最优抽样设计与居住模型的准确性

摘要

对于检测不完善的大范围占用率研究设计，我们提出了占用率估计可能的准确性（均方误差或MSE）的一般理论极限，并通过模拟研究证实了我们的理论结果。特别是，我们表明，对于给定的总体调查工作，最好的MSE是由两个与设计相关的因素驱动的：在占用场地进行访问的比例（无论占用状态是否已知）和对每个占用状态未知的场地（即未检测到的场地）进行访问的次数。这些限制表明，与现有三种居住设计范式的优化实施相比，几乎没有改进的余地：标准设计（访问S公司地点K（K）每次），拆除设计（访问S公司站点最多K（K）每次访问次数、阳性检测后停止访问每个站点）和条件设计（访问S公司站点一次，然后用阳性检测重新测量站点次）。对于可以实现改进的占用检测参数空间的一小部分，我们引入了一种新的混合测量设计，其精度接近理论极限，我们通过重新分析现有的郊狼来说明这一点(拉丁犬)相机陷阱数据集。我们的结果为居住研究设计的关键因素提供了新的清晰性和直观性。

1引言

首次引入生态学的占用模型麦肯齐等. (2002)和轮胎等. (2003)并由麦肯齐等. (2018)，旨在帮助估计真实占用率（ψ）和检测(第页)研究系统的速率，其中对物种或个体存在的检测不完善，并且不能保证每个站点的存在（尽管占用站点的占用状态=1，-假设该站点的所有访问都是恒定的）。已对占用模型进行了调整，以适应这种关闭假设的违反情况（参见麦肯齐等., 2018，概述），但这里我们只是假设假设违反的影响可以忽略。

从入住率研究中得出的管理决策和生态推断依赖于对真实入住率的准确估计，在较小程度上依赖于研究系统的检测概率。为此，占用率研究设计中的关键问题是分配采样点的工作量，以便最有效和准确地估计真实占用率（和检测率）。是减少对更多网站的调查次数，还是减少网站的调查时间？最好是按照预先规定的次数对每个现场进行调查，还是根据相关现场和可能的其他现场已经完成的调查结果，决定在现场“动态”停止或继续采样？那么，应该如何做出此类“即时”决策呢？这些问题的答案在很大程度上取决于所讨论系统的占用和检测的真实值：即使是最简单的占用设计，标准设计（请访问S公司地点K（K）每次访问次数），一般来说，当检测概率为第页是较低的，并且当第页很高，同样，当入住率ψ较高时，最好访问较少的站点更多的次数，当ψ较低时，访问较多的站点更少的次数(MacKenzie和Royle，2005年). 已经提出了额外的抽样设计，以提高标准设计在某些部分中的准确性和努力性能参数空间；根据研究系统的具体情况，最好采用拆除设计(MacKenzie和Royle，2005年)，条件设计(规格等., 2017)，两阶段设计(帕奇菲奇等., 2012)，或自适应两阶段设计(帕奇菲奇等2016年).

当然，改进的潜力取决于我们可以控制设计的哪些方面。考虑到固定的场地规模，实际占用价值是系统固有的，显然超出了我们的控制范围。检测概率取决于我们无法控制的相关系统的固有特性（包括物种的物理特性、行为和栖息地），以及使用的调查方法（包括监测设备的选择以及现场技术人员的培训和经验）这在我们的控制范围内。最后，测量设计本身（尤其是可用的总测量工作量以及如何在现场和重新测量之间分配该工作量）完全在我们的控制范围内。

