本文提出了单应力水平和多应力水平载荷下疲劳损伤累积的概率建模方法。 该方法使用Palmgren-Miner的线性损伤累积模型 - 曲线，以及实现概率密度函数一对一转换的方法。 损伤累积被建模为非平稳过程，因为预期损伤累积及其可变性都随时间变化。 然后，利用累积疲劳损伤的动态统计模型，将该方法用于单应力水平和多应力水平载荷下的可靠性预测。 通过实例说明了两种载荷下的可靠性预测。
1.简介 大多数机械部件在使用过程中，由于随机载荷和恒幅载荷，都会发生疲劳。 疲劳也是机械部件失效的主要原因之一[ 1 ]。 这就需要开发新的方法来预测受到疲劳损伤的机械部件的可靠性和使用寿命。 多年来，这一直是设计师的首要关注点，尽管在过去几十年中取得了巨大进展，但该领域仍然面临着许多挑战[ 2 ].
文献中报告的早期疲劳损伤累积模型侧重于过程的确定性，而实际上，损伤累积具有随机性。 这种随机性是由于材料抗疲劳性和加载过程的随机性造成的[ 三 ]。 因此，即使在任何给定应力水平下进行恒幅疲劳试验，疲劳寿命也表现出特定分布的随机性。 文献表明，在恒幅或随机载荷下，疲劳寿命数据遵循正态或对数正态分布[ 4 – 6 ]。 据报道，威布尔分布也适用于疲劳寿命数据[ 7 ， 8 ]虽然没有明显的物理或数学现象对此进行解释[ 9 ]。 研究人员针对概率损伤累积范式提出了不同的建模方法。 Shen等人[ 三 ]建立了随机疲劳损伤的概率分布模型，通过引入单周疲劳损伤的随机变量，考虑了加载过程的随机性以及材料抗疲劳性能的随机性。 Liu和Mahadevan[ 2 ]结合非线性疲劳损伤累积规律和随机性，提出了变幅载荷下随机疲劳寿命的一般计算方法 - 曲线表示技术。 Nagode和Fajdiga[ 10 ]基于DeMoivere-Laplace原理，将任何应力水平下的失效循环概率密度函数（PDF）建模为正态分布，以可靠预测随机加载结构构件的耐久极限。 Liao等人[ 11 ]提出了一种新的累积疲劳损伤动态干涉模型，假设累积损伤服从正态或对数正态分布。 吴和黄[ 12 ]将承受可变载荷的结构构件的疲劳损伤和疲劳寿命建模为高斯随机过程。 本·阿莫兹[ 13 ]基于两阶段循环剩余疲劳寿命界限的概念，发展了累积损伤理论。 Castillo等人[ 14 ]通过推广威布尔模型，开发了一个通用模型，用于预测任何应力水平和范围下的疲劳行为。 塞图拉曼和杨[ 15 ]开发了一个累积损伤阈值交叉模型。 该模型考虑了一种多组分产品，该产品在一定的时间间隔内发生劣化/损坏，一旦某些组件的最大损坏超过某个阈值，就会发生故障。 失效时间数据用于估计模型参数。 Fatemi和Yang对累积疲劳损伤和寿命预测理论进行了全面回顾[ 16 ].
从概率疲劳损伤建模的角度来看，两个方面非常重要。 首先，需要建立准确的物理损伤累积模型来预测预期或标称疲劳损伤。 其次，需要适当的不确定性建模技术来考虑随机性[ 2 ]。 文献综述表明，建模不确定性中的随机性处理涉及复杂数学。 这一事实是拟定研究工作中开发处理疲劳损伤累积建模中随机性的更简单方法的主要动机。 本文提出了一种使用一对一转换方法从疲劳寿命分布中推断疲劳损伤累积分布的更简单方法，并在一定程度上尝试最小化数学复杂性。 它还提出了一种简单而独特的方法来建模损伤累积过程，将其视为非平稳概率过程，以捕捉任何给定时间点的损伤累积及其变化。 该方法可以有效地预测承受单应力水平和多应力水平疲劳载荷的机械部件的可靠性。
本文概述如下。 章节 2 阐述了一种建模概率损伤累积的方法，以获取损伤的预期值及其可变性。 章节 三 提出了一种利用累积疲劳损伤动态模型进行可靠性预测的方法。 建议方法的适用性及其影响将通过第节中的示例进行说明 4 结论见第节 5 .
