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总结

整合丰度和标记-再捕获-恢复数据的新方法的一个缺点是需要结合描述不同数据集的可能性。通常，这些可能性将通过使用专业计算机程序形成，这是联合分析的障碍。通过使用多元正态近似可以很容易地规避这一困难。我们表明，只需对联合分析中感兴趣的参数进行近似即可。对两种鸟类的数据集进行了近似评估，结果表明该近似有效且准确。

人口普查数据，计算效率，卡尔曼滤波器，多元正态近似，振铃-恢复数据，状态空间

1.简介

动物种群增长和变化可以用两种不同的方式进行研究：第一，可以通过连续的人口普查来研究种群动力学，例如，可以从中推断增长率的估计值；其次，人口统计学研究可以提供人口统计学参数的估计值，例如年生存概率，反过来可以在人口模型中用于预测人口轨迹。这通常通过使用Leslie矩阵来完成(莱斯利，1945年;卡斯维尔，2000). 匹配这两种类型的分析是在特别的通过比较基于模型和基于普查的增长率(库尔森等., 2001)或者通过目视检查基于模型和基于人口普查的轨迹的相似性(Kanyamibwa和Lebreton，1992年).

野生动物年生存概率的估计通常是通过适当的标记-再捕获-恢复实验获得的。在这些实验中，动物会得到能够唯一识别它们的标记。随后对这些有标记的动物（无论是活的还是死的）进行观察，得到的数据由包含年度生存概率的概率模型进行拟合。所使用的模型可能相当复杂，涉及参数的年龄和时间依赖性以及对个体和环境协变量的依赖性。下图由提供接力棒等. (2000).

贝斯比亚斯等. (2002)采用卡尔曼滤波理论形成单一组合似然，不同分量对应生存和普查数据，共享共同参数。然后，组合似然的最大化会产生同时描述所有数据的参数估计。该方法以人口普查数据的状态空间模型为中心，通过卡尔曼滤波器导出了一个可能性，并提供了标记-再捕获-恢复数据模型和人口过程模型的自然合成。

然而，这种方法的一个缺点是，它需要专门的计算机代码，不仅适用于卡尔曼滤波器组件，而且还适用于附加的似然组件，其中一些可能很复杂，甚至可能是通过使用专门的计算机包导出的。这个问题可能会妨碍使用贝斯比亚斯等. (2002)在实践中，尽管我们认为它可能成为许多动物种群研究的重要工具。本文提出了一种克服这一困难的方法，即使用合适的多元正态逼近。我们通过将其应用于中详细研究的两个示例来评估该方法的有效性贝斯比亚斯等. (2002).

2.数据、模型和近似值

我们将使用两个例子来说明我们的方法，在每个例子中，标记鸟类的环恢复数据与丰度数据相结合。然而，正如我们将看到的那样，这种方法是相当普遍的。我们考虑的两个示例在中进行了描述贝斯比亚斯等. (2002)和对小飞禽和苍鹭的观察有关。如中所述贝斯比亚斯等. (2002)这是两个广泛而重要的数据集。对于普通的小翅膀，凤头麦鸡，英国繁殖，普通鸟类普查指数(泰勒，1965年;费斯特等., 2000)提供了1965年至1998年（包括1965年至1998年）全国繁殖种群的指标，而环恢复数据提供了1963年至1997年被环为雏鸟后连续几年恢复死亡的鸟类数量。对于英国灰鹭，苍鹭人口普查数据估计了1928年至1998年间英格兰和威尔士的繁殖对数量，而环恢复数据则是1955年至1997年间被圈在巢中的鸟类。原始数据见贝斯比亚斯等. (2001)作为一个例子，我们在表11990年至1997年的拉平复苏数据。

