Combined Energy Minimization for Image Reconstruction from Few Views

Wei, Wei; Yang, Xiao-Lin; Zhou, Bin; Feng, Jun; Shen, Pei-Yi

doi:https://doi.org/10.1155/2012/154630

工程中的数学问题

在本页上

摘要介绍结论致谢工具书类版权相关文章

研究文章|开放式访问

体积2012|文章ID154630|https://doi.org/10.1155/2012/154630

基于组合能量最小化的少视点图像重建

魏伟,¹杨晓林,²滨州,^三冯军（Jun Feng）,²和裴义深⁴

学术编辑：陈奎夫

收到2012年6月15日

修订过的2012年8月27日

认可的2012年9月22日

出版2012年10月31日

摘要

少视图重建是医学成像和应用数学中的一个重要问题。本文提出了一种用于图像重建的组合能量最小化方法。在低密度区域引入图像梯度能量，可以加快重建速度并改进结果。在高密度区域引入图像的全变差，可以很好地保留图像特征。引入非线性共轭梯度法求解该问题。数值实验表明了该方法的有效性和准确性。

1.简介

计算机断层扫描（CT）是近几十年来诊断放射学最重要的进展之一。CT使用多个X射线图像构建人体内部结构的横截面和3D图像，使医生能够以前所未有的精度查看内部器官。然而，在CT中使用电离辐射可能会在暴露个体的潜伏期后诱发癌症[1–三]. 电离辐射诱发癌症是一个概率过程。因此，减少CT中使用的辐射剂量将减少诱发癌症病例的数量。

一些方法可以用来减少CT的辐射剂量，如降低X射线束强度、处理散射辐射、限制照射面积。减少X射线曝光时间很简单。在这里，我们重点讨论了低剂量X射线成像策略，即仅采用有限数量的投影图像进行重建，这称为有限视野重建[4–6]. 从很少的视图重建图像将能够在减少输送给患者的X射线剂量的情况下进行快速扫描。但是，重建图像中可能会产生模糊伪影，并失去关键的空间分辨率。因此，需要仔细检查这种权衡是否适用于预期用途。然而，这超出了本文的范围。总之，我们将在少数视图中考虑从投影数据重建图像。

CT重建方法大致可分为解析重建方法和迭代重建方法。解析重建方法，如滤波反向投影（FBP）方法[7,8]，需要低噪声水平的足够投影数据。由于考虑了有限视场重建，分析方法可能会产生更多的噪声并产生明显的伪影。迭代重建方法，如代数重建技术（ART）[9,10]与FBP方法相比，它需要更少的数据，对噪声的影响更为稳健，但需要更多的计算。

最近，图像总变差最小化（TV）被引入到发散光束CT中，并提出了一种新的迭代图像重建算法[11]. Lustig等人将压缩传感理论应用于快速磁共振成像[12]. 在此基础上提出了许多方法[13–16].

本文提出了一种新的图像重建模型。图像总变化和图像梯度的能量被合并为一个新的能量泛函。然后将函数引入到约束优化问题中，用于在少数视图下从2D平行光束数据重建。我们的算法是针对扇形束CT中的各种数据不足问题进行的，数值结果表明了所提出方法的有效性和准确性。该算法可以推广到扇束CT和锥束CT以及其他层析成像形式。

2.少视图重建和总变差最小化

从有限视图投影数据进行层析重建有多种方法[17–19]. 代数重建技术（ART）[9,20,21]和期望最大化（EM）算法[22,23]在这一领域得到了广泛的应用。当图像在网格上离散时，每个投影都被视为离散密度分布的线性方程。然后可以得到一个联立方程组，ART倾向于用迭代法求解。ART算法可以找到与投影数据一致的图像，并且密度值的平方和最小。EM算法适用于正积分方程，寻求最小化测量数据和估计图像投影之间的Kullback-Liebler距离[11].

然而，众所周知，射线对人体有害，大量照射可能导致癌症[17,24]. 因此，研究人员开始尽可能少地利用投影数据进行层析重建。

2.1、。从少数视图重建

从少视角投影数据进行层析重建是减少射线辐射危害的有效方法，有几种方法[11,12].

因为要重建的灰度图像可以表示为在这里和表示图像的大小。

投影可以表示为以下等式：在这里是向量形式的重排形式.指投影数据。更确切地说，是视图数与检测器像素数的乘积。是可以预先计算的投影矩阵。大小与.重建过程等于求解(2.2).

