对海森堡测不准关系的证明进行了修改，以产生两个改进：（a）所得不等式更强，因为它包括了两个观测值之间的协方差；（b）该证明对应用该关系的状态解除了某些限制，增加了其普遍性。应用标准不等式所需的限制条件并不广为人知，并对其进行了详细讨论。还导出了海森堡关系的经典模拟，并对两者进行了比较。最后，使用修改后的关系来解决明显的悖论，即z（z）角动量分量L（左）z（z）不满足φ–Lz（z）海森堡关系；解决的办法是，上述限制使得通常的不平等不适用于这些州。然而，修改后的关系确实适用，并且表明它与显式计算一致。

话题
不确定性原理
1
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，本文还表明，具有协方差的不确定性关系对于混合状态也是有效的。
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11
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12
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15
请参见参考。4和7.
16
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17
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18
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19
J.M.Jauch，量子力学基础（艾迪生-韦斯利，纽约，1968年）。
20
参见参考。16第43页。
21
C.科恩·塔努吉、B.迪乌和F.拉洛，量子力学（威利，纽约，1977年），第1卷，第286-287页。
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