表1

翻领恢复说明性子表，摘自贝斯比亚斯等. (2001)†

年编号以下恢复年份的数字：天数
铃声环形的19911992199319941995199619971998低于冰点 ( w个 )
1990417012三三2102012
19914314946101012
1992348018三12019
19933689652216
1994392212460三
1995359175118
199644887010
1997433950
年编号以下恢复年份的数字：天数
铃声环形的19911992199319941995199619971998低于冰点 ( w个 )
1990417012三三2102012
19914314946101012
1992348018三12019
19933689652216
1994392212460三
1995359175118
199644887010
1997433950
†

数据显示，对于1990年至1997年（包括1990年和1997年）圈养的鸟类而言，英国在被圈养为雏鸟后连续几年死亡的幼鸟数量。死亡鸟类的报告率一直在下降。在拉平研究开始时，从所显示的大约50%的圈养鸟类队列规模中获得了类似数量的死亡鸟类。还显示了数字w个一年中英格兰中部气温降至零度以下的天数。注意一年我比方说，我们是指从一年的4月1日开始的时间段我至当年3月31日我+1.

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表1

翻领恢复说明性子表，摘自贝斯比亚斯等. (2001)†

年编号以下恢复年份的数字：天数
铃声环形的19911992199319941995199619971998低于冰点 ( w个 )
1990417012三三2102012
19914314946101012
1992348018三12019
19933689652216
1994392212460三
1995359175118
199644887010
1997433950
年编号以下恢复年份的数字：天数
铃声环形的19911992199319941995199619971998低于冰点 ( w个 )
1990417012三三2102012
19914314946101012
1992348018三12019
19933689652216
1994392212460三
1995359175118
199644887010
1997433950
†

数据显示，对于1990年至1997年（包括1990年和1997年）圈养的鸟类而言，英国在被圈养为雏鸟后连续几年死亡的幼鸟数量。死亡鸟类的报告率一直在下降。在拉平研究开始时，从所显示的大约50%的圈养鸟类队列规模中获得了类似数量的死亡鸟类。还显示了数字w个一年中英格兰中部气温降至零度以下的天数。请注意，一年后我比方说，我们是指从一年的4月1日开始的时间段我至当年3月31日我+1.

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从经典角度讨论了模型的形成和选择贝斯比亚斯等. (2002)利用赤介的信息准则，并结合生态学知识。贝叶斯观点如下所示布鲁克斯等. (2000, 2002).我们使用年度生存概率对恢复数据进行建模φ具有描述年龄依赖性的成分和恢复概率λ，这是已标记死亡鸟类的恢复和报告概率，随时间变化。对于小飞禽，有两个生存年龄等级，分别对应于第一年出生的鸟类和年龄较大的鸟类，而对于苍鹭，有三个生存年龄级别，因为在这种情况下，我们还区分了鸟类在第二年出生的独立生存概率。所有的年存活概率都是基于冬季严酷程度的单一度量进行回归的，w个，使用logistic回归。协变量w个给出了一年中英格兰中部气温降至零度以下的天数。因此，对于这两个物种，我们都有logit(φ1) =β0+β w个，仅用于苍鹭，logit(φ2) =γ0+γ w个、和logit(φ一) =δ0+δ w个适用于1岁或1岁以上的幼鸟，适用于2岁或2岁以上的苍鹭。此外，死亡野生鸟类的报告率通常会随着时间的推移而下降，因此我们设置了logit(λ) =ν0+ν t吨，其中t吨测量年份。这里我们不考虑过度分散，但这很容易通过适当的加性随机效应合并，如下所述巴里等.（2002年）.

人口普查数据通过基于莱斯利矩阵的状态空间模型进行描述，并涉及生产率度量第页和测量误差方差σ2除了生存概率。对于数量正在下降的小翅膀，我们设置对数(第页) =κ0+κ t吨但对苍鹭来说第页取为常量，log(第页) =κ0最大似然参数估计通常来自最大联合似然

L（左）j个(ϕ，λ，第页，σ)=L（左）对(ϕ，λ)L（左）c（c）(ϕ，第页，σ).
1

人口普查部分L（左）c（c）(φ，第页，σ)由卡尔曼滤波器形成，而环恢复组件L（左）对(φ，λ)是多项式分布的乘积，每个分布对应于一个单独的环状鸟类队列。对于翻滚示例，如果N个1,t吨表示当时1岁的雌鸟数量t吨、和N个一，t吨表示当时2岁或2岁以上的雌鸟数量t吨，使用的状态空间转换方程贝斯比亚斯等. (2002)是

(N个1N个一)t吨=(0第页ϕ1ϕ一ϕ一)(N个1N个一)t吨−1+(ε1ε一)t吨.

