量子关联集的研究由Tsirelson于20世纪80年代发起，最初由量子力学基础中的问题所推动，最近已与量子密码学、复杂性理论、算子空间理论、群论等问题联系在一起。Paulsen介绍的同步相关集等。[功能分析杂志。270，2188-2222（2016）]是一个子类相关性，已被证明对研究特别有用，并在应用中自然出现。我们表明，在自然条件下，任何几乎同步的相关性Ş1意义，源于状态和测量算子，它们通过最大纠缠态上投影测量的凸组合很好地逼近。这扩展了Paulsen的结果等。[功能分析杂志。270，2188–2222（2016）]，适用于精确同步相关性。关键的是，近似的质量与希尔伯特空间的维数或相关性的大小无关。我们的结果允许我们将对许多类非局部博弈的分析，包括刚性属性，简化为使用通常更容易操作的最大纠缠态的策略。

话题
正算子值测度, 量子力学理论, 量子关联, 量子纠缠, 量子信息

对于有限集X（X）,年,A类和B类⁠，一个量子关联是集合的元素

C类q个(X（X）,年,A类,B类)=ψA类一x个⊗B类b条年ψx个年一b条:ψ∈H（H）A类⊗H（H）B类,∀x个∈X（X）,年∈年,A类一x个一∈A类 POVM公司 在 H（H）A类,B类b条年b条∈B类 POVM公司 在 H（H）B类,

哪里H（H）A类和H（H）B类所有有限维希尔伯特空间上的范围和希尔伯特空间的POVM（正算子值测度）H（H）是上的半正定算子的集合H（H）那就是身份。对于每个X（X）,年,A类,B类⁠，集合C类q个(X（X）,年,A类,B类)是凸的，从直接求和可以看出，但有X（X）,年,A类,B类这样它就不会被关闭。1我们写作C类q个为了C类q个(X（X）,年,A类,B类)整体有限X（X）,年,A类和B类⁠.

A类策略是元组S公司=(ψ,A类,B类)这样的话ψ∈H（H）A类⊗H（H）B类是状态（即单位向量），A类=A类一x个是上POVM的集合H（H）A类⁠、和B类=B类b条年是上POVM的集合H（H）B类⁠.（有限维希尔伯特空间H（H）A类和H（H）B类以及索引集X（X）,年,A类,和B类在符号中通常是隐式的。）给出一个策略S公司⁠，我们这么说S公司 诱导相关性(C类x个,年,一,b条=ψA类一x个⊗B类b条年ψ)x个年一b条⁠.

量子关联集合的研究C类q个及其与经典关联集的关系C类，定义为可以使用状态诱导的那些相关性的凸包ψ那是张量积ψ=ψA类⊗ψB类∈H（H）A类⊗H（H）B类⁠在量子力学基础中具有重要意义。事实上C类⊊C类q个正如贝尔首次展示的那样2通常被称为“量子非局域性”，它是设备相关量子密码领域的基础，并引发了对纠缠见证、委托量子计算协议和量子复杂性理论问题的研究；我们参考参考。3供参考。在Tsirelson的基础工作之后，4量子关联集合的多种变体已经被引入，它们的研究与一系列数学问题有关，包括算子空间理论，5,6群论，7和组合学。8 

在本文中，我们考虑C类q个在参考文献中介绍。9并致电同步机组 C类q个秒⁠它被定义为所有C类q个秒(X（X）,A类)⁠，其中C类q个秒(X（X）,A类)是的子集C类q个(X（X）,X（X）,A类,A类)包含所有这些相关性的C类让人满意的C类x个,x个,一,b条=0无论何时一≠b条这个集合在研究某些类的非局部对策时自然产生。一般来说，非局部博弈G公司由分发指定ν在X（X）×年和一个函数D类:X（X）×年×A类×B类→0,1⁠.非局部博弈产生一个线性函数C类q个(X（X）,年,A类,B类)通过数量

ωq个(G公司;C类)=∑x个,年ν(x个,年)∑一,b条D类(x个,年,一,b条)C类x个,年,一,b条.

