摘要

现在处理电力系统成为最重要的艺术。本文报道了一个带参数的分数阶电力系统的动态分析据我们所知，这是关于分数阶电力系统分岔分析的第一篇报告。因此，我们首先讨论了不同分数阶和不同参数的动力学分析。此外，我们将建立其数值模拟，以证明我们分析的可行性和有效性。

1.简介

长期以来，以电力系统为例，许多研究人员对研究动力学在应用中的潜在用途越来越感兴趣。在正常和紧急运行条件下，电力系统总是会表现出丰富的非线性动态现象。从数学的角度来看，微分方程可以用来描述电力系统的动态行为。电力系统通常在平衡条件下运行，但在工程实践中，平衡点形式的稳定性有时会随着小扰动的范围而变化。20世纪80年代以后，随着电力系统的发展，即使一个小扰动也会由于一些控制参数的变化而导致系统失去稳定性。研究人员专注于研究系统的临界状态。

随着分数阶微积分300多年的历史，其在电气工程中的应用越来越受到重视。通常，即使微分方程变成分数阶微分系统，混沌系统仍然是混沌的[1–9]. 我们都知道分数阶系统已有很多结果，但分数阶非线性系统的分岔问题还没有得到很好的研究。显然，在前一篇论文中，有两种方法被用于求解分数阶微分系统：频域方法[10]和时域方法[11]. 一些研究人员发现，研究一些使用常用方法研究混沌的混沌系统有时是无效的[12,13]. 然而，本文放弃了第一种方法，选择了时域方法进行数值模拟。主要思想由Diethelm等人介绍[14]并被以下论文使用[15–17].

在本文中，我们报告了首次使用时域方法研究分数阶电力系统。最近，Chiang等人报告了一种简化的4D电力系统[18]. 对其混沌和分岔分析进行了研究，并取得了良好的结果[19,20]. 但据我们所知，这是关于分数阶系统分岔分析的第一篇报告。根据不同的值，我们将给出存在混沌的系统的分岔图。

论文组织如下。在节中2提出了分数阶电力系统的数值算法。在节中3研究了系统的混沌行为和分岔。最后，我们总结了结果。

2.分数阶电力系统的数值算法

2.1. 系统描述[21]

本文考虑以下电力系统[21]（见图1). 这里我们使用作为可变参数导出相应的吸引子。

（a）
（a）
（b）
（b）
图1 
（a） 整数阶电力系统中的三维轨迹。（b） 参数的相关分岔图 .

现在我们考虑分数阶电力系统在这里是变量和()，其顺序表示为.何时,，系统(1)成为整数阶电力系统[21].

2.2。分数导数[22]

分数阶微分系统有几种定义。下面，我们将介绍其中最常见的一种[22]:具有; 也就是说，是不小于的第一个整数,是-通常意义上的阶导数，以及()是-带表达式的阶Reimann-Liouville积分算子在这里代表Gamma函数和运算符通常称为“-阶Caputo微分算子”[22].

接下来，我们考虑具有相关初始条件的分数阶微分方程

与方法相结合[11,14]以及上述分数阶微分方程的定义。设置，可以重写分数阶电力系统其中

3.分数阶电力系统的分岔分析

3.1、。整数阶电力系统

在接下来的讨论中，我们主要使用仿真方法，通过使用Wolf算法计算最大Lyapunov指数来分析分数阶电力系统[6]. 由于非周期解和对初始条件的敏感依赖性是产生混沌的重要原因，这里，我们将初始条件定义为[21]和变化(). 根据我们的数值模拟，我们直观地发现了整数阶和分数阶之间的差异。在这里，我们让()即整数阶，电力系统中的三维轨迹如图所示1.参数的相关分岔图如图所示1，最大Lyapunov指数图如图所示2.


图2 
最大Lyapunov指数图。
3.2. 分数阶系统的动力学分析

接下来我们相应地讨论分数阶电力系统。分数阶()等于并固定为0到1之间的某个值。根据第节2首先，我们发现参数的范围随着分数阶的变化而变化。当我们让()作为示例，而参数从0更改为11.4[21]. 对于中的步长是0.01，我们显然得到了其中分数阶电力系统的解是有界的。我们接受作为示例，2D轨迹如图所示3它清楚地发现了0.99阶和1阶之间的差异。不同的是，前者产生混沌现象，而后者发生在系统电压经过一段时间的卸载冲击后，最终稳定在一定值，对应的平衡点是渐近稳定的焦点。此外，我们让(); 我们很明显得到了二维轨迹如图所示4在哪儿和.


图3 
分数阶电力系统的二维轨迹 , .
（a）
（a）
（b）
（b）
图4 
分数阶电力系统的二维轨迹 , .（a） ; （b） .
3.3. 不同阶次的动力分析

(1)修复,，并让变化。我们对分数功率系统进行了数值计算步长变化为0.01。相关的最大Lyapunov指数如图所示5.(2)修复,，并让变化。我们对分数功率系统进行了数值计算步长变化为0.01。相关的最大Lyapunov指数如图所示5.(3)修复,，并让变化。我们对分数功率系统进行了数值计算步长变化为0.01。相关的最大Lyapunov指数如图所示6.(4)修复,，并让变化。我们用数值方法计算了步长变化为0.01。相关的最大Lyapunov指数如图所示6.

（a）
（a）
（b）
（b）
图5 
分数阶电力系统的最大Lyapunov指数；（a） , 和（b） , .
（a）
（a）
（b）
（b）
图6 
分数阶电力系统的最大Lyapunov指数；（a） , 和（b） , .

4.结论

通过上述讨论，我们成功地数值研究了具有差阶分数阶电力系统分岔类型的存在性。根据不同的初始条件和分数阶，给出了最大Lyapunov指数值和分岔图，以验证分析的合理性。当然，下一步的工作应该包括对混沌控制和同步的深入研究。

利益冲突

作者声明，本论文的出版不存在利益冲突。

确认

本研究部分由国家自然科学基金资助，批准号为61273128。