本文提出了一种求解大区间初值微分方程的迭代谱方法。在所提出的方法中，我们首先扩展了Legendre然后导出了适用于大区间的小波，以及勒让德小波的勒让德-高斯配置点。使用这种策略，迭代谱方法将微分方程转换为一组代数方程。求解这些代数方程可以得到微分方程的近似解。通过一些数值算例说明了所提出的方法，并将结果与指数拟合的龙格-库塔方法进行了比较。我们提出的方法简单且高度准确。
1.简介
在本文中，我们关注初值问题的数值解：具有初始条件在一个大领域这种初值问题出现在许多实际的生命模型中，在理论和应用上都具有重要意义。它在许多科学分支中都有应用，包括天体力学、流体力学、热波方程、天体物理学、量子化学和电子学；例如，请参见[1–4]. 因此，发展数值方法来逼近它们的解是值得的。
谱方法是求解各种科学和工程领域中出现的各种微分方程（以及最近的积分方程）的强大工具[5,6]. 光谱法有两个主要优点。一个是高精度，也被称为“指数收敛“这意味着误差指数级小。第二个优点是它们易于实现。这两个有效的特性鼓励了许多活跃的研究人员将它们用于不同的方程。在许多类型的谱方法中，配置方法是更适用和广泛使用的特定方法塞德。谱配置方法已经被许多作者使用；有关示例，请参见[7–12].
近年来，小波在理论和实践科学的许多不同领域都有了应用。许多研究人员开始使用各种小波[13–15]用于分析计算复杂度高的问题。事实证明，小波是探索新问题和求解微分方程的有力工具。Haar小波是用于类似目的的替代工具；参见[16–19].
本文介绍了一种基于勒让德小波谱方法的可靠算法，以获得非线性常微分方程在大区间上的数值解。对于这类方程，直接使用谱方法及其数值积分存在困难。通过引入一种新的勒让德小波插值逼近，这些困难主要在于改进的勒让德小波谱方法。本文的方法迭代地解决了这个问题。该技术的验证尤其针对具有振荡行为的溶液进行测试。数值算例表明了该方法的有效性和高精度。
本文的其余部分组织如下。在节中2，我们解释了勒让德小波和勒让德多项式的基本性质。勒让德小波族是一个重要的例子；见卡贾尼和文切[20]. 然后，我们介绍了一种利用Legendre小波对移位Legendre-gauss点及其系数进行插值的方法。我们将勒让德小波应用于求解大区间微分方程的谱方法三.第节4与指数拟合Runge-Kutta方法相比，致力于数值结果；参见Berghe等人[21,22]. 最后，在第节5，报告以一个简短的结论结尾。
2.勒让德小波谱方法
在本节中，我们将介绍勒让德小波的谱方法。首先简要介绍了大域勒让德小波和谱方法。接下来，我们说明如何使用勒让德小波进行插值。
2.1. 勒让德小波和勒让德多项式综述
连续小波变换（请参见[20])由定义对于任何连续函数，其中称为天平由班次参考。离散小波变换由下式给出其中刻度和移位被替换为对于任何这里，我们打算考虑一系列离散小波什么时候由勒让德多项式导出，它取决于五个参数，即，;是一个大整数，是勒让德多项式的阶数，代表标准化时间，因此，我们定义了区间上的勒让德小波通过哪里是著名的吗正交权函数的四阶勒让德多项式中给出了勒让德小波的正交集[20]. 勒让德多项式是通过递归公式获得的：此外，勒让德-高斯求积公式定义如下Legendre-Gauss的搭配点在哪里是的根在里面和是相应的权重。虽然正交节点的显式公式未知，但正交权重可通过以下关系表示：由于Legendre-Gauss求积公式的特性，可以得出如下结论哪里有关勒让德多项式的更多详细信息，请参见[6].
2.2。勒让德小波插值
A函数可以用勒让德小波展开为哪里勒让德小波的定义是(6)和由提供方程式(13)可以使用中的求积规则进行近似(8)如下：哪里替换(13)到(12)引起方程式(16)给出了基集的“完备性关系”，即，因此是一种身份。如果(14)替换为(12)（截断于和)我们有的离散版本(17)由提供方程式(12)（截断于和)、和(14)还提供插值函数由…管辖特别地，。这意味着由于以下原因：
3.解决大域上的IVP
考虑由(1)和(2). 为了解决这个问题，我们划分了区间到下面给出的一些子区间对于因此，意味着因此，为所有人因此，Legendre小波插值逼近函数上接下来是第个子区间(21)并由给出归纳起来，我们定义应用这些点到(1)导致此外第个子区间可以近似如下：
方程式(26)和(27)给出一个系统代数方程。通过求解这个代数系统，我们得到。然后，上的近似解通过替换得到第个子区间到(24).
我们建议的程序从设置开始.中的初始条件(2)用于第一个子区间的近似解。这允许从中获取第二个子区间的初始条件(27). 因此，计算第二个子区间的近似解。重复该过程直到最后一个子间隔。最后，给出了中IVP的近似解(1)和(2)关于整个领域通过以下方式获得
4.数值实验
我们应用了最后一节中提出的方法，并数值求解了五个问题，以证明该方法的有效性。我们还将结果与指数拟合的Runge-Kutta方法进行了比较[21,22]. 此外，在区间终点评估的全局误差被制成表格。表中使用了以下符号。
LWSM代表“谱方法上的勒让德小波”
EFRKMB表示“使用Vanden Berghe技术的指数拟合Runge-Kutta方法”; 参见[21,22].
示例1。考虑初值问题对于，其中。
这个问题的确切解决方案是为了获得全局误差评估的可靠标准，我们估计了端点处的误差。表中提供了端点全局误差的欧几里得范数1.表1证明了LWSM给出了比EFRKMB更好的近似值。
示例2。让对于，其中。
这个初值问题的精确解由下式给出.表2表示与LWSM和EFRKMB相关的端点处数值误差的欧几里德范数。这表明我们的方法在这个例子中比EFRKMB更精确。此外，随着和因为这也是示例的情况1。
示例3。让对于，其中。这个初值问题的精确解是表中提供了与端点全局误差相关的数值数据三这给了我们与示例类似的结论1和2如预期。
示例4。让哪里, 、和。
确切的解决方案取决于表中提供了使用端点全局误差欧几里德范数的两种方法的数值比较4。本表得出了与之前示例类似的结论。
5.结论
我们使用勒让德小波为移位的勒让德-高斯配置点定义插值。然后，这会产生一组代数方程，最后其解构成所需的近似解。我们的方法基于域区间的划分，并在每个区间上迭代求解给定的IVP。这种方法称为迭代谱方法，适用于求解大区间IVP。
该技术的主要特点是迭代求解IVP，并且定义的插值大大减少了计算工作量。这导致了如几个示例所示的高度准确的数值结果。该方法简单，易于在实际问题中实现。它可以用于求解其他数学方程，如积分方程、积分微分方程和偏微分方程。