给定一个游戏G公司⁠，一个对它感兴趣量子值ωq个(G公司)⁠定义为至高无上C类∈C类q个属于ωq个(G公司;C类)⁠.一场比赛G公司这样的话X（X）=年⁠,A类=B类⁠,ν(x个,x个)全部>0x个、和D类(一,b条|x个,x个)全部=0x个和一≠b条称为同步游戏。任何此类游戏都具有ωq个(G公司;C类)=1只能通过C类∈C类q个秒⁠同步游戏在应用中自然出现；例如，参见图同态对策的类10或线性系统游戏。11（线性系统游戏是投影游戏，通过取其“正方形”可以将其转换为同步游戏；参见参考文献。12.）集合C类q个秒保留了C类q个特别是，它是凸的和非封闭的。12 

同步相关性的一个关键特性使其更易于研究，如下所示。9。对于每个同步相关C类，有一系列策略S公司λ=(ψλ,A类λ,B类λ)λ∈Λ和一个措施μ在∧上，每个λ,ψλ=ψ米电子(d日λ)具有

ψ米电子(d日λ)=1d日λ∑我=1d日λu个我u个我∈H（H）λ⊗H（H）λ,
(1)

哪里d日λ=昏暗的(H（H）λ)和u个我:1≤我≤d日λ是中的一个正交系H（H）λ⁠，以及每次测量A类一λ,x个和B类b条λ,年完全由投影组成，而且，对于所有x个,年,一,b条，我们有

C类x个,年,一,b条=∫λψλA类一λ,x个⊗B类b条λ,年ψλd日μ(λ).
(2)

什么时候？ψ米电子(d日λ)将表单放入(1)，我们可以快递

ψλA类一λ,x个⊗B类b条λ,年ψλ=1d日λT型第页A类一λ,x个B类b条λ,年T型,
（3）

其中Tr（·）是通常的矩阵跟踪X（X）T型表示相对于基的转置u个我⁠。同步相关性是“轨迹性的”，这一事实由(2)和(3)这在很大程度上促成了他们的吸引力。相反，存在相关性C类∈C类q个这样的话C类即使是近似的，也无法通过使用形式状态的策略凸组合来诱导(1)任何维度；参见参考。13例如。这种相关性往往更难研究，其主要兴趣在于它们的存在，例如，它们可以为没有最大程度纠缠的状态提供纠缠见证。

我们考虑战略S公司=(ψ,A类,B类)那是几乎同步，其中同步性的默认值由数量度量

δ同步(C类;ν)=E类x个∼ν∑一≠b条C类x个,x个,一,b条,
(4)

哪里ν有一些分发X（X）⁠。这是平均值Ş1距离是由非本地游戏的应用程序驱动的，我们将在下面进行描述。非正式地说，我们的主要结果是，任何战略S公司这导致了相关性C类通过策略的凸组合很好地逼近S公司λ每个都使用最大纠缠态，其中近似值由δ同步(C类; ν)对于任何ν(ν也输入近似值S公司和S公司λ⁠)并且，对于应用程序来说，关键不取决于ψ或集合的大小X（X）和A类⁠尤其是，每个S公司λ产生同步相关C类λ这样的话∫λC类λ≈C类在合适的Ş1感觉。此外，对于我们接下来描述的应用，关键是S公司λ⁠，例如一些度量运算符之间的代数关系，可以转移到策略中S公司⁠。我们定理的简化版本专门用于单个测量的情况，如下所示：

定理。
有通用常数 c（c）,C类> 0因此，以下内容成立。让 H（H） 是有限维希尔伯特空间 ψ∈H（H）⊗H（H） 一个州。然后，有一个有限集Λ，一个分发 μ 在Λ，以及，对于每个 λ∈∧，一个州 ψλ 在子空间上最大程度纠缠的 H（H）λ⊗H（H）λ⊆H（H）⊗H（H） 如此一来 ρ 是 ψ 关于第一个因素和 ρλ是减少的密度 ψλ 在 H（H）λ⊆H（H）,
ρ=E类λ∼μρλ.
（5）
此外，让 A类 是一个有限集，并且 A类一一∈A类 是任意的度量 H（H）然后，有一个投影测量 A类一λ 在 H（H）λ 这样的话
E类λ∼μ∑一‖A类一−A类一λ⊗我d日ψλ‖2≤C类1−∑一ψA类一⊗A类一ψc（c）.
(6)