不幸的是，如果重建基于很少的视图，那么这个方程是不确定的。换句话说，方程的数量小于变量的数量()。实际上，更常见的情况是从线性代数理论来看，解不是唯一的，传统方法无法应用。事实上，即使如果满足了这一要求，则在处理投影数据的一致性时仍然会受到影响，并导致重建图像中出现伪影。

ART可以用于求解该方程，它意味着要解决以下问题：在这里是指的规范由于投影数据的严重不足，ART算法很难提供令人满意的结果。与EM算法相同。因此，应该讨论其他一些模型。

2.2。总偏差最小化

总变差（TV）首先由Rudin等人引入[25]，并且它可以在图像处理中用于图像去噪，同时保留边缘。Candès等人将其应用于平行光束数据不足的图像重建[26]. 更确切地说，他们考虑了以下问题：在这里是指的规范这是矩阵的重排形式.满足.可以计算为在此基础上，Sidky等人开发了一种用于扇束CT的迭代图像重建算法[11].

电视最小化可以有效地减少图像重建中的误差并保留特征。在下一节中，我们将重点开发一个新的模型，以基于此TV模型提高收敛速度并减少错误。

3.图像重建的组合能量最小化

众所周知，当图像梯度的范数考虑如下：但是这个结果也会模糊图像特征。所以可以考虑一些组合能量。

3.1. 图像的组合能量

自然的想法是将规范和电视直接。组合能量可以表示为然而，尽管在某种程度上可以加快收敛速度，但新结果的改进程度不能超过TV结果。事实上，新结果是结果和电视结果。

为了提高图像去噪、Chambolle和Lions的电视效果[27]提出了一个组合函数（CL能量）哪里在这里是一个固定的正数，它是在某种程度上，它意味着可以用来区分图像特征和噪声的临界值的近似值。

3.2. 重建模型

基于CL能量的离散形式和重排向量，我们可以在这里,可以发现噪声部分考虑了图像梯度的能量而电视能量是在功能部分计算的然后，图像重建的新模型可以表示为：

应用拉格朗日方法，该约束优化问题可以改写为以下组合Chambolle-Lions（CCL）能量的无约束优化问题：

3.3. 共轭梯度下降算法

坡度可以计算为哪里实际上，参数设置为.

设置初始值，共轭梯度下降算法可以作为算法给出1时间步长表示为.

%初始化
最大梯度=；最大值=100；马克斯陶=;= 4;= 0;
= 1;=;= −;
%迭代次数
同时(>maxGrad和<maxIter和>maxTau）{
%线性搜索
最小值=(); opt=0；= −;
同时(<=秒）{
;
如果((+Δ)<最小值)｛分钟=(+Δ); 选择=; }
; }
=选择；
=;=();=;
= −+;
=+ 1; }

从实验结果中，我们将发现该模型的一些优点。这主要是由于不同的优化问题，这与算法有关。更确切地说，是(3.5)可以帮助提高收敛速度并减少平滑区域中的一些伪影。但它的效率作用图像梯度的能量取决于它与待重建图像的特征有关。在我们的实验中，它被设置为模型范围的0.01倍。我们将在下一步工作中探讨这方面的高级研究。引入通用度量峰值信噪比（PSNR）来评估结果，它可以计算为其中MSE是灰度图像的均方误差。

4.数值实验

示例4.1。从72个视图重建Shepp Logan幻影。
真实图像如图所示为Shepp Logan图像1（a）离散于像素网格。计算参数的设置如算法所示，与以下实验相同。72个视图的重建在31次迭代后完成。数字1（b）和1（c）在图中显示ART结果和TV结果1（d）显示了我们的CL结果。可以发现，电视更能增强ART的效果。许多人工制品被移除或忽视。数字1（e）和1（f）显示第128行和第128列的灰度分布。重建的水平灰度与真实水平灰度相差不大。它类似于重建的垂直灰度。PSNR和如图所示2（a）和2（b）PSNR从46.4040（TV结果）提高到50.5664（CL结果）。虽然TV结果几乎是准确的，但我们的CL结果显著提高了它。

（a）原件

（b）艺术成果

（c）电视结果

（d） CL结果

（e）水平灰色

（f）垂直灰色

（a） PSNR的演变

（b）的演变

示例4.2。从24个视图重建Shepp-Logan模型。
真实图像仍被视为与示例相同的Shepp-Logan图像4.1重建视野从72锐减到24。此重建在100次迭代后完成。数字3（b）,3（c）、和3（d）显示ART结果、TV结果和我们的CL结果。第128行和第128列的灰度分布如图所示3（e）和3（f）.数字4（a）和4（b）显示PSNR和PSNR从21.3451（TV结果）提高到34.4123（CL结果）。可以发现，电视结果中存在大量严重的线伪影和块伪影。在我们的CL结果中，大多数这些伪影都被消除了，其余的都被大大忽略了。

