我们考虑第二类非线性Volterra-Fredholm积分方程（NVFIE）。Volterra内核依赖于时间，Fredholm内核依赖于位置。存在性和唯一性讨论了该方程在一定条件下的解。采用分块方法对此类方程进行数值求解。给出了一些数值例子来说明我们的结果。
1.简介
不同的方法被用来求解积分方程，这些积分方程是从许多物理应用中研究的，例如弹性理论中的混合问题。波波夫[1]应用正交多项式方法求解连续介质力学中的混合问题。巴德尔[2]应用Toeplitz矩阵法求解NVFIE。Abdou等人[三]讨论了第二类Harmmerstein-Volterra积分方程的解。在[4]，Haci在数值上获得了空间中Harmmerstein积分方程组的解Cochran提到了具有退化核的Volterra积分方程与线性微分方程组之间的等价性[5]. 虽然对于具有光滑核的第二类VIE，已有一些关于Hermite型配置方法的研究，但对于弱奇异核的研究并不多。例如，帕帕西奥多罗和耶萨尼[6]利用配点法得到了具有弱奇异核的Volterra积分微分方程的解。有关Volterra方程不同分析和数值解的更多信息，请参阅Davis[7]，林茨[8]，沃尔泰拉[9]和沃尔肯菲尔特[10].
在本文中，我们考虑以下NVFIE：在一定条件下，利用不动点定理证明了上述方程存在唯一解，其中是Fredholm内核是Volterra内核。称为自由项，未知函数，在应用数学中称为势函数，它将被确定。这两种功能和假设在相同的空间中。参数有很多物理意义。将数值方法应用于该方程，并将其简化为第二类Volterra积分方程组。最后，利用分块方法得到了该系统的数值解。列举了一些例子来说明结果。
2.解的存在唯一性
为了保证解的存在性和唯一性(1.1)，我们写(1.1)积分算子形式哪里此外，我们假设以下条件：（i）并且通常满足条件(是一个常量）。（ii）并满足，其中是一个常量。（iii）给定的函数其对位置和时间的偏导数在空间中是连续的，其范数定义为(是一个常量）。（iv）已知函数满足以下条件：（a）,（b）.
在这些条件下，利用Cauchy-Schwarz不等式和Minkowski不等式，结合Schauders不动点定理，我们很容易证明以下定理。
定理2.1。如果满足条件（i）-（iv），则(1.1)在该领域有独特的解决方案.
3.数值解
在本节中，我们提出了一种数值方法来求解(1.1). 该方法包括两个阶段。
在第一阶段，我们将这个方程改写为线性Volterra积分方程组。为此，我们选择一个足够小的步长，我们假设是间隔的分区具有然后，在每个点(1.1)成为哪里
更换积分通过形式的数值积分规则，其中，然后近似为(1.1)可以作为Volterra积分方程组发现：在第二阶段，我们使用分块方法来求解这种Volterra型积分方程组。以下小节解释了此方法的工作原理。
3.1. 逐块方法，参见[8]
假设我们需要解一个形式为逐块方法背后的思想是划分间隔进入网格，然后我们尝试计算未知函数的值除了，在哪里使用任何已知规则，比如辛普森规则，我们有获取的值，我们介绍一下要点, ，然后我们再次使用辛普森规则来获得
替换值通过使用值的二次插值,、和，我们有这样我们就可以计算通过方程式(3.5)和(3.8)是一对联立方程和.足够小,和可以使用任何程序（如Netwon的方法）唯一地找到。
一般来说，对于，的近似解(3.4)使用以下两个方程式进行评估：哪里
在每个子间隔，对于未知量，我们同时求解这两个方程和，以便我们一次获得一个未知块。
3.2. 分块方法在NVFIE中的应用
结合前面的结果，我们得到了由以下两个方程定义的新方案：哪里.
这两个方程是两个未知的非线性方程和，因此可以使用任何程序（如Netwons方法）唯一地确定它们。通过重复，我们得到了解决方案对于每个.
4.示例
当（i）情况1：,（ii）案例2：.
示例4.1。求解Volterra-Fredholm积分方程这个积分方程的精确解是.表格1和2列出不同值的错误和对于不同的值（间隔的分区数和（间隔的分区数).
示例4.2。求解Volterra-Fredholm积分方程这个积分方程的精确解是.表格三和4列出不同值的错误和对于不同的值和,.
5.结论
数值积分方法的两个规则用于求解(1.1). 这些规则中有一条是合乎规程的矩形方法，应用于变量的积分另一种方法是高阶方法，块对块方法，并应用于变量t的积分，其中我们使用了以下事实。关于该解决方案的更多信息可以让我们将高阶方法与逐块方法结合使用。