这假设繁殖始于2岁。我们还假设只对繁殖鸟类进行普查，因此年度指数{年t吨}通过测量方程与人口水平相关

年t吨=(01)(N个1N个一)t吨+ηt吨.

关于分布和方差的假设{ɛ1,t吨}, {ɛ一，t吨}和{ηt吨}在中进行了解释贝斯比亚斯等.（2002年）。组合数据集的一个主要优点是，它允许我们估计第页这不可能仅从人口普查数据来看。

独立性假设方程式（1）在实践中不太可能被严重违反。在本文中，我们对L（左）对(φ，λ)，即。

2个日志{L（左）对(ϕ，λ)}=常数−(θ^−θ)′Σ^−1(θ^−θ)，

我们写的地方θ表示logistic尺度上的模型参数，其中θ^和Σ^分别是最大似然估计值θ和色散矩阵θ^⁠，仅从环恢复数据的单独模型拟合中获得。这种方法是由最大似然估计量的渐近多元正态分布驱动的，在勒布雷顿等（1995年）它明显地大大简化了L（左）j个及其最大化。

3.结果

对于最后一节的两个示例，我们在表2; 标准误差由观测信息矩阵得到。精确结果和近似结果之间的一致性很好。使用近似方法的另一个好处是，与精确分析相比，它对最大似然迭代的起始值不太敏感。如果我们正在形成误差的自举估计，这一点尤其重要。例如，对于更简单的lapwing示例，从接近解的100个随机起始值中，近似方法的发散率为10%，而在使用准Newton迭代程序最大化似然时，精确方法的发散率为21%。此外，我们观察到，对于本文的示例，近似分析的速度大约是精确方法的2.5倍。在Sun Enterprise 400 MHz 250计算机上进行精确联合分析的绝对计算时间为苍鹭233秒，小飞禽112秒。因此，这里节省的时间很小，但对于更复杂的示例，如第节中提到的示例4，他们是可观的。

