我们考虑迭代算法的误差估计变换信号空间。对于经典的采样和重建算法，广泛研究了白噪声污染样本的误差估计，但对带有时间抖动和迭代噪声的噪声的误差分析还没有得到给予同样的关注。本文研究了三类误差估计。具体来说，我们得到了从噪声中重建信号的误差估计样本、具有时间抖动的噪声样本和迭代噪声。
1.简介
著名的香农抽样定理[1]成功解决函数的重建在从它的样品中，其中是一个可数索引集。这是信号或图像处理中许多应用中的常见任务。这个香农抽样定理说如果是有限能量的带限信号，那么它完全由它的样本来表征。在许多工程应用中，如MRI成像，信号和图像不受频带限制。一个这样的例子是shift-in-variant空间。变移空间中的非均匀采样和重构问题是一个相对较新且活跃的研究领域[2–12]。20世纪90年代开发的移频空间模型成功地解决了许多工程问题，其中信号被重构的物体被假定生活在一个变换空间中。它已被证明是合适和现实的，特别是在考虑到现实环境、用平滑频谱建模信号或进行数值实现时[8，10，12].
在本文中，我们将假设函数或信号都属于形式的移位-变空间[2–12]
在移位不变空间中研究了许多重建算法。例如，迭代算法是在移位不变空间中获得的[三]。然而，从被噪声破坏的数据中重构函数却没有得到足够的重视。Smale和Zhou从中的噪声数据重建信号[7]并给出了重构信号的误差估计[8]。Aldrubi等人讨论了基于噪声样本的帧重建的误差分析[2]。Chen等人给出了移位不变空间中重建算法的混叠误差估计[4]。我们将研究在移位不变空间中从噪声样本中迭代重建算法的误差分析。
本文考虑了在位移不变空间中迭代算法的以下三类误差。(1)信号样本受一些加性噪声的影响，因此由哪里是采样点，并且是噪声采样的矢量。（2）在上述误差模型中添加时间抖动误差哪里抖动。由于采样时间的原因，无法正确满足点，但可能与精确的点相差不超过给定值也就是说，.(3)中的数字错误迭代算法中的第个迭代步骤，如定理所示2.1是也就是说，
对于第一种误差分析，它得到了广泛的研究，参见[1，三，7，8，10]。然而，第二类和第三类误差分析却没有得到足够的重视。第二种错误分析是在带限信号空间中进行的[13]。研究了无附加噪声的时间抖动误差[6，9]。第三类误差分析的一些结果显示在再现核空间中[14]。本文研究了位移不变空间中迭代算法的三类误差。
论文组织如下。在节中2介绍了单位有界划分、移位不变空间和移位不变空间中的迭代算法等概念。在节中三，我们从噪声样本中给出了迭代算法重建算法的误差估计。
2.注释和前言
所考虑的移位变量空间的形式如下哪里就是所谓的发电机生成器属于维纳汞齐空间连续函数的子空间.可衡量的功能属于维纳汞合金空间如果它满足对于任何，我们有等价的范数英寸[三]; 也就是说，存在常量和这样的话
一套令人满意的被称为分开的，其中是一个可计数的索引集。对于采样集，我们可以给出以下单位有界划分（BPU）的定义。有界单位分割（BPU）与关联是一组函数让人满意的(1)，其中，（2），(3).
操作员由定义是采样值的准内插线.
Aldrubi和Gröchenig在[三].
定理2.1。让采样设置为对一些人来说和是与关联的BPU.让加入和是来自的有界投影到上面然后，存在密度如果是分开的，然后是任何可以从样品中回收关于采样集通过迭代算法
3.迭代重建算法的误差估计
首先，对于给定的数据表单的，我们估计在定理中3.3，其中通过定理中的迭代近似投影重建算法恢复2.1来自损坏的样本.如果平均值为零的噪声方差，然后是和在定理中给出3.1第二，我们讨论第二类错误。估计将在定理中显示3.4，其中通过迭代近似投影重建算法从损坏的样本中恢复第三，如果在迭代算法中的第个迭代步骤，然后我们将在定理中考虑迭代算法的数值稳定性3.5.
定理3.1。假设迭代近似投影重建算法中的初始样本如定理所示2.1被破坏了，也就是说，噪音.假设，平均值为零的噪声方差，即，如果存在常量这样的话那么对于任何哪里通过迭代近似投影重建算法从损坏的样本中恢复和、和在定理中定义2.1.
证明。正在应用(2.4)迭代导致再加上(2.4)意味着哪里，.
组合(3.5)带有导致
由, (3.2)、和(3.6)，我们获得
备注3.2。如果我们添加中给出的一些限制条件[14]用于发电机也就是说，哪里，和是的双重，那么很容易检查(3.2)保持在变换空间。Song等人获得了限制条件(3.2)在中保留有限带宽空间[15]。从引理 第2.1页，共页[16], (3.2)保持特殊的位移不变，即样条子空间。
定理3.3。如果迭代近似投影重建算法中的初始样本如定理所示2.1被破坏了，也就是说，噪音，然后受噪音标准。更准确地说，哪里通过迭代近似投影重建算法从损坏的样本中恢复和.
证明。让哪里.
从迭代(3.10),
使用引理 第8.3页，共页[三]，我们可以选择这么小以至于
由(3.4),(3.11)、和(3.12)，我们有这意味着.
定理3.4。假设迭代近似投影重建算法中的初始样本如定理所示2.1被破坏了，也就是说，针对噪音具有和.如果存在常量这样的话用于发电机和采样集，然后哪里通过迭代近似投影重建算法从损坏的样本中恢复如定理中所定义3.1和定义见(2.3).
证明。发件人(3.2)和(3.5)，我们有
接下来，我们将估计.
通过Hölder不等式和(3.14),
最后一个不等式来自(2.3).
所以，我们有
最后，我们将考虑迭代算法的数值稳定性。
定理3.5。假设迭代算法中的第个迭代步骤，如定理所示2.1是也就是说，那么，我们有以下估计哪里.
证明。通过归纳，我们得到，其中和对于.
使用引理 第8.3页，共页[三]，我们可以选择如此之小以至于(3.12)持有。
因此，
迭代算法也精确地指数收敛
事实上，通过迭代算法发件人(3.12)，我们有.
组合(3.21)带有(3.22)，我们有
致谢
本项目得到了国家自然科学基金（10801136，10871213）、广东省自然科学基金会（07300434）和中央高校基本科研业务费（10lgpy27）的部分资助。这部分工作是在作者访问中佛罗里达大学数学系时完成的。作者感谢该系的盛情款待。作者感谢孙启宇教授和孙文昌教授的讨论和建议。