（a）原件

（b）艺术成果

（c）电视结果

（d） CL结果

（e）水平灰色

（f）垂直灰色

（a） PSNR的演变

（b）的演变

示例4.3。从72个视图重建水果图像。
带有大小的水果图像被认为是真实的。重建视图设置为72。完成重建需要25次迭代。数字5（b）,5（c）、和5（d）显示ART结果、TV结果和我们的CL结果。第128行和第128列的灰度分布如图所示5（e）和5（f）.图6显示了PSNR和PSNR从31.8559（TV结果）提高到32.2934（CL结果）。虽然CL结果在数值上比TV结果更令人满意，但TV结果和我们的CL结果之间几乎没有差异。

（a）原件

（b）艺术成果

（c）电视结果

（d） CL结果

（e）水平灰色

（f）垂直灰色

（a） PSNR的演变

（b）的演变

示例4.4。从30个视图重建水果图像。
与示例相同的水果图像4.3被视为真实视图，而视图从72减少到30。此重建在59次迭代后完成。ART结果、TV结果和CL结果如图所示7（b）,7（c）、和7（d）第128行和第128列的灰度分布如图所示7（e）和7（f）PSNR和如图所示8（a）和8（b）PSNR从25.9273（TV结果）提高到27.3870（CL结果）。可以发现，电视结果中存在许多伪影，其中许多伪影在我们的CL结果中被消除或忽略了。

（a）原件

（b）艺术成果

（c）电视结果

（d） CL结果

（e）水平灰色

（f）垂直灰色

（a） PSNR的演变

（b）的演变

例4.5。从72个视图重建一个概要模型。
具有大小的概要模型被认为是真实的图像。重建视图设置为72。经过24次迭代后，重建完成。数字9（b）,9（c）、和9（d）显示ART结果、TV结果和我们的CL结果。行128和列128的灰度分布如图所示9（e）和9（f）.图10显示了PSNR和PSNR从48.5852（TV结果）提高到49.6270（CL结果）。可以发现，CL结果在数值上比TV结果更令人满意，但TV结果和我们的视觉CL结果几乎没有差异。

（a）原件

（b）艺术成果

（c）电视结果

（d） CL结果

（e）水平灰色

（f）垂直灰色

（a） PSNR的演变

（b）的演变

示例4.6。从20个视图重建一个概要模型。
与示例相同的概要幻影4.5被视为真实视图，而视图从72减少到20。此重建在68次迭代后完成。ART结果、TV结果和CL结果如图所示11（c）,11（b）、和11（d）第128行和第128列的灰度分布如图所示11（e）和11（f）PSNR和如图所示12（a）和12（b）PSNR从31.7194（TV结果）提高到36.9629（CL结果）。可以发现，TV结果中的伪影比CL结果中的多。

（a）原件

（b）艺术成果

（c）电视结果

（d） CL结果

（e）水平灰色

（f）垂直灰色

（a） PSNR的演变

（b）的演变

5.结论

本文提出了一种新的并行数据少视图图像重建模型。首先图像梯度的能量和图像的总变化量合并为CL能量能量应用于低密度区域，可以加快重建速度。将总变分应用于高密度区域，可以很好地保留图像特征。借助于拉格朗日方法和非线性共轭梯度算法，可以解决相关的优化问题。

致谢

作者感谢匿名评论员的建设性反馈和宝贵意见。感谢TI、XILINX和西电大学软件学院对他们项目的支持。本项目部分得到了国家自然科学基金（61072105、61007011）和国家模式识别实验室开放项目的支持。本项目还部分得到了中国陕西省自然科学基础研究计划（项目编号：2010JM8005）和陕西省教育厅科研计划（项目号：11JK0504）的支持。