表2

羽翼和苍鹭环恢复可能性的多元正态近似评估†

参数环路-仅恢复精确组合近似组合
膝关节
β00.5158 (0.0679)0.5231 (0.0679)0.5226 (0.0678)
β−0.0241 (0.0072)−0.0228 (0.0070)−0.0227（0.0070）
δ01.5011 (0.0685)1.5210 (0.0693)1.5191 (0.0686)
δ−0.0360 (0.0051)−0.0279 (0.0045)−0.0280（0.0045）
ν0−4.5668 (0.0351)−4.5632 (0.0352)−4.5634 (0.0351)
ν−0.5729 (0.0640)−0.5841 (0.0637)−0.5837 (0.0638)
κ0−1.1513 (0.0886)−1.1489 (0.0876)
κ−0.4323（0.0743）−0.4314 (0.0740)
σ159.4691 (22.0625)159.6127 (21.8749)
苍鹭
β0−0.2024 (0.0480)−0.1908 (0.0478)−0.1901 (0.0479)
β−0.0309 (0.0054)−0.0217 (0.0048)−0.0215 (0.0048)
γ00.3745 (0.0730)0.3842 (0.0734)0.3837 (0.0728)
γ−0.0155 (0.0068)−0.0166 (0.0060)−0.0166 (0.0060)
δ01.1655 (0.0706)1.1871 (0.0708)1.1861 (0.0700)
δ−0.0110 (0.0052)−0.0140 (0.0038)−0.0140 (0.0038)
ν0−2.0309（0.0254）−2.0294 (0.0254)−2.0295 (0.0254)
ν−0.8302 (0.0462)−0.8337 (0.0460)−0.8335 (0.0461)
κ0−0.0459（0.0715）−0.0455 (0.0708)
σ464.7502 (43.4774)464.2624 (43.7103)
参数环路-仅恢复精确组合近似组合
膝关节
β00.5158 (0.0679)0.5231（0.0679）0.5226 (0.0678)
β−0.0241 (0.0072)−0.0228 (0.0070)−0.0227 (0.0070)
δ01.5011 (0.0685)1.5210 (0.0693)1.5191 (0.0686)
δ−0.0360 (0.0051)−0.0279 (0.0045)−0.0280 (0.0045)
ν0−4.5668 (0.0351)−4.5632 (0.0352)−4.5634 (0.0351)
ν−0.5729 (0.0640)−0.5841 (0.0637)−0.5837 (0.0638)
κ0−1.1513 (0.0886)−1.1489 (0.0876)
κ−0.4323 (0.0743)−0.4314 (0.0740)
σ159.4691 (22.0625)159.6127 (21.8749)
苍鹭
β0−0.2024 (0.0480)−0.1908 (0.0478)−0.1901 (0.0479)
β−0.0309 (0.0054)−0.0217 (0.0048)−0.0215（0.0048）
γ00.3745 (0.0730)0.3842 (0.0734)0.3837 (0.0728)
γ−0.0155 (0.0068)−0.0166 (0.0060)−0.0166 (0.0060)
δ01.1655 (0.0706)1.1871 (0.0708)1.1861（0.0700）
δ−0.0110 (0.0052)−0.0140 (0.0038)−0.0140 (0.0038)
ν0−2.0309 (0.0254)−2.0294 (0.0254)−2.0295 (0.0254)
ν−0.8302 (0.0462)−0.8337 (0.0460)−0.8335 (0.0461)
κ0−0.0459 (0.0715)−0.0455 (0.0708)
σ464.7502 (43.4774)464.2624 (43.7103)
†