2.概率疲劳损伤累积建模 损伤累积是一种复杂且不可逆的现象，其中考虑中的产品损伤逐渐累积，并在一段时间内导致其失效。 因此，损伤累积可以被视为材料抗疲劳性能退化的一种度量。 此外，损伤累积在本质上是概率的，可以用图形描述，如图所示 1 图中显示了单调增加的退化路径，其中退化度量随时间概率增加。
Wang和Coit[ 17 ]已经解释说，在任何特定的时间，考虑到类似降解成分的群体，存在降解测量的分布。 他们还指出，任何给定退化度量的可变性都会随着使用时间的增加而增加。 由于损伤累积也是退化的一种度量，Wang和Coit给出的推理[ 17 ]可以应用于假设损伤累积也遵循一定的概率分布，并且任何损伤累积度量的期望值和可变性都将随着使用时间的增加而增加。 此外，Wu等人[ 6 ]已经表明，在恒定或随机振幅载荷条件下，正态或对数正态分布能够很好地拟合疲劳失效数据。 因此，在建议的工作中，假设疲劳寿命服从正态分布，将损伤累积建模为非平稳概率过程。 此外，由于损伤累积是使用周期的函数，因此损伤累积的概率分布可以被视为本杰明和康奈尔所提倡的正态分布[ 18 ]。 损伤累积的非平稳高斯过程可表示为： 哪里 是一种随时间概率变化的损伤累积度量 、和 和 是它的均值和方差。 所提出的损伤累积概率模型将在后续章节中详细阐述。
2.1. 损伤累积期望值建模 疲劳载荷最常用的两个模型是 - 曲线和Palmgren-Miner损伤累积模型[ 2 ， 19 ]。 这个 - 曲线模型用于表示疲劳寿命之间的关系 和压力水平 并由知名人士表示 - 曲线方程如下所示： 哪里 是疲劳强度常数 表示 - 曲线。 图 2 显示了对 - 曲线，其中描述了不同应力水平下疲劳寿命的PDF（正常尺度） ， 、和 .
线性损伤累积模型，也称为Palmgren-Miner法则，将损伤定义为任何给定应力水平下的操作循环次数与失效循环次数之比[ 19 ]。 假设没有初始损伤，单个应力水平下的损伤累积为： 同样，对于多应力水平，损伤累积可以表示为： 哪里 是材料的总累积疲劳损伤， 当受到 第个应力水平， 是使用周期数，以及 是在 应力水平。 假设当总损伤累积达到统一时发生失效[ 6 ， 19 ]。 失效循环数 在任何给定的应力水平下，可以从 - 曲线模型。 因此，通过考虑两者 - 曲线模型和线性损伤累积模型，在任何给定的应力水平下，损伤累积与使用循环次数之间的线性关系模型可以通过组合( 2 )和( 三 )如下所示： 哪里 表示疲劳强度常数的倒数， 表示恒定振幅应力水平， 表示 - 曲线，以及 表示使用周期数。 同样，对于多应力水平，线性损伤累积模型可以通过修改( 5 )如下： 方程式( 5 )和( 6 )分别提供承受单应力水平和多应力水平的任何给定时间点（使用周期）的损伤累积预期值。 然而，为了对任何给定产品的可靠性做出现实的估计，有必要采用概率方法。 因此，重要的是将所考虑的损伤累积措施视为随机变量，并建立损伤累积的适当分布。 在以下章节中，提出了一种方法，通过考虑疲劳寿命的PDF来推导损伤累积测量的PDF .
