摘要

讨论了Illeova等人（2003）的脲酶热失活理论模型。根据二级反应速率常数，得到了与天然酶和变性酶摩尔浓度有关的分析表达式。导出了与温度有关的简单而封闭的理论表达式。本文利用同伦分析方法（HAM）获得了一类非线性常微分方程的近似解。将所得近似结果与数值结果进行比较，结果令人满意。

1.简介

脲酶是一种很好的尿素水解催化剂。有几种优秀的技术可用于评估脲酶活性[1,2]. 1926年，Summner从蚕豆种子中分离出尿素酶，它是一种纯净的结晶酶[三]. 这些晶体是首次从已知酶中获得的，在证明酶的蛋白质性质方面发挥了决定性作用。大约50年后，蚕豆脲酶被确定为第一种镍金属酶[4]. 本文描述了痕量汞离子的测定方法。该方法基于汞对脲酶的深度抑制作用[5]. 由于未知原因，一些种子特别富含脲酶，这种酶已在各种豆科、葫芦科、菊科和松科的种子中广泛研究[6,7]. 菜豆脲酶是应用最广泛的植物脲酶，是一种对尿素具有高度特异性的含镍低聚酶[8]. 关于脲酶在生物技术中的应用，发表了许多论文，包括用于分析和生物医学目的的尿素测定，以及天然饮用水和地表水中重金属含量的分析[9]. Hirai等人[10]研究了同步辐射对蚕豆脲酶结构的影响。Lencki等人[11]讨论亚基解离、变性、聚集、凝固和分解对酶失活动力学的影响。奥马尔和博瑞德[12]用荧光发射光谱法研究蚕豆脲酶的去折叠。

据我们所知，对于脲酶热失活的参数，天然酶、变性酶和温度的摩尔浓度没有严格的分析表达式,,,,,、和已报告。本文的目的是利用同伦分析方法推导脲酶热失活的非稳态浓度的简单近似分析表达式。

2.分析和问题的数学公式

方程式(1)说明了失活的三步机制，即由天然形式的酶N分解成变性形式的酶D，以及由天然形式和变性形式的两个平行缔合反应生成不可逆变性的酶形式和，分别为：哪里,,、和表示单个反应的速率常数。N、D和温度的材料平衡方程如下所示[1]:哪里和是天然酶和变性酶的摩尔浓度是温度。初始边界条件为

3.非稳态条件下天然酶形式、变性酶形式和温度的浓度

一个功能强大、易于使用的一般非线性问题分析工具，即同伦分析方法。该解析解与数值结果吻合良好，可以视为所考虑非线性问题解的定义[13]. 同伦论分析方法（HAM）提供了一个无穷幂级数的解析解。为了研究有限项解的准确性，对微分方程组进行了求解。与摄动法和数值模拟相比，该方法是一种很好的技术。同伦分析方法不依赖于特殊的小参数，因此具有许多优点[14]. 结果表明，该方法简单有效。该方法包含辅助参数ℏ，为我们调节和控制解序列的收敛区域提供了一种简单的方法[15,16]. 同调分析方法为强分析线性和非线性问题提供了一个强大的工具[17,18]. 在本文中，同源分析方法（见附录A类)用于求解非线性微分方程。N、D和温度摩尔浓度的分析表达式（见附录A类和B类)是这些方程代表了各种参数值下天然酶、变性酶和温度摩尔浓度的新分析表达式,,,,,、和.

4.数值模拟

为了证明本方法的有效性，我们将非稳态结果与数值解进行了比较。方程式(4)和(5)并用Matlab/Silab程序进行了数值求解。Scilab/Matlab程序[19]算法中也给出了1Illeova等人采用的参数数值[1]在本研究中，表中给出了1数值解与图中的分析结果进行了比较1（a）–1（e）.

表1 
Illeova等人使用的参数范围[1]和这项工作。

功能main1
选项=odeset “RelTol”，1e-6，“Stats”，“on” ;
%初始条件
T=100；
Xo公司= 1; 0; 电话+30 ;
西班牙= 0,10 ;
抽搐
t、 X（X） =编号45 @TestFunction、tspan、Xo、选项 ;
总有机碳
图形
等一下
情节 t、 X :,1
情节 t、 X（：，2）
情节 t、 X（X） :,3 ,‘.’
传奇 'x1'、'x2'、'x3'
伊拉贝尔 “x”
xlabel公司 不要
返回
功能 dx_dt =测试功能 t、 x个
k1=2；k2=0.1；k3=10∧ -3 ;k4=2.66*10∧ -3 ;K=4.44*10∧ -2 ;T=100；
dx_dt（1）=-k1*x（1）+k2*x（2）∧2-2*k3*x（1）∧2;
dx_dt（2）=2*k1*x（1）-2*（k2+k4）*x（2）∧2;
dx_dt（3）=K*（T-x（3））；
dx_dt=dx_dt'；
返回
算法1 
Scilab/Matlab程序用于求解(2)和(三).