我们没有逐一调查所有可能的调查设计，而是采取更一般的方法，重点关注以下问题：居住设计的哪些特征决定了其相对性能？所有可能的居住设计的准确性的理论极限是什么？

由于入住率的最大似然估计(⁠⁠)入住模型是渐近无偏的及其均方误差(⁠⁠)因此（渐近地）由其方差驱动(⁠⁠;吉列拉·阿罗伊塔等., 2010)，我们将根据其渐近方差分析所有可能的单季、单物种入住调查设计的景观，以找到所有可能的测量设计。然后很自然地将现有设计范例（标准、删除和有条件）的性能与理论最小值进行比较；我们通过分析和模拟研究来实现这一点。最后，我们提出了一种混合调查设计，该设计在所有可能的方面都优于（如果只是略微优于）所有三种现有设计范式组合并提供对现有郊狼相机陷阱数据集的重新分析示例(罗塔岛等., 2016)使用所有三种现有的设计范式加上新的混合设计。

2一般同质居住模型的性质

可能的占用调查设计的景观很大；人们可以根据过去访问某个站点的结果，或其他站点的过去访问结果，或协变量的测量值来决定是否继续访问某个特定站点，并且有许多可能的决策规则原则上是无限多的。这里列举了一些可能的调查设计多样性的例子，其中包括一些公认的轻浮：

• •

  不管检测历史（标准设计）如何，继续访问站点，

• •

  在第一次检测之前访问现场（拆除设计），

• •

  继续访问首次访问时检测到的任何站点（条件设计），

• •

  访问所有站点x个次，然后继续访问在这些访问期间检测到的任何站点（标准和条件的混合），

• •

  在第一次检测之前访问一半的站点，在第一次未检测之前访问另一半的站点（混合移除和反向移除），

• •

  继续平等访问所有站点，直到总共检测到20个

• •

  在检测到奇数次就诊（即第一次就诊、第三次就诊等）后停止就诊，

• •

  每次访问一个网站时都会掷硬币决定是否继续访问，以及

• •

  重大降雨事件发生后，停止参观现场。

然而，尽管研究设计有很多可能性，但如果我们假设ψ和第页在所有现场和访问中，然后每一个单一物种、单季入住率调查都会得出ψ和第页这取决于三个足够的统计数据，

其中我们忽略了组合因素；是至少检测到一次存在的站点数量，是在这些方面花费的精力（访问总数）吗站点，以及d日是在此期间检测的总次数访问。请注意是指在所有访问中，在一个占用的站点上至少检测到一次的概率（我们假设所有站点都是恒定的，请参阅下面的注释），以及S公司，总调查场址数，是由调查设计确定的参数，并不是一个充分的统计数据。

可能性1可以解释为：是的产品（在每个已知占用率的场地）和（访问这些地点期间的额外检测）；是对已知占用率的现场进行非检测访问；和是在剩余的每个位置没有检测到任何东西的概率占用率未知的站点（这些站点要么未被占用，要么可能有贡献或被占用，但仍无法检测到其存在可能性⁠，相加得出系数为对于每个站点）。

关于的注释和全零检测历史

无论调查设计的细节如何，累计检测概率等于1减去给定地点未检测到的概率，因此⁠，其中_n个是之后停止的概率n个非检测性访问。然而，为了简化我们的分析，我们假设调查完全基于该站点的检测历史确定地停在无检测站点；在这种情况下，有一个唯一的数字访问占用状态未知的现场（未检测到的现场），以及为所有人（我们的假设可以事后证明，因为我们将证明对于给定ψ具有最佳值，并且第页无论付出多大努力，因此如果同质化有效且所有就诊费用相同，那么从业者应该在所有无检测站点使用相同的访问次数）。明确地，是给定设计下的全零检测历史长度：

和的表达式因此大大简化为⁠此外，我们假设对于给定的设计，在所有站点上都是恒定的，因此无论其他可能的设计选择如何，设计总是在访问任何没有阳性检测的网站（尽管将因设计而异）。

对于任意的调查设计，我们必须区分全零检测历史的长度，⁠，以及对检测到的站点的最大访问次数，通常表示为K（K）根据调查设计，“无检测”调查可能会在与检测调查不同的访问次数后停止，这是一个极端的例子，条件设计终止在第一次访问时没有检测到的任何地点的采样，因此⁠，即使在第一次访问时注册检测的站点的访问次数可以任意大（即，K（K）可以有人喜欢的那么大）。确实如此对于标准测量设计和拆除测量设计，但通常情况并非如此。