2.2. 疲劳损伤累积分布 为了建立损伤累积度量的PDF 为了估计分布参数，首先将疲劳失效寿命视为服从一定分布的随机变量。 此后 是使用Benjamin和Cornell提出的一对一PDF转换方法推导出来的[ 18 ]。 根据本杰明和康奈尔[ 18 ]，如果一个随机变量直接或在功能上与另一个PDF已知的随机变量相关，则可以使用此转换技术导出该随机变量的未知PDF。 由于累积损伤累积是使用寿命（或疲劳失效寿命）的函数，因此PDF转换方法提供了一种有效的方法来确定损伤累积度量的分布。 在图中 三 ，行 是预期损伤累积的趋势线，如下所示( 5 )在给定的应力水平下 直线描述了损伤累积度量和使用周期之间的线性关系 现在假设使用周期的PDF 已知，图 三 提供了如何使用疲劳寿命的已知PDF来获得损伤累积度量的PDF的基本理解。 必须注意，如图所示 三 使用周期的初始可变性 为零，并且随着使用周期的增加，其可变性呈增加趋势。 进一步假设，可变性的增加也遵循Coit et al.建议的线性趋势[ 20 ].
从上述讨论中可以清楚地看出，为了推导 使用本杰明和康奈尔的[ 18 ]PDF转换技术，需要满足两个基本要求：（i）明确定义损伤累积和使用周期之间的关系，以及（ii）使用周期的分布或PDF知识。
为了满足第一个要求，可以通过重新定义来建立给定应力水平下损伤累积测度和使用时间之间的线性关系( 5 )如下： 哪里 表示损伤累积趋势线的斜率。 疲劳失效寿命（即 ), ( 7 )可以写成： 如前所述，在恒定或随机振幅载荷条件下，正态或对数正态分布比威布尔分布更适合疲劳失效数据[ 6 ]。 因此，在建议的工作中，假设疲劳失效寿命 遵循正态分布。 这也满足了疲劳失效寿命已知分布的第二个要求。 正态分布疲劳寿命的PDF如下所示：
2.2.1. PDF变换技术在推导损伤累积测度PDF中的应用 损伤累积测度与疲劳寿命的函数关系 可概括如下： 的逆关系( 10 )可以表示为： 因变量的累积分布函数（CDF） 可以从CDF中获得 作为： 随后获得损伤累积度量的PDF ，取其CDF的导数，如下所示[ 18 ]: 使用( 11 ), ( 13 )可以用更具启发性的形式书写如下： 或 图形解释( 15 )如图所示 三 通过相等的阴影区域。 如图所示，间隔宽度 和 不相等，但如果随机变量之间存在线性关系，则 是常量[ 18 ].
此外，差异化( 8 )关于 给予： 替换( 16 )和( 9 )英寸( 14 )提供了的PDF 如下： 发件人( 17 )很明显，损伤累积也遵循类似的分布，转换前后的标准偏差之间的关系如下： 哪里 表示损伤累积的标准偏差， 表示故障寿命或使用周期的标准偏差，以及 表示损伤累积趋势线的斜率。 这清楚地表明，损伤累积的可变性取决于损伤累积趋势线的斜率和使用周期的可变性。
假设损伤累积趋势线的斜率对于任何给定的应力水平都是恒定的，则损伤累积的可变性可以视为使用周期可变性的函数。 方程式( 17 )和( 18 )使用一对一转换方法推导的结果清楚地说明，由于这两个变量之间的线性关系，损伤累积的PDF将与使用寿命分布相同。 然而，由此产生的损伤累积PDF按系数缩小 .
2.3. 建模差异趋势线 如前所述，在给定的应力水平下，损伤累积随使用周期线性增加。 此外，图 4 显示出疲劳寿命的可变性或标准偏差也随着应力水平的降低而增加的趋势。 还必须注意，在初始阶段（即 )所有压力水平。 这表明，随着应力水平的降低，疲劳寿命的变化有增加的趋势，即当产品承受较低的应力水平时，较高应力水平下的疲劳寿命变化较小，而疲劳寿命变化较大，如图所示 4 面临的挑战是捕捉这种随应力水平和使用周期变化的变化趋势，并将其建模为损伤累积的总变化。
基于上述讨论，在建模损伤累积的总变异性时，需要考虑两个有趣的方面。 (1) 如Wang和Coit所述，在恒定应力水平下，损伤累积的可变性随着使用周期的增加而单调增加[ 17 ]和Coit等人[ 20 ]. （2） 疲劳寿命的可变性在较高的应力水平下较低，而它随着应力水平的降低而单调增加，如图所示 2 和 4 Pascual和Meeker[ 21 ]还指出，在大多数疲劳实验中，疲劳寿命的方差随着应力的减小而增加，因此疲劳寿命的标准偏差可以建模为应力的单调函数。 事实上，承受多种应力水平的产品疲劳寿命的可变性是损伤累积可变性的另一个主要来源。
为了对损伤累积的总可变性进行建模，需要考虑这两个可变性来源。 下一节阐述了考虑这两个方面的损伤累积可变性建模。
2.3.1. 推导方差趋势线方程 鉴于使用周期的可变性在疲劳失效寿命时从零持续增加到某一值，其变化率可以使用几何推理进行解释。 如图所示 5 .
