我们首先提出了非连续瞬态传热单相问题的分形模型。这些模型是在局部分数阶微分算子意义下建立的，用于描述分形固体半无限材料在其熔体温度下的初始（无量纲）熔化。
1.简介
我们知道局部分式微积分是建立在分形上的。分形介质是一种复杂的介质，它出现在工程和物理的不同领域。分形物理参数被认为是局部分数连续函数，这是从分形几何角度分析局部分数函数的分形特征。此外，局部分数阶微积分是模拟分形介质中不连续传热的傅里叶定律的有力工具。局部分数阶热传导方程可以用来描述分形介质中不连续传热的分形行为。
众所周知，古德曼的热平衡积分法是一种近似技术，用于生成微分方程所描述的热问题的泛函解[1–3]. 基于分数微积分理论[4,5]，研究了Stefan问题和由分数扩散方程控制的热平衡积分方法[6–8]. 然而，我们提到，上述问题是在平稳条件下考虑的。
另一方面，非光滑条件下的传热（分形空间）是一个有趣的课题。纳米尺度热的各种现象（例如，静电纺丝过程中的带电射流）可以产生连续的纳米纤维和不连续的纳米多孔材料。对于连续情况，经典傅里叶定律是有效的。然而，对于纳米多孔材料，应使用分形傅里叶定律。例如，考虑了分形几何介质中的广义传递方程[9]中研究了不连续介质中的傅里叶定律热传导[10]中讨论了不连续介质的传热[11,12].
纳米多孔材料中可能存在分形传热的单相问题。本文的目的是研究单相问题的分形模型。论文的组织结构如下。在节中2引入了局部分数阶导数的概念，给出了局部分数链规则和分形复变换的一些结果。章节3致力于非连续瞬态传热单相问题的分形模型。最后，第节给出了结论4.
2.前期工作
在这一节中，我们给出了局部分数阶微分算子理论的一些基本定义和性质，这些定义和性质将在本文中得到进一步的应用。为了讨论材料的分形行为，我们从分形几何导出的分形结果开始。
引理1（参见[11,12]).让是实线的子集，是分形。如果是bi-Lipschitz映射，则存在常量,和,这样对所有人来说,,
为了方便读者，我们在这里表示以下结果。
遵循引理1，我们有[11]这样的话哪里是的分形维数.
定义2。如果具有，用于和，那么称为局部分数连续，表示为区间上的局部分数连续，通过表示[11–14]如果(5)有效期为.
定义3。让.局部分数导数订单的在定义为[11–14]哪里.
如果哪里，那么我们有[11,14]哪里和存在。
如果哪里，那么我们有[11,14]我们假设和存在。
让我们假设存在如下关系[14]哪里和是常数和，则存在一个方程变换对，即，我们强调，上述方法不同于[15,16]. 分数复数变换方法是在[15,16]而分形复变换方法是基于局部分数阶微积分理论的[14].
3.单相问题的分形模型
我们提出了一个单相分形问题，描述了分形固体半无限材料在其熔体温度下的（无量纲）熔化。相应的方程式由以下表达式给出：我们提到过(13)控制分形液体区域中的热流[11,12]，分形Stefan条件(14)描述了熔体前沿的热量吸收，其中分形斯特凡数[11]（它也是由分形复变换导出的[14]). 方程式(15)和(16)规定分形固定边界的温度在移动的熔体前沿、和(16)给出了分形半无限解域的初始温度。我们注意到(13)是从具有分形介质的局部分数维热传导方程导出的[11]哪里表示分形材料的导热系数，它与材料的分形维数有关。结果表明，材料的分形维数是一个重要的特征值。在这里，我们考虑分形傅立叶流，它是不连续的；然而，我们发现它是局部分数连续的。与经典傅里叶流一样，当[11].
条件的替代形式(14)可以从以下事实得出：等于零，也就是说，，从而得出以下表达式：然后，通过使用(13)和(19)我们的结论是因此，它引导我们得出以下最终方程式：这个结果没有意义，因为分形流在.如果是局部分数连续的，并且是连续的，我们推断分形维数是因此，我们可以得到经典结果[2,3].
条件的另一种替代形式(14)是根据以下事实得出的：等于零，也就是说，这意味着在我们的案例中通过使用(13)和(23)，我们最终获得这就引出了下面给出的最终形式
4.结论
本文提出了分形介质中非连续瞬态传热单相问题的替代分形模型。通过应用分形复变换和局部分数导数内的链式法则，我们导出了分形介质中非连续瞬态传热的单相问题，该问题描述了分形固体半无限材料在其熔体温度下的（无量纲）熔化。我们考虑非连续瞬态传热单相问题的分形模型。当分数维等于1时，单相问题的分形模型是经典的例子。分形介质中的非连续瞬态传热可以作为实验研究和进一步讨论的良好起点。
致谢
本文由国家自然科学基金项目（自然科学基金，U1204703）、河南省重点科技项目（122102310004）、中央高校基本科研业务费专项（华中科技大学：2012QN0872012QN088）、，郑州市创新科技队伍建设项目（10LJRC190、121PRKXF658-4）。