2.1入住率和检测率估算

考虑到可能性1，占有率和检测概率的最大似然估计量由方程的联立解给出：

哪里n个是总访问次数，

如果所有访问都需要同等努力，正如我们在此假设的那样，那么n个也是总的努力。其他作者使用⁠,E类等，以确保全力以赴；我们使用n个避免与站点数量混淆S公司和期望值E[·]。

我们已经注释了2来说明如何是估计要占用的总场地的分数，第二个等式可视为占用场地和未占用场地所花费的工作量的估计值与实际总工作量之和的要求n个在实践中，第二个方程产生了一个多项式，必须对其进行求解⁠; 通常，这是用数字表示的，但在特殊情况下可以明确地用⁠以及足够的统计数据。

例如，有条件测量设计（如果没有检测到，则在现场第一次测量后停止，否则继续测量到K（K）次数；规格等2017年)，具有（因此⁠)和⁠; 这样我们就可以直接求解2要查找和⁠.

在标准测量设计中（测量S公司地点K（K）次数，所以⁠;麦肯齐等., 2002)，总工作量为⁠，因此2呈现出熟悉的形式(麦肯齐等., 2018)，通常仍需要通过数值求解才能找到⁠.

2.1.1边界估计

在极少数情况下，方程式2对于估计员和不适用。最大似然估计量由ψ和第页对应于参数空间上对数似然的上确界，⁠，通常通过设置实现和求解ψ和第页，这是2然而，这种导数方法可以找到参数有效[0,1]范围之外的最大值，在这种情况下，我们必须取该点在使可能性最大化的参数空间的边界上。

可以看出（见附录）2生成有效的估计当估计的检测概率大于或等于检测概率的初始估计时，即当⁠。如果检测到的站点数量异常多，但每个站点的检测率异常低，则可能违反此条件。在这种情况下，入住率的估算值和检测取而代之的是边界值：

对于总作用力为⁠，方程式4减少到导出的值吉列拉·阿罗伊塔等. (2010):和⁠.

无论入住率和检测率的估计值是否为边界估计值，方程式2和4只取决于足够的统计数据⁠,d日、和n个和设计参数S公司和⁠，以便所有测量设计都具有相同的S公司和得出相同的最大似然参数估计方程，尽管取决于设计d日,n个、和差异很大（有关通过各种检测历史重建哪些参数估计值的讨论，请参阅附录。）

2.2的渐近方差$<trans data-src="ψ">ψ</trans><trans data-src="^">^</trans>$和$<trans data-src="P">P（P）</trans><trans data-src="^">^</trans>$

我们将通过比较入住率估计值的渐近方差来评估不同调查设计的相对性能，⁠。由于占用估计量是渐近正态的，因此渐近方差是一个合理的比较点，因此渐近MSE由渐近方差驱动(吉列拉·阿罗伊塔等., 2010; 有关偏差的详细讨论，请参阅附录）。虽然小样本下的真方差与渐近方差不同，但Cramér-Rao界表明估计量的方差总是至少也一样大作为渐近方差，与样本大小无关(拉奥，1945年;克拉姆，1946年). 另请注意，由于现有的测量设计都具有有限的最佳值K（K）和对于给定的ψ和第页，调整样本大小意味着固定和调整S公司以必要的方式实现所需的E[n个]（如果我们让⁠，然后而且不需要占用模型）。

占有率和检测估计量的渐近方差和协方差由似然的Fisher信息的逆给出1,

在这里访问被占用场地所花费的精力是否为人所知；它不能用一次调查来衡量，但是可以计算为预期总工作量减去在未占用场地上花费的预期工作量，⁠。我们还定义了一个速记(⁠⁠)概率概率：是指在一次访问被占领现场时被发现的几率，以及是指在一个被占用的站点中，所有访问中至少检测到一次的概率。而渐近方差表达式5不简单，值得注意的是，它们仅由系统参数（ψ和第页)，设计参数(S公司和⁠)，和单个统计数量(⁠⁠)它概括了调查设计的所有其他细节的影响。