如图所示 5 ， 表示平均损伤累积趋势线和线 将原点与 点（即点 在图中 5 )疲劳寿命分布。 因此， 表示距离疲劳寿命分布中心点的一个标准偏差距离，因此， 假设这两条直线的斜率 和 表示为 和 分别是。
根据图中所示的几何结构 5 标准偏差的变化率( )的使用周期可以解释为： 哪里 ， 、和 .将这些替换为( 19 )给出： 自 ，我们有： 平均损伤累积线的斜率 可通过以下方式获得： 类似地，直线的斜率 可以导出为： 通过取两个斜率的比值，并考虑到 ，它给出： 替换( 24 )英寸( 21 ) 给予： 此外，直线的斜率 和 也可以通过以下方式获得： 使用( 26 )英寸( 25 )给出： 使用周期的可变性（或标准偏差） 等幅应力水平 可以表示为： 现在通过组合( 27 )和( 28 )，使用周期的标准偏差估计为： 正在考虑( 18 )和( 29 )，可以导出一个关系来估计损伤累积度量的可变性或标准偏差 如下： 考虑到 , ( 30 )可以修改为更具提示性的形式，如下所示： 方程式( 31 )表明损伤累积的可变性是应力幅值、使用周期、疲劳失效寿命和疲劳失效寿命可变性的函数。 为了估计损伤累积的可变性，这些参数值可以从概率 - 曲线（参见图 2 ).
上述方程代表了一个模型，可用于捕捉单个应力水平下损伤累积的变化。 如果产品也受到多个应力水平的影响，则可以扩展相同的模型来捕捉损伤累积的变化。 图 6 说明了在多级应力加载场景中使用周期方差如何变化的概念。
已经讨论过了（参见图 4 )损伤累积率及其可变性取决于应力水平和使用周期数。 此外，不同应力水平的变化率不同。 因此，考虑到多应力水平情况，疲劳失效时损伤累积的总可变性或标准偏差可以使用以下等式获得： where后缀 表示多级应力加载场景中的应力水平。
在下一节中，为捕获损伤累积及其可变性而开发的模型将与用于预测机械部件可靠性的动态统计模型一起使用。
3.可靠性预测 众所周知的应力-强度干涉模型从概率的角度考虑了产品的可靠性。 这一概念过去曾被许多研究人员用于开发预测产品可靠性的模型[ 11 ， 22 – 24 ]。 Liao等人[ 11 ]基于基本假设和假设，将现有的可靠性预测累积疲劳损伤模型分为两类：（i）静态统计模型和（ii）动态统计模型。 与静态模型不同，动态模型将随机变量的期望值和方差视为与时间相关的，其值随时间不断变化。 然而，这些动态统计模型是在现有经典应力-强度干涉模型的基础上发展起来的，将随机变量视为动态随机变量[ 11 ]。 在本工作中，损伤累积被视为动态随机变量，其分布参数（平均值和方差）取决于使用寿命（时间），如下所示( 5 )和( 31 ). 本文提出了一种考虑概率损伤累积的动态可靠性预测模型。 在制定动态可靠性预测模型时，做出了以下假设。 (1) 损伤累积时发生疲劳失效 达到伤害阈值 ，其中 . （2） 阈值损伤或临界损伤与损伤累积测度具有相同的分布。 (3) 当使用寿命等于疲劳失效寿命时 阈值损伤累积的可变性 等于损伤累积度量的可变性 损伤累积测量值的可变性随着使用寿命的延长而不断增加，但当使用周期达到疲劳失效水平时，相应的可变性假设与阈值损伤累积的可变性相同。 然而，它在统计上独立于 .