工具书类

D.J.Brenner和E.J.Hall，“计算机断层扫描——辐射暴露的增加来源”新英格兰医学杂志2007年，第357卷，第22期，第2277–2284页。
查看位置：发布者网站|谷歌学者
R.E.Van Gelder，H.W.Venema，J.Florie等人，“CT结肠造影：在相同患者中大幅度减少剂量对比的可行性，”放射科第232卷，第2期，第611-620页，2004年。
查看位置：发布者网站|谷歌学者
N.Savage，“医学成像仪降低了剂量，”IEEE综览2010年，第4卷，第3期，第14-16页。
查看位置：谷歌学者
R.Rangayyan、A.Prakash Dhawan和R.Gordon，“有限视野计算机断层成像算法：一个新的参考书目和一个挑战，”应用光学第24卷，第23期，第4000–4012页，1985年。
查看位置：谷歌学者
J.Velikina、S.Leng和G.H.Chen，“通过总变差最小化实现有限视角层析图像重建”，in医学成像：医学成像物理学，第6510卷，共页SPIE会议记录第20页，2007年2月。
查看位置：发布者网站|谷歌学者
T.Wu、A.Stewart、M.Stanton等人，“使用有限数量的低剂量锥形投影图像进行乳房X射线断层摄影术，”医学物理学2003年，第30卷，第3期，第365-380页。
查看位置：发布者网站|谷歌学者
P.Grangeat，“通过radon变换的一阶导数进行锥束三维重建的数学框架”，in层析成像中的数学方法1991年，第66-97页。
查看位置：谷歌学者
D.Soimu、I.Buliev和N.Pallikarakis，“使用FDK算法重建3D图像的圆形等中心锥形轨迹研究”计算机医学成像和图形2008年，第32卷，第3期，第210–220页。
查看位置：发布者网站|谷歌学者
R.Gordon、R.Bender和G.T.Herman，“三维电子显微镜和X射线摄影的代数重建技术（ART）”理论生物学杂志，第29卷，第3期，第471–481页，1970年。
查看位置：谷歌学者
Y.Pan、R.Whitaker、A.Cheryauka和D.Ferguson，“移动c臂ct上的Tv正则化迭代图像重建”，第7622卷SPIE会议记录第2L页，2010年。
查看位置：谷歌学者
E.Y.Sidky、C.M.Kao和X.Pan，“发散束CT中从少数视角和有限角度数据进行精确图像重建”X射线科学与技术杂志2006年，第14卷，第2期，第119–139页。
查看位置：谷歌学者
M.Lustig、D.Donoho和J.M.Pauly，“稀疏MRI：压缩传感在快速MR成像中的应用”医学中的磁共振2007年，第58卷，第6期，第1182-1195页。
查看位置：发布者网站|谷歌学者
S.Brunner、B.E.Nett、R.Tolakanahalli和G.H.Chen，“锥束CT图像引导放射治疗中的先前图像约束散射校正，”医学和生物学物理学2011年，第56卷，第4期，第1015–1030页。
查看位置：发布者网站|谷歌学者
G.T.Herman和R.Davidi，“从少量投影重建图像”反问题2008年，第24卷，第4期，第45011–45028页。
查看位置：发布者网站|谷歌学者
J.Song、Q.H.Liu、G.A.Johnson和C.T.Badea，“回顾性门控心脏micro-CT基于稀疏先验的迭代图像重建”医学物理学2007年，第34卷，第11期，第4476–4483页。
查看位置：发布者网站|谷歌学者
J.Tang、B.E.Nett和G.H.Chen，“基于总变差（TV）的压缩感知和统计迭代重建算法之间的性能比较”医学和生物学物理学2009年，第54卷，第19期，第5781–5804页。
查看位置：发布者网站|谷歌学者
V.Singh、L.Mukherjee、P.M.Dinu、J.Xu和K.R.Hoffmann，“通过约束度量标记的有限视图CT重建和分割，”计算机视觉与图像理解2008年，第112卷，第1期，第67–80页。
查看位置：发布者网站|谷歌学者
F.Dennerlein、F.Noo、H.Schöndube、G.Lauritsch和J.Hornegger，“圆形短扫描上锥束重建的因子分解方法，”IEEE医学影像汇刊2008年，第27卷，第7期，第887–896页。
查看位置：发布者网站|谷歌学者
B.P.Medoff、W.R.Brody、M.Nassi和A.Macovski，“有限数据图像重建的迭代卷积反投影算法”美国光学学会杂志1983年，第73卷，第11期，第1493-1500页。
查看位置：谷歌学者
T.G.Herman和B.L.Meyer，“代数重建技术可以提高计算效率，”IEEE医学影像汇刊第12卷，第3期，第600–609页，1993年。
查看位置：发布者网站|谷歌学者
F.Nattererm和F.Wübbeling，图像重建中的数学方法第5卷，工业数学学会，2001年。
V.Y.Panin、G.L.Zeng和G.T.Gullberg，“总变异调节EM算法”核科学汇刊第46卷，第6期，第2202–2210页，1999年。
查看位置：谷歌学者
H.H.Barrett和K.J.Myers，图像科学基础第44卷，《威利国际科学》，2004年。
B.L.Cohen，《低水平辐射的癌症风险》多探测器CT的辐射剂量，第61-792012页。
查看位置：谷歌学者
L.I.Rudin、S.Osher和E.Fatemi，“基于非线性全变分的噪声去除算法，”物理D1992年，第60卷，第1-4期，第259-268页。
查看位置：谷歌学者
E.J.Candès、J.Romberg和T.Tao，“鲁棒不确定性原理：从高度不完整的频率信息中进行精确信号重建，”IEEE信息理论汇刊2006年，第52卷，第2期，第489–509页。
查看位置：发布者网站|谷歌学者
A.Chambolle和P.L.Lions，“通过总变化最小化和相关问题实现图像恢复”数值数学1997年，第76卷，第2期，第167-188页。
查看位置：谷歌学者

版权

PDF格式下载引文

下载其他格式

订购打印副本

意见

1964

下载

1230

引文