关于完整的陈述和附加备注，请参见定理3.1。定理的第一部分(5)很容易获得；第二部分是有意义的。特别是，因为ψλ是一个最大纠缠态，左边的近似可以看作是在某些（重叠的）对角块上的加权近似A类.空间H（H）λ和各州ψλ依靠ψ只允许我们对不同的测量重复应用该定理，以便将任意策略分解为投影最大纠缠策略的凸组合，右手边在(6)替换为Cδ同步(C类;ν)c（c）对于ν由个人选择（当然也会出现在左侧）。

该定理的一个结果是C类∈C类q个̄这也是同步的，可以用C类q个秒⁠; 这是因为任何近似序列C类取自C类q个根据定义，必须几乎同步，因此可以应用定理3.1。（对于这个观察，定理3.1中提供的近似值不依赖于希尔伯特空间的维数是至关重要的；然而，它可能取决于C类）参考文献中已经显示了该特殊应用。12（定理3.6）。

我们的结果及其公式是受非局部对策研究的启发。对于策略S公司⁠，我们写ωq个(G公司;S公司)对于ωq个(G公司;C类)⁠，其中C类是由S公司⁠回忆一下游戏的价值ωq个(G公司)是所有战略的最高权力ωq个(G公司;S公司)⁠.霸权被接管的事实C类q个而不是C类q个秒其动机是应用于纠缠测试、密码学和复杂性理论，因为在这些环境中，没有先验的强制执行表单硬约束的原因C类x个,x个,一,b条= 0; 事实上，在任何统计测试中，这样的约束都无法得到绝对可信的验证。

给定游戏和策略S公司⁠，可以获得以下统计置信度ωq个(G公司;S公司)≥ωq个(G公司)−ε对于有限ɛ>通过多次玩游戏，0。因此，近最优策略的特征在非局部性应用中起着重要作用。回想一下，同步游戏具有以下属性D类(x个,x个,一,b条)=0每当一≠b条.给定一个同步游戏G公司如此一来ωq个(G公司)=1⁠，因此任何策略S公司对于G公司这样的话ωq个(G公司;S公司)≥ωq个(G公司)−ε必须满足δ同步(S公司;ν诊断)=O（运行）(ε)⁠，其中ν诊断(x个)=ν(x个,x个)/(∑x个′ν(x个′,x个′）和隐式常量O（运行）（·）符号通常取决于ν放置在对角线上。（尤其是δ同步将在以下情况下获得ν是不均匀分布，因为均匀分布会增加重量≈1|X（X）|对角线上，可能很小。）因此，同步博弈中的几乎最优策略会产生几乎同步的相关性。这一结论也适用于不一定同步的游戏，例如，因为布景X（X）和年不相交；一个例子是我们在Sec中考虑的投影游戏类。IV B类投影游戏的例子包括线性系统游戏11和游戏如低度测试14这在复杂性理论中起着重要作用。

考虑到研究近似最优策略的重要性，对于许多游戏来说，任何近似最优策略都是几乎同步的这一事实应该是有用的。我们的工作允许人们在各种各样的环境中将几乎同步策略的分析减少到完全同步策略的分析。我们的结果最直接的应用是对刚性现象的研究，它试图提取出任何策略的必要条件，这些策略对于某个游戏来说几乎是最优的。非正式地，我们的结果意味着同步游戏的一般刚性结果可以从仅适用于完全同步策略的刚性结果自动获得。为了避免在刚性声明的近似质量中损失取决于游戏大小的因素，游戏中的高成功概率意味着低成功概率就足够了δ同步(S公司;ν)对于ν是游戏中任一玩家问题的边际分布；有关进一步讨论，请参见结论4.1及其后的备注。仅举一个例子，最近工作中进行的整个分析15可以通过仅使用最大纠缠态进行所有计算来简化，从而使“状态依赖距离”的操作更容易执行。我们参考第。四、A对于如何在这种情况下使用我们的主要结果以及显示测量算子之间代数关系的另一个应用程序的精确公式。