附录中以标准设计、拆除设计和条件设计的具体案例为例5以便于比较渐近方差和协方差，特别是共享表达式的形式给出⁠一般来说，这个表达式越大，渐近方差和协变就越小。此外，与站点数量成反比，S公司然而，重要的是要记住，对于固定的总工作量，这并不意味着可以通过访问更多站点来提高占用率估计精度；每到一个新地点，就意味着在现有地点少进行一次复测(MacKenzie和Royle，2005年).

2.3总工作量差异

根据设计参数，表面上看起来类似的占用调查设计(S公司,⁠,K（K）)在实践中可能会导致不同程度的实际努力。例如，标准测量设计和共进行了500次访问，而搬迁调查设计也是如此S公司和K（K）设计参数在最500次访问，尤其是如果ψ和第页接近1；在后一种情况下，搬迁调查的总访问次数不到100次也就不足为奇了。可以合理地想象，研究从业者和资助机构希望获得给定工作量（或成本）的最佳估计值，因此我们需要在同等工作量水平上比较不同的调查设计，或者更准确地说，在同等工作量的水平上比较预期作用力，E[n个]，因为与标准设计不同，许多设计的工作在任何特定实现中都无法保证，而是在统计上围绕预期值波动。

为此，差异5可以根据预期的总工作量重写为

式中，β是占用场地的预期作用力与预期总作用力的比值，⁠我们记得⁠注意，β为不占用场地的访问量与总访问量之比的预期值，⁠; 而是它们的预期值的比率⁠.

方程6请允许我们回答这个问题”什么样的抽样设计在固定的努力下方差最小E类[n个]?,” 自从S公司已从图片中删除，我们可以简单地通过固定E来比较相同努力水平下的不同设计[n个]或者更好地说，乘法6由E[n个]找到“努力归一化”的渐近方差。

3居住设计的比较和性能

本文的最终目的是比较不同可能的占用率研究设计的精度，以确定与现有设计（标准、拆除、有条件）相比是否有任何改进空间。固定E后[n个]因此，我们在平等的基础上比较调查设计，在渐近方差的表达式中只剩下两个变量6取决于测量设计：β和⁠.对于给定的真ψ和第页，我们需要做的就是找到β值和最小化期望的渐近方差方程。

描述了一个设计在一个占用状态未知的站点（即没有检测到的站点）上花费的精力，因此⁠根据定义，β仅取值⁠; 如果设计倾向于在占用场地上花费较少的精力，则β值较低，而如果设计趋向于在占用的场地上花费较多的精力，β值较高。然而，β甚至不完全在0和1之间。这是因为β是访问占用场地的分数，对可能的研究设计的限制对β的可能值提供了非常实际的限制。特别是，β的最小可能值来自于调查设计，在调查设计中，尽可能少地访问占用的场地，这正是拆除设计的情况。在搬迁研究期间，一旦检测到现场存在，将立即停止对现场的进一步访问，以确保尽可能减少对每个占用现场的访问次数。没有其他可能的设计会平均花费更少的访问量。E的计算[n个]和附录中概述了拆除设计，如下所示，对于给定的ψ和第页，β的最小可能值为

另一方面，β的最大可能值为1，或至少任意接近1。要了解这一点，请考虑条件设计，其中β具有显式表达式（见附录），从中可以清楚地看出，通过大量选择，β可以任意接近1K（K）因此，β的整个范围是区间⁠.

3.1最精确的居住设计

尽可能最小对于单季入住率调查设计，通过固定E[n个]和最小化超过可能的值和⁠这些最小值和相关的最优值’s和β’s（见表1)是本文的主要实证结果。

请注意（即无检测站点的访问次数）为不与最优值相同K（K）（在设计允许的已知占用率下，对现场的最大访问次数）：例如，对于较小的ψ值为1，这与条件式设计相对应，即如果第一次就诊时检测到阴性，则随后的就诊会停止，尽管第一次就诊检测到阴性后的后续就诊数量可能相当高（最佳K（K）条件设计为31，当⁠,⁠;规格等., 2017).