由于损伤累积测度被视为一个正态分布的动态变量，产品在损伤累积方面的可靠性可以建模如下：
上述概念的图示如图所示 7 。需要注意的是，当使用周期等于故障寿命时 ，阈值损伤累积的可变性将等于损伤累积的可变性( ).
替换( 6 )和( 32 )英寸( 33 )，可靠性可以用更具启发性的形式表示如下： 上述模型考虑了产品在使用周期内的动态行为或连续退化现象，提供了动态可靠性预测。 本质上，所提出的动态可靠性预测模型捕获产品生命周期，并评估给定时间段或使用周期内的产品可靠性。 该模型可用于预测产品在单应力和多应力水平情景下的可靠性。 以螺旋弹簧（压缩型）为例，验证了该模型的适用性。
4.示例 为了证明所提议的可靠性评估方法的适用性，建模所需的疲劳试验数据 - 曲线采用扎科内曲线[ 7 ]对压缩机用螺旋压缩弹簧进行疲劳试验后获得。 表 1 显示了不同幅度应力水平下的疲劳试验数据以及考虑的相应标准偏差。
使用上述数据 - 对曲线模型进行拟合，以获得如下模型参数： 常数的值 通过取疲劳强度常数的倒数计算得出： 使用这些参数值和( 6 )，压缩弹簧在给定使用周期数下的单应力或多应力水平下的损伤累积预期值可按如下方式获得：
4.1. 单一应力水平的可靠性预测 首先，通过估计单个应力水平的可靠性，证明了该模型的适用性。 单个应力水平为360 考虑MPa。 为此，必须估计阈值损伤的可变性 疲劳失效寿命和任何给定使用周期下损伤累积的可变性。 考虑第三种假设，计算疲劳失效寿命下的阈值损伤的可变性 疲劳失效寿命 和使用( 31 )如下： 哪里 ， MPa，疲劳失效寿命 循环，以及 循环。
使用这些变量和参数值，获得阈值损伤的可变性，如下所示 .
同样，可以计算任何给定时间段或使用周期的损伤累积变化 。一旦估计了这一可变性因素( 34 )可用于估计在任何给定时间段内承受单一应力水平的压缩弹簧的可靠性，如下所示： 哪里 表示 .方程式( 39 )将可靠性表示为使用周期的函数 在单一应力水平。
考虑可靠性函数方程( 39 )，图 8 图示了435处单个应力水平的可靠性图 兆帕，360 MPa和320 兆帕。 这些可靠性图清楚地揭示了可靠性随着使用周期的增加而降低的趋势。 对这些可靠性图的仔细分析表明，可靠性在初始阶段保持较高（几乎不变），随后随着使用周期的延长而开始下降。 这一现象解释了对裂纹萌生和裂纹扩展周期的现有理解。 较高和稳定的可靠性阶段虽然随应力水平而变化，但代表裂纹萌生期，可靠性损失阶段代表裂纹扩展期。 从这些图中可以清楚地看出，较高应力水平下的裂纹萌生期较小，裂纹扩展期间的可靠性损失较快，表明退化较快或损伤累积速率较高。 产品的总寿命也随着应力水平的变化而变化，因此支持了以下论点：需要在设计优化模型中捕捉动态行为或退化现象，以提供更现实的解决方案。
4.2. 多应力水平的可靠性预测 为了演示多应力加载场景，让我们考虑一个螺旋压缩弹簧，它承受三个连续的435级应力 兆帕，360 MPa和320 分别在40000、60000和剩余使用循环次数下达到MPa，直至疲劳失效。 为了估计多应力水平载荷下的可靠性，需要预测弹簧在多应力载荷条件下的疲劳寿命。
4.2.1. 疲劳寿命预测 如前所述，线性损伤累积理论表明，任何应力水平下的损伤分数与使用循环次数与该应力水平上的疲劳失效次数之比成线性比例[ 19 ]。 在多应力水平加载的情况下，当这些损伤分数相等时，可以预测疲劳寿命。 因此，为了首先预测疲劳寿命( )需要计算第一和第二应力水平后的弹簧。 这可以通过以下方式获得： 剩余寿命为 使用周期数。
预计疲劳寿命( )弹簧在多应力水平荷载条件下的挠度为： 使用周期数。
4.2.2。 可靠性预测 为了估计弹簧在给定多级应力载荷下的可靠性，需要估计疲劳失效寿命阈值损伤的可变性。 疲劳失效寿命下阈值损伤的可变性按第 4.1 （即使用第三个假设）和( 32 ) 其中使用周期为 ， 、和 和疲劳失效寿命 ， ， ，每个疲劳失效寿命的可变性为 ， 、和 .