给出一个几乎同步的策略S公司=(ψ,A类,B类)⁠，不难证明，作为策略基础的状态和运算符以“近似”循环的方式表现，例如ρA类表示ψ在H（H）A类⁠，它认为‖A类一x个ρA类−ρA类A类一x个‖1≈0为所有人x个,一，其中‖·‖1表示Schatten-1范数；参见，例如，参考。16（引理3.7）用于精确的陈述。我们结果的优点在于表明，这种关系意味着根据最大纠缠策略进行近似分解，其中关键的是近似质量不取决于希尔伯特空间的维数或集合的大小X（X）,年,A类或B类⁠参考文献中隐含了类似的分解。7其中，它用于将对特定线性系统博弈的近似最优策略的分析简化为最大纠缠策略的情况；在该文中，约简的动机是与研究某个有限表示群的近似表示相联系。使参考文献减少的主要技术成分。7也是本文的主要内容，可以看作是对那里所做工作的直接概括。非正式地，关键思想是编写任何密度矩阵ρ作为投影的凸组合χ≥λ(ρ)⁠，其中λ是任何非负实数χ≥λ是间隔的指示器[λ,+∞)⁠; 参见引理2.11。所需的主要额外观察是最初出现在参考文献。17并重申为引理2.12；非正式地，该计算允许我们传递近似的交换条件，如参考文献。16（引理3.7），对于在相同条件下的任何几乎同步策略，在矩阵上进行评估χ≥λ(ρ)⁠后者是同一性的标度倍数，因此与最大纠缠态直接相关。

我们使用X（X）,年,A类,B类以表示有限集合。我们使用H（H）表示有限维希尔伯特空间，我们通常赋予它一个正则正交基我|我∈1,…,d日具有d日=昏暗的(H（H）)⁠。我们使用‖·‖表示上的算子范数（最大奇异值）H（H）⁠.Tr（·）是上的跟踪H（H）和‖·‖F类是弗罗贝尼乌斯规范‖X（X）‖F类=T型第页(X（X）†X（X）)1/2对于任何操作员X（X）在H（H）⁠，其中X（X）†是共轭转置。正运算符值度量（POVM），或测量简言之，开H（H）是正半定算子的有限集合A类一一∈A类这样∑一A类一=Id.A测量A类一是投射的如果每个A类一是一个投影。

我们使用poly(δ)表示任何实值函数（f）这样就存在常量C类,c（c）>0具有|（f）(δ)| ≤Cδc（c）对于所有非负实数δ.精确的功能（f）以及常数c（c）,C类每次使用符号时可能会有所不同。对于分发ν关于有限集X（X）⁠，我们写Ex个∼ν对于以下方面的期望x个带分发ν.

定义2.1
（策略和相关性）。A类策略 S公司是元组(ψ,A类,B类)⁠，其中ψ∈H（H）A类⊗H（H）B类是量子态A类=A类一x个 分别地,B类=B类b条年是上的度量值集合H（H）索引者x个∈X（X）并取得成果一∈A类（分别，年∈年和b条∈B类⁠). 任何策略都会导致相关性，这是实数的集合，
C类x个年一b条=ψA类一x个⊗B类b条年ψ,∀(x个,年)∈X（X）×年,∀(一,b条)∈A类×B类.
由这种形式的策略产生的所有相关性集合表示为
C类q个(X（X）,年,A类,B类)⊆R（右）|X（X）‖年‖A类‖B类|.

定义2.2

（同步相关）。对于有限集X（X）和A类⁠，相关性C类=(C类x个,年,一,b条)∈C类q个(X（X）,X（X）,A类,A类)被称为同步如果C类x个,x个,一,b条全部=0x个∈X（X）和一,b条∈A类这样的话一≠b条.给定分布ν在X（X）⁠，回忆一下δ同步(C类; ν)英寸(4). 给定策略S公司⁠，我们也写δ同步(S公司;ν)对于δ同步(C类; ν)，其中C类是由以下因素引起的相关性S公司⁠.