可能使用以下两种值进行设计与表中所示略有不同的β可能会获得非常接近理论最小值的方差。比较渐近最佳可能标准、删除和条件设计的理想实现（即使用K（K）在中给出规格等., 2017)，我们发现大多数占用检测参数空间已经被设计实现覆盖，几乎处于理论最小值（表2). 最值得注意的是，在几乎整个区域内，拆除设计基本上是最优的⁠; 对于低ψ，条件设计接近最优，特别是当第页接近1；标准设计接近最佳和⁠这些设计的相关性能已经由麦肯齐等. (2005),吉列拉·阿罗里塔和拉霍兹·蒙福特（2017）、和规格等. (2017); 新的是与所有其他可能的设计进行比较。这个结果的重要性怎么强调也不过分：

在传统占用框架内，基本上没有（适当实施的）标准、拆除和有条件占用设计的改进空间.

3.2模拟研究

评估渐近结果的适用性（表1和2)对于小样本，我们进行了一项模拟研究，比较了努力正常化标准、删除和条件设计三个预期努力水平的参数空间：⁠。对于三个调查设计中的每一个，我们在每一个努力、ψ和第页（ψ和第页独立地在0.1、0.2、…、0.9范围内），并计算在每个集合内获得的占用估计的方差和MSE（通过平均实现的努力进行归一化）。然后我们进行了比较和三种调查设计中，针对彼此和理论预测的最小方差。

在所有情况下，模拟方差和MSE均在最小理论值的一个标准偏差（σ）内⁠，除了ψ和第页(⁠⁠)其中，已知在小样本测量时几乎不可能获得ψ的准确估计(吉列拉·阿罗伊塔等., 2010，另请参见附录）。正如预期的那样，模拟和渐近结果（以及MSE和方差）之间的一致性在更高的努力水平上得到了改善，例如只有方差和平均有效误差与理论最小值的标准偏差超过一个，并且几乎整个参数空间的其余部分都有和理论最小值0.1σ以内。模拟是在数学软件.

3.3超越现有设计的通用混合设计

在与标准设计、删除设计或条件设计相比，在精度方面可能有一些（有限的）改进的参数空间（表2)，采用混合标准条件消除设计很容易实现。以混合设计为例，首先访问每个S公司地点K（K）₁时间（即标准访问），然后重新调查已知存在的站点K（K）₂更多次（即补充有条件访问），以及最多未检测到存在的站点K（K）₃在第一次检测时停下来的次数更多（例如，补充的移除访问）。该设计的可能性如下所示

哪里和是在标准和拆除阶段检测到的占用场地数量，d日₁和d日₂是标准和条件阶段的总检测，以及n个₃是删除阶段的无检测访问次数。的最佳值K（K）₁,K（K）₂、和K（K）₃对于这种混合动力设计（表中给出3)尽可能将其控制在最佳值的1%以内跨越整个参数空间；此外，对于真实占用和检测的每一种可能组合，这种混合设计在MSE性能方面与三种设计范式（标准、移除、有条件）中的每一个在结构上相等或优于三种设计范例（尽管其他实现考虑因素，如简单性，可能会支持非混合设计）。

作为我们理论分析的进一步验证，这种混合设计的理想实现具有以下价值（在这种情况下，⁠; 表3)正好对应于表中给出1，为保存⁠,它关闭的入口为1。

值得注意的是，虽然纯去除（即，⁠)和纯条件（即，⁠,⁠)在这种混合设计中，设计自然地出现在参数空间的某些部分上（大致来说，对应于移除，以及对于条件），参数空间的任何部分都不是纯粹的标准设计（即，⁠)最佳。也就是说，大多数入住率研究中使用的标准设计是从未对于给定的工作级别，最精确的设计选项（尽管它可能很接近，因此可能出于其他原因而被首选）。

