应用分数阶子方程方法求解分数阶Cahn-Hilliard和Klein-Gordon方程。针对这些示例，讨论了该方案的准确性和效率。
1.简介
分数微积分处理任何阶的分数积分和导数[1–8]. 分数阶偏微分方程（FPDE）在物理、化学、工程、金融、生物、水文学、信号处理、粘弹性材料、分数阶变分原理等领域的许多有趣且新颖的应用，主要是在过去几十年中发展起来的[1–15]最近，人们进行了大量的努力，以找到准确稳定的数值方法，这些方法也很容易实现。
此外，大多数FPDE的精确解也不容易找到；因此，必须使用分析和数值方法。中讨论了求解分数微分方程（FDE）和FPDE的一些数值方法（参见[7,16–23]以及其中的参考）。
通过考虑来自[24]提出了一种新的直接搜索FPDEs显式解的方法，称为分数次方程法[25]. 我们注意到该方法依赖于均匀平衡原理[26]，朱马里的改良Riemann-Liouville衍生物[27,28]和符号计算。借助于该方法，非线性时间分数生物种群模型的一些精确解以及-报道了多维时空分数阶Fokas方程[25]. 最近，提出了改进的分数次方程方法，并用于求解流体力学中的以下两个FPDE[29].
在本文中，我们建议使用分数次方程方法，并利用该方法求解以下两个FPDE。形式为的时空分数Cahn Hilliard方程？哪里和是的功能.对于对应于，该方程与许多有趣的物理现象有关，如旋节分解、相分离和相有序动力学。另一方面，它在材料科学中变得重要[30,31]. 然而，我们注意到这个方程很难求解，有几篇文章对此进行了研究（参见，例如[32]以及其中的参考）。非线性分数阶Klein-Gordon方程[33]二次非线性读数为我们注意到非线性分数阶Klein-Gordon方程描述了许多类型的非线性。另一方面，Klein-Gordon方程在固体物理、非线性光学和量子场论等几个实际应用中发挥着重要作用。
本文提出了一种分数阶子方程方法，用以求具有Jumarie修正Riemann-Liouville阶导数的非线性分数阶偏微分方程的精确解析解其定义为[27]正如Kolwankar和Gangal指出的那样[34]，即使变量取所有实际正值，实际进化只发生在以下值上在分形集中.我们接受这是一个标志函数。我们得出结论，从Kolwankar-Gangal局部分数导数的观点来看，参数是时间的分形维数。因此，近似解是由定义在某个闭合区间内的分形集上的某些分布函数生成的。它们是关于的连续但不可微的函数.
手稿的组织如下。在节中2，我们简要介绍了求解分数阶偏微分方程的分数阶子方程方法。在节中3，我们将所提出的方法推广到两个非线性方程。最后，第节4致力于我们的结论。
2.方法
用于求解分数阶偏微分方程的分数阶子方程方法的基本成分描述如下[29]. 起点是考虑给定的非线性分数阶偏微分方程哪里和Jumarie的改良Riemann-Liouville衍生物是,是未知函数，并且是中的多项式及其各种偏导数，其中涉及最高阶导数和非线性项。
要指定明确地说，我们在本文中使用了[29,35]; 即，我们通过行波变换将给定的非线性FPDE简化为非线性分数阶微分方程（FDE）。在此之后，我们假设之前获得的简化方程允许以下解哪里()是要找到的常数，表示通过平衡最高阶导数与中的最高非线性项而确定的正整数(4)或修改后的（参见[35]更多详细信息），以及新变量实现分数Riccati方程：下一步是替换(5)以及(6)到方程的修改版本中，并使用朱马里修改的黎曼-卢维尔导数的性质，以便在.请求的所有系数()为零，我们得到一组超定非线性代数方程,??,????().
最后，假设,??，？？??()通过求解上一步中的代数方程，并替换这些常数和(6)到(5)，我们得到了(4).
3.主要成果
在本节中，我们使用了第节中介绍的方法2用于解决FPDE(1)和(2)分别是。
示例1。我们认为时空分数阶Cahn-Hilliard方程为
利用行波变换方程式(7)简化为易于求解的非线性FDE，即，接下来我们假设(9)有如下形式的解决方案哪里遵守子方程(6).
通过平衡中的最高阶导数项和非线性项(9)，给出的值为？？，我们替换(10)，以及(6)，到(9)，然后设置的系数到了零，我们最终得到了一个代数方程组，即，求解代数方程组得到哪里, ??和表示任意常数。
通过使用(8)–(12)经过一些繁琐的计算(7)，即广义双曲函数解（见[24]对于它们的定义）和广义三角函数解可以得到如下我们强调，当这些精确解给出了时空分数阶Cahn-Hilliard方程的标准形式方程(7).
示例2。下一步是研究分数阶非线性Klein-Gordon方程，形式如下：
要解决(14)，我们执行行波变换因此(14)简化为以下非线性分数ODE，即：，接下来，我们假设(16)接受表格中的解决方案在这个阶段，我们应用了与前一个示例中相同的技术。也就是说，通过平衡中的最高阶导数项和非线性项(16)，然后替换(17)，用？？，使用(6)到(16)，我们最终得到相应的代数方程组使用Mathematica求解后(18)报告了以下解决方案：哪里表示任意常数。最后，来自(15)–(19)我们得到了下列广义双曲函数解、广义三角函数解和(14)作为哪里.
作为(20)上述结果为(14).
4.结论
本文利用分数次方程方法构造了时空分数阶Cahn-Hilliard方程的精确解析解(1)分数阶非线性Klein-Gordon方程(2). 这些解包括广义双曲函数解、广义三角函数解和有理函数解，这些解对于进一步理解复杂非线性物理现象和FPDE的机理非常有用。此外，这种方法有助于我们找到包含所有可能参数的Fan子方程的所有精确解，它简洁高效。数学软件已用于本工作中的计算和编程。