在每种情况下，我们都给出了最大似然参数估计和相应的标准误差。误差估计是通过应用于对数似然的二阶有限差分近似得到的。

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表2

羽翼和苍鹭环恢复可能性的多元正态近似评估†

参数环路-仅恢复精确组合近似组合
膝关节
β00.5158 (0.0679)0.5231 (0.0679)0.5226（0.0678）
β−0.0241 (0.0072)−0.0228 (0.0070)−0.0227 (0.0070)
δ01.5011 (0.0685)1.5210 (0.0693)1.5191（0.0686）
δ−0.0360 (0.0051)−0.0279 (0.0045)−0.0280 (0.0045)
ν0−4.5668 (0.0351)−4.5632 (0.0352)−4.5634 (0.0351)
ν−0.5729 (0.0640)−0.5841 (0.0637)−0.5837（0.0638）
κ0−1.1513 (0.0886)−1.1489 (0.0876)
κ−0.4323 (0.0743)−0.4314 (0.0740)
σ159.4691 (22.0625)159.6127 (21.8749)
苍鹭
β0−0.2024 (0.0480)−0.1908 (0.0478)−0.1901 (0.0479)
β−0.0309 (0.0054)−0.0217 (0.0048)−0.0215 (0.0048)
γ00.3745 (0.0730)0.3842 (0.0734)0.3837 (0.0728)
γ−0.0155 (0.0068)−0.0166 (0.0060)−0.0166 (0.0060)
δ01.1655 (0.0706)1.1871 (0.0708)1.1861 (0.0700)
δ−0.0110（0.0052）−0.0140 (0.0038)−0.0140 (0.0038)
ν0−2.0309 (0.0254)−2.0294 (0.0254)−2.0295 (0.0254)
ν−0.8302（0.0462）−0.8337 (0.0460)−0.8335 (0.0461)
κ0−0.0459 (0.0715)−0.0455 (0.0708)
σ464.7502 (43.4774)464.2624 (43.7103)
参数环路-仅恢复精确组合近似组合
膝关节
β00.5158 (0.0679)0.5231 (0.0679)0.5226 (0.0678)
β−0.0241 (0.0072)−0.0228 (0.0070)−0.0227 (0.0070)
δ01.5011 (0.0685)1.5210 (0.0693)1.5191 (0.0686)
δ−0.0360 (0.0051)−0.0279 (0.0045)−0.0280 (0.0045)
ν0−4.5668 (0.0351)−4.5632 (0.0352)−4.5634 (0.0351)
ν−0.5729 (0.0640)−0.5841 (0.0637)−0.5837 (0.0638)
κ0−1.1513 (0.0886)−1.1489 (0.0876)
κ−0.4323 (0.0743)−0.4314（0.0740）
σ159.4691 (22.0625)159.6127 (21.8749)
苍鹭
β0−0.2024 (0.0480)−0.1908 (0.0478)−0.1901（0.0479）
β−0.0309 (0.0054)−0.0217 (0.0048)−0.0215 (0.0048)
γ00.3745 (0.0730)0.3842 (0.0734)0.3837 (0.0728)
γ−0.0155 (0.0068)−0.0166 (0.0060)−0.0166（0.0060）
δ01.1655 (0.0706)1.1871 (0.0708)1.1861 (0.0700)
δ−0.0110 (0.0052)−0.0140 (0.0038)−0.0140 (0.0038)
ν0−2.0309 (0.0254)−2.0294 (0.0254)−2.0295 (0.0254)
ν−0.8302 (0.0462)−0.8337 (0.0460)−0.8335 (0.0461)
κ0−0.0459 (0.0715)−0.0455 (0.0708)
σ464.7502 (43.4774)464.2624 (43.7103)
†

在每种情况下，我们都给出了最大似然参数估计和相应的标准误差。误差估计是通过应用于对数似然的二阶有限差分近似得到的。

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我们可以从中看到表2转变θ^从单独的恢复分析到联合分析并不是很大。这一变化的总体幅度和数据集的大小决定了这里所做的多元正态近似的有效性。这是因为我们需要多元正态近似L（左）对有利于θ最大化L（左）j个而不仅仅是为了实现最大化的价值L（左）对。我们预计在实践中，对于大多数示例，近似值都会表现良好。我们展示了图1观测值与预期值的良好一致性{L（左）对(φ，λ)}对于以下小型说明性数据集表1，通过profile log-likelihood，在本例中为参数β0.值β^0=0.1786不同于β^0=0.5231⁠，中给出表2，自数据表1与完整的35年环龄恢复数据集相比，这是非典型的。这种良好的一致性可用于与其他参数相关的配置文件，也可用于两个完整的数据集。如果不进行广泛的模拟研究，就不可能清楚论文的近似值在实践中何时会失败。为了获得近似良好性能的进一步证据，我们对苍鹭和小飞禽的全环恢复集的环恢复数据集进行了采样。因此，对于垂翼数据集，获得了1965年至1974年、1966年至1975年等26个（10×10）年的环-恢复数据集，对于较长的苍鹭数据集，类似地获得了29个（15×15）年的环-恢复数据集。对于每个小数据集，我们单独进行了环恢复分析、精确联合分析和近似联合分析，这两种联合分析都利用了所有人口普查数据。使用马哈拉诺比距离进行了比较，如下所示表3每个物种只有一个例外，两个联合分析之间的差异被视为明显小于环恢复单独参数估计集和近似联合参数估计集之间的差异。

图1
对数{Lr（φ，λ）}与表1数据的多元正态近似值之间的一致性：这两条曲线是关于参数β0（——精确；····，近似；，β^0的位置=0.1786，该值最大化了组合的精确似然，并利用了小天鹅的整个人口普查数据）
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日志之间的协议{L（左）对(φ，λ)}数据的多元正态逼近表1：这两条曲线是关于参数的剖面对数曲线β0（——精确；····，近似；图解的，位置β^0=0.1786⁠，最大化组合精确似然的值，利用小翅膀的整个人口普查数据）

