我们将Sahu（2005）提出的关于半连续映射不动点存在性的近压缩映射原理推广到Banach空间中的某些半连续近Lipschitzian非线性映射。我们应用了Sahu（2005）的某些结果来获得存在的条件，并引入了一个渐近迭代过程来构造这些半收缩关于新辅助算子的不动点。
1.简介
本文应用了Sahu的某些结果[1]上的几乎收缩确定不动点存在条件的映射原理半连续的引入了一个渐近迭代过程来构造这些半连续映射关于一个新的辅助算子的不动点。我们的结果是实Banach空间中非Lipschitz非线性映射不动点渐近理论分支的重要推广和重要基本方面的推广。
让和成为真正的巴拿赫空间的非空子集.A映射被称为（参见，例如[2])（i）半连续的如果每当一个序列强烈收敛于这意味着序列弱收敛到;（ii）半连续的如果每当一个序列在直线上快速收敛到这意味着序列弱收敛到也就是说，作为
许多作者研究过的渐近不动点理论[1，三–6]在关于不动点的存在性和构造的非线性泛函分析中具有基本作用Lipschitzian映射，-一致Lipschitz映射和非Lipschit映射在其他类别的运算符中（参见，例如[5，7–9]). 渐近不动点理论的一个非常重要的分支涉及一类重要的渐近非扩张映象，这类映象是由不同的作者在特定类型的Banach空间中研究的。
由于需要放松渐近非扩张映射在某些应用中的渐近非扩张性所固有的连续性条件，Sahu[1]考虑并介绍了近似压缩映射原理关于渐近不动点理论的研究几乎是利普希茨式映射并获得了以下结果。
引理1。让是Banach空间的非空子集，并且设是半连续的。假设作为对一些人来说然后，是的元素，不动点集.
定理2。让是Banach空间的非空闭子集和具有序列的半连续近似Lipschitz映射.假设。然后，我们有以下内容：（a）具有唯一的固定点（b）对于每个，序列强烈收敛于;（c）为所有人.
这项工作的目的是应用引理1一个新辅助算子渐近不动点存在唯一性的条件及应用定理2关于获得定理的一个推广和推广的辅助算子2这是重要经典和相关结果的基本推广。
2.前期工作
让是Banach空间的非空子集和非线性映射。映射据说是利普希茨（Lipschitzian）如果每个存在一个常数这样的话为所有人Lipschitz映射称为均匀地-利普希茨（Lipschitzian）如果为所有人和渐近非扩张如果.
接下来，让我们是Banach空间的非空子集和中的固定序列具有作为.A映射被称为几乎是利普希茨式关于的映射如果每个存在一个常数这样的话下一代常量的对于其中(1)holds被称为近似利普希茨常数。具有序列的近似Lipschitzian算子分类为[1，2]如下所示：（a）几乎收缩如果为所有人（b）几乎不膨胀如果为所有人（c）几乎渐近非扩张如果为所有人和（d）几乎均匀地-利普希茨（Lipschitzian）如果为所有人（e）几乎均匀地-收缩如果为所有人.
上面列出了这些类的近似Lipschitz算子的示例和简短调查，相关的算子如所示[1]（第655-656页），其中指出如果则渐近非扩张映射有界是一个几乎不可扩展的映射。此外，在这里可以观察到，几乎渐近非扩张映射减少为渐近非扩张型如果有界。有关详细信息，请参考Agarwal等人[2]第259-263页，特别是其中的书目注释和备注。
3.主要成果
我们的主要结果取决于引理1接下来我们将用阿基米德性质证明以下新的重要不等式。我们仍在提高对参数的估计在引理中三如下所示。
引理3。让是上的赋范线性空间，是标量域(真实或复杂）。然后，对于所有不同的点存在这样的话为所有人.
证明。如上所述，该证明是实数阿基米德性质的一个结果，如果和那么是正实数对一些人来说.自，我们有方程式(三)遵循阿基米德性质，而有界性是从以下事实推断出来的用于任意.
备注4。重要的是要进行以下观察。(1) 如果然后(三)减少到 如下所示：自，如果相反(4)不满意，则从(三)我们有这最终导致了下面所展示的矛盾。 假设.设置这样的话产量无论何时这样的话这是一个矛盾。（2） 重要的是要注意，如果和在引理中不明显三然后这将是一个有效的自然约束。然而，对于这个问题微不足道。
引理5。让是Banach空间的非空子集，并让是一个具有序列的近似Lipschitzian映射这样的话然后是辅助操作员由定义在中有一个固定点.
证明。鉴于此哪里是一个具有序列的近似李普希茨映射，我们有这给了这就产生了哪里使用假设结合实数序列收敛性的根检验，我们得到也就是说序列是Cauchy序列，因此有一个极限点在里面.
我们要证明的是属于是的固定点，对于所有人。为了实现这一点，只要证明是连续的，遵循引理的应用三即。让，然后对于一些正实数.因此，我们有这样的话无论何时对一些人来说因此，在中连续等等.
应用引理1，对于以下形式给出的半连续映射，我们需要它的推广。
引理6。让是Banach空间的非空子集，并让是半连续的，几乎是Lipschitzian映射。假设作为对一些人来说.然后，是的元素.
证明。考虑以下运算符由定义显然，限制为减少到辅助操作员在固定点。鉴于此，我们将展示这一点那么是半连续的是的自拍地图为所有人也就是说，自从已关闭。
显然，限制为和具有共同的不动点集，（已提供具有固定点）和但从最后的证据来看，我们证实了是上的连续映射并且具有渐近不动点此外，通过半连续性和连续性顺序强烈收敛于也就是说弱收敛到这意味着处于半连续状态.
按引理1，我们有.
定理7。让是Banach空间的非空闭子集和具有序列的半连续近似Lipschitz映射.假设。然后，我们有以下内容：（a）具有唯一的固定点（b）对于每个，序列强烈收敛于（c）为所有人哪里和.
证明。按引理6，由给定的辅助运算符是的自映射，和引理一起5我们的结论是在中有一个固定点它也是为了证明（a），我们要证明不动点是唯一的。唯一性和（b）和（c）的证明来自以下事实是半连续收缩，因此定理2应用。