3.4示例：重新分析郊狼相机陷阱数据

为了在实践中说明混合和其他设计，我们重新分析了美国大西洋中部郊狼的现有相机陷阱数据(罗塔岛等., 2016). 公布的数据集由1906个摄像头陷阱站点组成，这些站点运行了1到70天（每天都算作一次访问），忽略协变量，对整个数据集的原始郊狼占有率和检测估计值如下和⁠。这表明最佳值为⁠，对于混合设计，⁠、和（对每个站点进行八次访问，然后对至少有一次检测的站点再进行六次，对没有检测的站点再进行十次）。尽管我们进行了调整，但我们还是从数据集中剔除了访问量不足的站点进行重新采样（这是可以接受的；规格等., 2017)避免淘汰大多数站点；最终剔除的数据集有1687个站点，所有站点的访问次数均≥19次，并且估计⁠然后，我们形成了与假设标准、删除、有条件和混合调查相对应的数据子集，每个调查的总工作量为2400，这可能看起来很低，但考虑到父数据集的稀疏性，只有在工作量小于2500的情况下，才有可能形成有效的条件设计子集。

即使不知道真实值ψ和第页，可以近似（方程式6)使用和而不是。因此，我们比较了每个假设调查的入住率估计(⁠⁠)根据完整剔除数据集的估计：在1.7σ以内，和在0.6σ以内，并且分别在全数据集估计值的0.3σ以内⁠显然，这样的单个数据点不是方差测试（请参见第3.2节)我们当然不应该过多地解读具体的结果：通过形成不同的子集，我们会发现不同的结果；这样一来，混合设计似乎仍具有应用于该数据集的最佳精度。如何在实际相机陷阱调查中实施混合设计？在这种情况下，在最初部署8天之后，如果至少检测到一次，每个陷阱只需再检查和重新部署6天，如果没有检测到，则需要再部署10天。如果相机捕捉器的可用性是研究中的一个限制因素（或非常昂贵），或者如果权衡比额外的6天和10天更极端（对于这是30天vs 0天），并且如果检查相机陷阱数据以进行“至少一次检测”所需的工作相对较少（即，如果相机定期通过卫星或蜂窝网络传输捕获的图像）。

4结论

我们导出了的渐近方差和协方差的表达式和对于一般类别的占用率研究设计6; 然后我们使用6为所有此类可能的设计设定占用率估算准确度的下限（表1)并表明标准设计、条件设计和移除设计的精度基本上已经在这些范围内（表2)当这些设计得到理想实现时，即当K（K）使用。这意味着，入住率估算准确性的进一步提高不能仅仅依赖于抽样设计的改变（如何在现场和调查之间分配工作），而必须引入实施和/或分析中的定性差异。研究实施的潜在变化包括自与努力成反比，改进方法以实现更高的检测概率第页是（所有实际占用价值，当比什么时候⁠; 表1).

或者，分析工具可以指导新设计和相应分析的开发；潜在的途径包括使用协变量建模来通知继续或停止测量的决策（参见帕奇菲奇等., 2012)使用具有知情先验的贝叶斯估计，或使用有偏估计试图超过Cramér-Rao界。

最后，准确度和工作量之间的权衡问题不仅限于同质单一物种、单一季节占用模型，并且可以进行类似的分析，以更全面地描述和优化其他研究设计，例如在初次访问和后续访问现场时，努力或成本不同的研究设计(MacKenzie和Royle 2005)，多阶段占用研究(麦肯齐等., 2018)，多季节入住率研究(麦肯齐等., 2018)，多物种占用研究(罗塔岛等., 2016)，协变量知情入住研究(帕奇菲奇等., 2012)、和N个-混合物模型(罗伊尔，2004年).

