本文研究与人类甲型流感疾病进化相关的分数阶SIRC模型。模型的定性动力学由基本再生数决定，.我们详细分析了无病不动点和正不动点的渐近稳定性。非标准有限差分方法被用于求解和模拟微分方程组。
1.简介
流感由三种不同类型的病毒传播，即a型、B型和C型[1]. 其中，病毒A在流行病学上对人类来说是最重要的，因为它可以将其基因与鸟类、猪、马等动物种群中传播的毒株的基因重组[2,三]. 在过去20年中，基于Kermack和McKendrick开发的经典易感感染缓解（SIR）模型，提出了许多预测流感在人群中传播的流行病模型[4].
Casagrandi等人[5]通过添加新隔间引入了SIRC模型可称为交叉免疫舱，用于SIR模型。这个交叉免疫隔间()描述了完全易受影响的()和完全保护的()一个。他们用数值方法研究了这个模型的动力学行为[6]. Jódar等人[7]开发了两种非标准有限差分格式，以获得Casagrandi等人提出的甲型流感疾病模型的数值解[5]. 最近Samanta[6]考虑了具有不同总人口规模和分布时滞的甲型流感非自治SIRC疫情模型。
分数微积分的概念是由标准微积分的创始人之一莱布尼茨在1695年的一封信中提出的。近几十年来，分数阶微积分和分数阶微分方程由于其在科学和工程中的潜在应用而引起了人们的极大关注和兴趣（参见[8,9]).
在本文中，我们考虑了与人类甲型流感疾病进化相关的分数阶SIRC模型。模型的定性动力学由基本繁殖数决定，.我们详细分析了无病不动点和正不动点的渐近稳定性。通过数值模拟验证了所得结果。
2.模型推导
分数导数有很多定义[8,9]. 也许最著名的是Riemann-Liouvile定义。Riemann-Liouville阶导数定义为哪里是伽马函数是一个整数。Caputo引入了另一种定义，如下所示，这是Riemann-Liouville导数的一种正则化：最常见的定义是Caputo定义，因为它在实际应用中被广泛使用。具有Caputo导数的分数阶微分方程的初始条件与整数阶微分方程的初始条件形式相同。Grunwald-Letnikov（GL）定义如下这个公式可以简化为哪里是时间步长Grunwald-Letnikov系数定义为和。中所示的模型[5]对于在人群中传播的流感疾病，将人群分为四组或四类：是当时易感人群的比例（没有病毒的个人），是指当时感染的比例（携带病毒并可能感染的个人），是当时回收的比例（个人从病毒中恢复并具有临时免疫力），以及是当时交叉免疫个体的比例该模型的主要假设之一是人均出生率为常数出生率与死亡率相同。使用上述假设，Casagrandi等人[5]介绍了以下系统：其中参数是流感的接触率，也称为易感染者的传播率，是交叉免疫期，是感染期，是总免疫期σ是单位时间内招募到感染亚群中的暴露的交叉免疫个体的比例[5,7].
近年来，在不同的研究领域，FDE模型受到了广泛的关注。这些模型最本质的性质是它们的非局部性质，这在整数阶微分算子中是不存在的。我们的意思是，模型的下一个状态不仅取决于其当前状态，还取决于其所有历史状态。现在，我们通过Casagrandi等人将分数阶引入ODE模型[5]. 新系统由以下一组分数阶微分方程描述：哪里是Caputo分数导数。因为模型(2.6)监测人口动态，所有参数均假定为非负。此外，可以证明模型的所有状态变量在任何时候都是非负的（例如，请参见[7,10]).
引理2.1。闭合集相对于模型是正不变的(2.6).
证明。总人口的分数导数，通过将模型的所有方程相加而获得(2.6)，由给出解决方案(2.7)由提供，其中是Mittag-Lefler函数。考虑到Mittag-Lefler函数具有渐近行为[9,11],可以观察到当因此，初始条件为留在为所有人因此，区域相对于模型是正不变的(2.6).
在下面，我们将研究系统的动力学(2.6).
3.平衡点和稳定性
为了计算平衡点，让然后.签署人(2.6)，正平衡满足和是的正根，其中和雅可比矩阵对于中给出的系统(2.6)在无病平衡下评估如下：
定理3.1。无病平衡是局部渐近稳定的，如果并且不稳定，如果.
证明。如果所有特征值，雅可比矩阵的满足以下条件[12,13]:雅可比矩阵的特征值是和.因此是局部渐近稳定的，如果并且不稳定，如果.我们现在讨论由(2.6). 雅可比矩阵在地方病平衡下评估为：特征方程是哪里哪里.让表示多项式的判别式.如果然后。表示以下内容[12,14–16]，我们有这个建议。
提议3.2。有人认为存在于.（i）如果,是积极的，劳斯·赫尔维茨很满意，也就是说，,,,，然后是局部渐近稳定的。（ii）如果,,,,然后是局部渐近稳定的。（iii）如果<0,,,，然后不稳定。
4.数值方法和模拟
由于大多数分数阶微分方程没有精确的解析解，因此必须使用近似和数值技术。已经提出了几种解析和数值方法来求解分数阶微分方程。对于系统的数值解(2.6)可以使用非标准有限差分法（NFDM）。非标准有限差分格式是由Mickens在20世纪80年代引入的一种强大的数值方法，它保留了所涉及微分方程精确解的重要性质[17]. 非标准有限差分方法的概念在[18]. 应用此方法，系统(2.6)可以离散如下[7]:对进行一些代数操作(4.1)产生以下关系：近似解,,、和如图所示1,2,三,4、和5分别是。在每个图中α已考虑。什么时候？，系统(2.6)是经典的整数阶系统(2.5). 图1指示系统近似解的行为(2.6)获得的值为.在图中2，的变化与时间相对显示了不同的值通过固定其他参数。据透露α随着易感比例的增加，行为在一定时间后发生逆转。图三描述与时间相对，用于图形三,4、和5显示了类似的变化,、和具有的各种值α.
致谢
作者感谢阿卜杜拉齐兹国王大学（KAU）科学研究院长对题为“非线性分析和应用数学”的小组的支持。他们还感谢裁判的有益评论。