使用适当的变量和参数值，阈值损伤的可变性 是 .
同样，可以获得任何给定使用周期的损伤累积变化。 在估计阈值损伤的可变性和任何给定使用周期的可变性后，可使用以下公式估算承受给定多级应力载荷的任何给定时间段内压缩弹簧的可靠性： 其中( )表示( ). 使用可靠性函数方程( 43 )，三个连续应力水平435的多应力水平加载的可靠性图 兆帕，360 MPa和320 MPa如图中的图A所示 9 .对可靠性图A的仔细分析表明，最初的损伤累积率较高，因为弹簧首先受到较高的应力水平。 因此，较高可靠性阶段（裂纹萌生期）非常短，裂纹扩展开始于寿命早期。 但随着寿命的增长，与较高应力下的早期速率相比，裂纹扩展速率略有降低。 换言之，当产品受到高低顺序的应力时，可靠性损失率更高，从生命早期开始，但在受到低应力水平时，损失率较慢。 这是因为初始应力水平较高导致裂纹萌生期较短，而在承受较低应力时，裂纹扩展期相对较长。
4.3. 通过改变加载顺序预测多应力水平的可靠性 为了研究加载顺序的变化对螺旋压缩弹簧可靠性行为的影响，将多应力水平加载的顺序颠倒过来（即320 兆帕，360 MPa和435 连续使用周期分别为167750、60000和40000的MPa）。
这种反向多级应力载荷的可靠性图如图B所示 9 在多应力加载情况下，加载顺序的反转不会对弹簧的疲劳寿命产生太大影响，因为根据线性损伤累积理论，不同应力水平下消耗的寿命比例保持不变。 但可靠性图B表明其形状发生了很大变化。 由于低-高应力序列，初始高可靠性阶段相当长。 这表明裂纹萌生阶段较长，损伤累积速度较慢，因为在较低的应力水平下裂纹扩展较慢。 然而，一旦弹簧承受更高的应力水平，由于裂纹的快速扩展，可靠性开始急剧下降，因此在更高应力水平下，损伤累积速率更高。 换句话说，可以从裂纹萌生阶段的持续时间和可靠性随使用时间的损失率中观察到加载顺序变化的影响（如图 9 ). 可以观察到，与低-高顺序相比，高低顺序加载的可靠性损失率通常较高，但变化较晚。
作者认为，这两种情况代表了多级应力加载现象的两种极端但理想的加载情况。 在实际应用中，加载模式不一定是顺序的，但可以是任何加载顺序中应力水平的任意组合。 因此，这两种极端情况为多级应力加载提供了一个可靠性行为带，对于任何给定的实际寿命加载模式，实际可靠性行为都可能在该带内。
5.结论 该方法提供了一种简单的方法来建模损伤累积度量的概率分布，从而捕获产品的实际生命行为。 它提出了一种简单而独特的方法来建模损伤累积过程，将其视为一个非平稳过程，以捕捉任何给定时间点的损伤累积及其变化。 该方法可以扩展到考虑其他疲劳失效分布，如对数正态分布和威布尔分布，以模拟概率损伤累积。
该方法的主要局限性在于，它将损伤累积视为线性现象，而实际上，损伤累积可能是非线性现象，尤其是在多应力加载情况下。 我们未来的研究工作旨在理解多应力加载条件下的非线性损伤累积现象。 未来研究的另一个潜在研究领域可能是捕获退化行为（动态退化现象）并将其纳入设计优化模型，以捕获生命周期问题并提供更现实的解决方案。