（a）
（a）
（b）
（b）
（c）
（c）
（d）
（d）
（e）
（e）
图1 
（a–d）N和d的摩尔浓度与时间的关系 对于各种参数值 , , 、和 实线表示本工作中的分析解((4)和(5))虚线表示数值解。（e） 温度 与时间相对 对于各种值 什么时候  秒−1.

5.讨论

方程式(4)和(5)表示所有参数值的天然酶和变性酶浓度的解析表达式的闭合形式。以数字表示1（a）–1（e）对不同参数值的分析结果与数值结果进行了比较，结果令人满意。数字1（a）–1（d）表示各种速率常数值的摩尔浓度。从图中可以推断，当时间增加降低，而增加。达到最大值所需的时间与达到最小值所需的时间相同.的稳定值和取决于速率常数。

数字2（a）–2（c）表示N的摩尔浓度与时间的关系对于各种速率常数值和从该图中可以看出，当和增加。图三表示D的摩尔浓度与时间的关系对于各种参数值从图中可以看出，浓度值当.浓度在以下情况下增加增加。当 秒−1.图1（e）表示表示温度与时间相对对于各种值.当增加。它几乎与时间成线性关系.

（a）
（a）
（b）
（b）
（c）
（c）
图2 
（a） N的摩尔浓度与时间的关系 使用(4)对于各种值 什么时候  秒−1,  秒−1、和 .（b）摩尔浓度 与时间相对 使用(4)对于各种值 什么时候  秒−1,  秒−1、和 （c）N的摩尔浓度与时间的关系 使用(4)对于各种值 什么时候  秒−1,  秒−1、和 .

图3 
D的摩尔浓度与时间的关系 使用(5)对于各种值 什么时候  秒−1,  秒−1,  秒−1、和 .

6.结论

在这项工作中，我们获得了以速率常数表示的浓度的解析表达式,,,，浴槽温度，以及焓平衡中的系数.对非线性常微分方程进行了解析求解。摩尔浓度的封闭解析表达式,、和温度使用同伦分析方法得到。注意到与数值结果一致。从该理论模型中获得的信息可用于对处理速率常数和摩尔浓度的实验结果进行动力学分析。

附录

A.同伦分析方法的基本概念

考虑以下微分方程[20–22]:哪里是一个非线性算子，表示自变量，以及是未知函数。为了简单起见，我们忽略了所有边界或初始条件，这些条件可以用类似的方法处理。通过推广传统同伦方法，Liao[19]构造了所谓的零阶变形方程，如下所示：哪里是嵌入参数，是非零辅助参数，是一个辅助功能，是一个辅助线性算子，是的初步猜测、和是未知函数。重要的是，在HAM中有很大的自由选择辅助未知量。显然，当和，它包含以下内容：分别是。因此，作为从0增加到1，解决方案与最初的猜测不同解决方案.正在扩展泰勒级数中关于，我们有哪里如果辅助线性算子、初始猜测、辅助参数，辅助功能选择得当，系列(A.4款)收敛于，那么我们有差异化(A.2款)的嵌入参数的时间，然后设置最后将它们除以，我们将拥有所谓的四阶变形方程如下：哪里应用在的两侧(答7)，我们得到通过这种方式，很容易获得对于，于第号订单，我们有何时，我们得到了原始方程的精确近似(A.1款). 关于上述方法的收敛性，我们请读者参考Liao[13]. 如果(A.1款)承认唯一解，则此方法将产生唯一解。如果(A.1款)不具有唯一的解决方案，HAM将在许多其他（可能的）解决方案中给出一个解决方案。

B.系统的近似解析解(2)使用同伦分析方法

在本附录中，我们说明了如何(4)和(5)本文对此进行了推导。构造同伦分析方法以确定(2)为了解决(B.1节)通过HAM，我们首先构造了零阶变形方程,受以下初始条件约束：哪里是嵌入参数，并且即所谓的收敛控制参数。何时发件人(B.5节)和初始条件(B.3节)，我们得到何时, (B.2节)相当于(B.1节)，因此它包含以下内容：扩大和关于嵌入参数的泰勒级数，我们有哪里和将稍后确定。注意，上述系列包含收敛控制参数.假设选择得如此恰当，使得上述级数收敛于，我们的解决方案系列如下：哪里等式相似幂的相似系数我们有等等。解决(B.13节)使用初始条件(B.3节)和(B.4节)，我们得到以下结果：正在添加(B.6节), (B.14年), (B.7节)、和(B.15节)，我们得到(4)和(5)在文本中。在这里，我们可以仅使用两次迭代来获得方程的解，这导致了高精度。

术语

:天然酶形式的摩尔浓度（摩尔/厘米三)
:变性酶形式的摩尔浓度（摩尔/厘米三)
,,,:单个反应的速率常数（s−1)
,,:修改的速率常数−1)
:焓平衡系数−1)
:镀液温度（K）
:温度（K）
:时间（s）。

致谢

这项工作得到了印度政府科学与工业研究理事会（CSIR no.01（2442）/10/EMR-II）的支持。作者感谢马杜赖马杜拉学院校长R.Murali博士和马杜赖马杜拉学院董事会秘书S.Natanagopal先生的鼓励。很高兴感谢裁判们提出的宝贵建议。