表3

环恢复数据的lapwing和heron子集的参数估计集之间的马氏距离†

数据集翻领距离苍鹭的距离数据集翻领距离苍鹭的距离
（a）（b）（a）（b）（a）（b）（a）（b）
10.031.060.684.48160.291.440.112.61
20.071.350.554.06170.641.810.132.57
三0.110.820.523.88180.451.340.052.05
40.081.690.513.74190.062.260.052.09
50.141.480.493.69200.122.150.082.32
60.101.293.943.80210.082.190.092.31
71.801.300.513.09220.041.250.132.64
80.210.730.353.30230.0210.122.54
90.080.470.092.91240.041.330.112.53
100.180.960.664.21250.111.630.102.42
110.081.040.413.78260.091.230.102.29
120.050.750.193.10270.092.37
130.070.440.051.76280.092.18
140.030.480.062.08290.092.40
150.120.840.041.80
数据集翻领距离苍鹭的距离数据集翻领距离苍鹭的距离
（a）（b）（a）（b）（a）（b）（a）（b）
10.031.060.684.48160.291.440.112.61
20.071.350.554.06170.641.810.132.57
三0.110.820.523.88180.451.340.052.05
40.081.690.513.74190.062.260.052.09
50.141.480.493.69200.122.150.082.32
60.101.293.943.80210.082.190.092.31
71.801.300.513.09220.041.250.132.64
80.210.730.353.30230.0210.122.54
90.080.470.092.91240.041.330.112.53
100.180.960.664.21250.111.630.102.42
110.081.040.413.78260.091.230.102.29
120.050.750.193.10270.092.37
130.070.440.051.76280.092.18
140.030.480.062.08290.092.40
150.120.840.041.80
†

（a） 使用从精确联合分析获得的方差-协方差矩阵估计值，精确联合分析和近似联合分析的估计值之间的距离；（b） 使用从环恢复数据集获得的方差-协方差矩阵的估计值，单独对环恢复数据集中的估计值与近似联合分析之间的距离。（b）中涉及的参数比（a）中涉及到的参数少了三个，苍鹭则少了两个。

新标签中打开
表3

环恢复数据的lapwing和heron子集的参数估计集之间的马氏距离†

数据集翻领距离苍鹭的距离数据集翻领距离苍鹭的距离
（a）（b）（a）（b）（a）（b）（a）（b）
10.031.060.684.48160.291.440.112.61
20.071.350.554.06170.641.810.132.57
三0.110.820.523.88180.451.340.052.05
40.081.690.513.74190.062.260.052.09
50.141.480.493.69200.122.150.082.32
60.101.293.943.80210.082.190.092.31
71.801.300.513.09220.041.250.132.64
80.210.730.353.30230.0210.122.54
90.080.470.092.91240.041.330.112.53
100.180.960.664.21250.111.630.102.42
110.081.040.413.78260.091.230.102.29
120.050.750.193.10270.092.37
130.070.440.051.76280.092.18
140.030.480.062.08290.092.40
150.120.840.041.80
数据集翻领距离苍鹭的距离数据集翻领距离苍鹭的距离
（a）（b）（a）（b）（a）（b）（a）（b）
10.031.060.684.48160.291.440.112.61
20.071.350.554.06170.641.810.132.57
三0.110.820.523.88180.451.340.052.05
40.081.690.513.74190.062.260.052.09
50.141.480.493.69200.122.150.082.32
60.101.293.943.80210.082.190.092.31
71.801.300.513.09220.041.250.132.64
80.210.730.353.30230.0210.122.54
90.080.470.092.91240.041.330.112.53
100.180.960.664.21250.111.630.102.42
110.081.040.413.78260.091.230.102.29
120.050.750.193.10270.092.37
130.070.440.051.76280.092.18
140.030.480.062.08290.092.40
150.120.840.041.80
†

