论，只要反馈有优势在反馈矩阵中足够大，网络之间的MPOS(2)和网络(4)可以实现。
作为不同拓扑结构的特例，相同拓扑的两个FCN之间可以在相似的自适应控制下实现MOPS。在这种情况下，我们有误差动力系统
基于定理7，我们可以很容易地得到以下推论。
推论8。对于具有相同拓扑的两个FCN，假设满足假设6然后让.如果条件(12)满足，然后解决方案误差动态网络(16)在以下控制器下渐近稳定：
证明。当FCN的拓扑结构(2)以及(4)都是一样的，也就是说，，差分矩阵变为零矩阵。因此(13)变成以下描述的控制器(17). 替换时(16)以及(17)到功能描述(14)，其余证明过程与定理相同7.
4.数值模拟
在本节中，给出了示例，以验证前一节中获得的理论标准的有效性。分数阶影响的进一步分析和反馈强度在MPOS上提供。为此，我们将分数阶Chen系统视为驱动网络的节点，将分数阶金融系统视为响应网络的节点。
4.1. 定理的验证7
著名的分数阶Chen混沌系统[27]由描述当分数阶持有和参数选择为分数阶陈系统表现出混沌性。图1显示分数阶Chen混沌系统的吸引子.
最近，一个动态金融模型在[28]. 利率的时间变化、投资需求和价格指数模型中描述了。分数阶金融混沌系统由下式给出
分数阶金融系统在分数阶时是混沌的中的更改和参数选择为.具有的分数阶金融混沌系统的吸引子如图所示2.
接下来，我们将以分数阶Chen混沌系统和分数阶金融混沌系统作为节点动力学来说明所提出的MPOS方法。在所有模拟中，让驱动和响应网络的分数阶为和预测-校正方案[29]用于求解分数阶微分方程。网络大小取.选择网络的耦合配置矩阵(2)以及(4)如下：
为了简单起见，内耦合矩阵被选为.状态向量的初始值和在中任意选择。比例因子矩阵选择为两个网络之间的MPOS错误定义为.
根据定理7，条件(12)只是复杂网络之间MPOS的一个充分条件(2)以及(4). 这里，我们给出了反馈矩阵的选择用于实现MPOS，其仿真结果如图所示三如图所示三同步误差的轨迹接近零，这意味着网络之间的MPOS(2)以及(4)已通过自适应控制器实现(13).
4.2. 进一步分析
研究结果表明，分数阶的值和反馈强度对同步效果有很大影响。本节将进一步分析同步效应。
这里，为了了解所有MPOS错误的变化，MPOS总错误的范数定义为
很明显，当不再增加，两个分数阶网络在全球实现MPOS。
首先，我们考虑反馈矩阵是不变量且仅为分数阶已更改。同步误差值随着分数阶的增加如图所示4从图中4很容易发现，随着分数阶的增加，同步效果变得更好.
第二，让控制增益在分数阶时更改保持不变。为了简化问题，让在当前模拟中。图5描述了MPOS错误的时间演变分数阶而反馈强度从5增加到35。
从图中可以看出5随着反馈强度的增加，同步效果变得更好此外，即使一些减小到0，在降低同步速度的情况下仍然可以实现MPOS。当反馈优势被选为和MPOS错误的时间演变分数阶如图所示6.
如下文所述，不同的分数阶和反馈强度将导致不同的同步速率。适当大的分数阶和反馈强度将导致快速的外部同步。此外，MPOS也可以通过一些等于0的反馈强度来实现，尽管同步速度会慢得多。
5.结论
总之，讨论了具有不同节点动力学和不同拓扑结构的两个FCN之间的MPOS。在MPOS体制下，我们可以通过选择比例因子观察不同的外部同步模式，例如完全外部同步、反外部同步和振幅衰减。基于分数阶系统的稳定性理论，利用非线性控制耦合方案，得到了一些充分判据，并设计了合适的控制器。充分判据和控制器也适用于具有相同拓扑结构的情况。该技术已成功应用于由五个分数阶Chen混沌系统和五个分数级金融混沌系统组成的两个分数阶复杂网络。数值实验表明，可以适当选择反馈强度和分数阶来有效调节同步效果。分数阶和反馈强度越大，外部同步实现得越快。该方法可以推广到驱动网络和响应网络中混沌系统的分数阶不一致或复杂网络中的混沌系统具有不可公度阶的情况。
利益冲突
作者声明，本文的发表不存在利益冲突。
致谢
本研究得到了国家自然科学基金（61374178和61202085）、辽宁省自然科学基金会（201202076）、高等教育博士点专项研究基金（20120042120010）和博士点。中国辽宁省创业基金（批准号：20111001、20121001和20121002）。