致谢

作者感谢H.Specht向他介绍该领域，感谢他进行的有益讨论，感谢他对手稿的反馈，感谢T.Arnold教授对手稿初稿的反馈以及生物计量学还有两位匿名评论员，他们提供了许多有用的评论和建议。

工具书类

附录

边界条件证明

证明以下必要条件这样的话⁠，首先要注意如果⁠，然后是第一个方程式2暗示⁠.重新排列第二个方程式2然后插入这个，我们有

紧接着⁠.

通过所有可能的检测历史获得的估计

为了确定估计器对参数空间的覆盖程度，可以计算估计器的值根据给定值的所有可能的检测历史记录n个,⁠、和K（K）可能的检测历史的集合对应于允许样本统计在以下范围内变化：⁠,⁠,⁠，以及的值S公司计算方法为3也就是说，⁠.图A1类显示了值的示例⁠,⁠,⁠很明显，对于低占用值，参数空间覆盖是稀疏的，对于所有可能的占用研究设计中的低检测值，尤其是稀疏的参数空间覆盖，将标准设计的观察结果扩展到吉列拉·阿罗伊塔等. (2010).

偏见

通过重新排列2，可以证明占用率估计值的偏差由下式给出

首先，求解2对于（治疗独立），然后取倒数，得出⁠现在用这个重写2作为⁠，从中我们计算偏差为

和第1页立即使用第5页和A6级.

吉列拉·阿罗伊塔等. (2010)表明ψ和第页根据标准设计。如上所述，对于ψ和第页所有研究设计；总之，在这些情况下，需要更多的调查工作，小样本偏差并不会唯一地影响一个特定的研究设计。请注意，MSE中显示的是⁠.自(第2.2节)随着站点数量（或相对而言，工作量）的增加，偏倚对MSE的贡献很快变得可以忽略不计。具体来说，渐近方差大致为S公司大于偏差平方的倍，⁠例如，条件设计⁠,具有和（最佳）⁠，已⁠,⁠、和⁠，约为100（即，S公司)倍小于渐近方差。

的工作示例针对特定情况

使用方程式5属于第2.2节，我们可以重新推导特定抽样设计的渐近方差和协方差的已知表达式（这里的方程以与已发表文献稍有不同的形式出现，以便更好地说明它们的共同结构）。回想一下⁠,⁠、和⁠.

标准设计:访问S公司地点K（K）各次.这意味着⁠。预计总工作量为⁠，所以和⁠因此，渐近方差为

匹配方程（1）麦肯齐和罗伊尔（2005）和（5）-（7）吉列拉·阿罗伊塔等. (2010).

拆卸设计:访问S公司站点最多K（K）每次访问次数，在检测到后停止访问每个站点.因此⁠。预计总工作量为⁠，所以和⁠因此，渐近方差与方程相匹配7属于麦肯齐和罗伊尔（2005）和第（6）页，共页吉列拉·阿罗里塔和拉霍兹·蒙福特（2017）:

有条件的设计:访问S公司站点一次，然后仅对站点进行重新测量，并额外检测 次.因此和⁠。预计总工作量为⁠，所以和⁠因此，差异如下

匹配方程（9）规格等（2017年）.

样本统计的期望值

虽然无法给出预期值的精确表达式⁠,n个,⁠,⁠、和d日如果不选择特定的抽样设计，仅从以下方面就可以推断出这些值之间的大量有用关系1例如，至少检测一次的预期站点数量只是站点数量、占用概率和累计检测概率的乘积：⁠它是根据预期值的线性和3预计总工作量为

也就是说，在具有已知占用(⁠⁠)，加上在具有未知的占用(⁠⁠). 预期检测次数E[d日]由探测概率乘以占用站点的预期工作量得出（无论该占用状态是否已知），后者是已知占用现场的预期努力的总和⁠，以及在占用但未进行任何检测的现场的预期工作量：

此外，预期总作用力E[n个]应为占用场地的预期工作量之和以及未占用场地的预期工作量（总站点S公司在未占用的站点上花费的时间乘以未入住概率）。检查起来很简单比赛第5页。我们还可以解决第5页和A6级给予S公司依据n个和（用于推导6在里面第2.3节):