（a） 使用从精确联合分析获得的方差-协方差矩阵估计值，精确联合分析和近似联合分析的估计值之间的距离；（b） 使用从环恢复数据集获得的方差-协方差矩阵的估计值，单独对环恢复数据集中的估计值与近似联合分析之间的距离。（b）中涉及的参数比（a）中涉及到的参数少了三个，苍鹭则少了两个。

新标签中打开

实际上，在综合分析之后，对近似值的充分性的简单检查在于模型的拟合优度。综合分析应遵循与环的良好拟合——仅恢复数据。如果组合模型在某些方面的拟合度较差，那么要么近似有误，要么分析的各个组成部分的公共参数假设不正确。

4.讨论

这里报告的近似值的良好性能令人鼓舞。它将极大地促进以下组合分析程序的使用贝斯比亚斯等. (2002)当我们组装组合可能性时，我们可以设想对模型的其他不同方面进行此操作，例如，我们可以引入一个测量繁殖力的组件，如波洛克和科尼利厄斯（1988），如果有适当的数据。在这种情况下，近似方法将无需为嵌套成功数据生成单独的专业最大似然估计程序。所需要的只是适当的繁殖力参数估计θ^和Σ^根据之前的分析。由于通常发布的只是θ^和诊断(Σ^)⁠多元正态近似的一个特别吸引人的地方是，如本文示例所示，如果主要兴趣在于φ，那么我们只需要ϕ^以及其色散矩阵的估计，如附录A。此结果自然会进一步提高计算效率。本文的方法唯一可能的缺陷是，如果通过组合不同的数据集，可以使用更精细的模型进行实验，那么它将不允许使用更复杂的模型进行试验。我们在复杂建模示例中使用了本文的方法，如接力棒等. (2000)也有人口普查和生育数据。由于使用了本文的近似值，所实现的模型综合才是可行的。

致谢

我们感谢许多志愿鸟类采集者和人口普查工作者，他们的献身精神使本文的研究成为可能，感谢斯蒂芬·弗里曼和特德·卡奇波尔对支持本文工作的状态空间建模的贡献。PB的工作得到了生物技术和生物科学研究理事会-工程和物理科学研究理事会96/E09745号拨款的支持。

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附录A

假设我们写

L（左）(μ)=(2π)−k个/2|Σ|−1/2经验{−12(θ−μ)′Σ−1(θ−μ)}，

哪里k个=尺寸(θ)，我们类似地划分θ′ = (θ1，θ2)和μ′ = (μ1，μ2)，关于μ1作为感兴趣的参数。让k个1=昏暗(θ1)≡dim(μ1). 我们还假设Σ−1写为

Σ−1=(Σ11Σ12Σ21Σ22).

我们被给予θ和Σ，我们需要最大似然估计μ1.我们可以写我(μ)=对数{L（左）(μ)}作为

我(μ)=常数−12(θ1−μ1)′Σ11(θ1−μ1)−12(θ1−μ1)′Σ12(θ2−μ2)−12(θ2−μ2)′Σ21(θ1−μ1)−12(θ2−μ2)′Σ22(θ2−μ2).

从设定值ξ我/∂μ1=⏴我/∂μ2=0，我们得到两个方程

Σ11(θ1−μ1)+Σ12(θ2−μ2)=0，Σ21(θ1−μ1)+Σ22(θ2−μ2)=0
2

消除θ2−μ2然后给出

{Σ11−Σ12(Σ22)−1Σ21}(θ1−μ1)=0，

即

Σ11−1(θ1−μ1)=0，
三

哪里Σ11是k个1×k个1的左上子矩阵Σ通常，当组合可能性时方程式（2）和(3)将是的功能μ1因此，我们看到本文的近似值只需要估计θ1和相应的色散矩阵Σ11.

©2003皇家统计学会
本文根据牛津大学出版社标准期刊出版模式的条款出版和发行(https://academic.oup.com/journals/pages/open_access/funder_policies/chorus/standard_publication_model)
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