定义2.3
（PME战略）。战略S公司=(ψ,A类,B类)是对称的如果X（X）=年⁠,A类=B类⁠,ψ∈H（H）⊗H（H）采取形式
ψ=∑我λ我u个我u个我∈H（H）⊗H（H）,
(7)
哪里λ我为非负，且u个我正交，并且对于每个x个,一,A类一x个=(B类一x个)T型转置是相对于u个我⁠注意，这意味着H（H）A类=H（H）B类还有那个ψ在任一子系统上具有相同的降低密度。对于对称策略，我们将其写为S公司=(ψ,A类)⁠。战略是投射的如果有的话A类一x个和B类b条年都是投影。它是最大纠缠如果ψ是最大纠缠态(1)上的H（H）A类⊗H（H）B类⁠我们使用首字母缩写词“PME”表示“对称射影最大纠缠”

观察PME策略定义的相关性是同步的。[参考文献中显示了与此语句相反的内容。9，即，每个同步策略都源于PME策略（其凸组合）。]要看到这一点，首先要回忆安藤公式：对于任何X（X）,年、和ψ∈H（H）⊗H（H）表单的(7)密度降低ρ，它认为

ψX（X）⊗年ψ=T型第页X（X）ρ1/2年T型ρ1/2,
(8)

其中转置是相对于基的u个我如中所示(7). 现在，对于PME战略S公司=(ψ,A类)以及任何ν，写入

δ同步(S公司,ν)=1−E类x个∼ν∑一ψA类一x个⊗(A类一x个)T型ψ=1−E类x个∼ν∑一ψ(A类一x个)2⊗我d日ψ=1−E类x个∼ν∑一ψA类一x个⊗我d日ψ=0,

第一个等式是根据定义定义的，第二个等式使用(8)此外，对于PME战略ψ在任何一个系统上，都与恒等式成比例，因此可以与任何运算符进行交换，第三个等式使用所有等式A类一x个是投射，以及它们加在一起的最后一个用途。

我们复制了参考文献中的定义。16.

定义2.4
（本地(ɛ,ν)-膨胀）。鉴于ɛ≥0，分布ν在X（X）×年⁠和两种策略S公司=(ψ,A类,B类)和S公司̃=(ψ̃,A类̃,B类̃)⁠，我们这么说S公司̃是一个地方的(ɛ,ν)-膨胀属于S公司如果存在等距线V（V）A类:H（H）A类→H（H）̃A类⊗K（K）A类和V（V）B类:H（H）B类→H（H）̃B类⊗K（K）B类和一个州一u个x个∈K（K）A类⊗K（K）B类这样的话
‖(V（V）A类⊗V（V）B类)ψ−ψ̃⊗一u个x个‖≤ε,E类(x个,年)∼ν∑一,b条‖(V（V）A类⊗V（V）B类)A类一x个⊗B类b条年ψ−A类̃一x个⊗B类̃b条年ψ̃⊗一u个x个‖21/2≤ε.

参考文献。16，第二个条件对于所有x个,年,一,b条。我们只要求它保持平均意义，因为在寻求与集合大小无关的近似时，这更自然X（X）,年,A类,B类⁠正如本文中的情况一样。

以下引理意味着对于任何相关性C类∈C类q个有一种投射（但不一定是最大纠缠）策略可以实现它。

引理2.5
（奈马克扩张）。让 ψ 成为一个州 H（H）A类⊗H（H）B类.让 A类=A类一x个 是对的度量 H（H）A类 和 B类=B类b条年 是对的度量 H（H）B类然后，存在Hilbert空间 H（H）A类一u个x个 和 H（H）B类一u个x个，一个州 一u个x个∈H（H）A类一u个x个⊗H（H）B类一u个x个和两个投影测量 A类̂=A类̂一x个 和 B类̂=B类̂b条年 作用于 H（H）A类⊗H（H）A类一u个x个 和 H（H）B类⊗H（H）B类一u个x个，因此以下是正确的。如果我们允许 ψ̂=ψ⊗一u个x个⁠,那么就全部 x个,年,一,b条,
ψA类一x个⊗B类b条年ψ=ψ̂A类̂一x个⊗B类̂b条年ψ̂.
此外， 一u个x个 是产品状态，这意味着我们可以将其写为 一u个x个=一u个x个A类⊗一u个x个B类，用于 一u个x个A类 在里面 H（H）A类一u个x个 和 一u个x个B类 在里面 H（H）B类一u个x个.

定义2.6。

A类非局部博弈（或游戏简称）G公司由元组指定(X（X）,年,A类,B类,ν,D类)有限的问题集 X（X）和年⁠，有限答案集 A类和B类⁠，一个分发ν在X（X）×年⁠、和决策谓词 D类:X（X）×年×A类×B类→0,1我们通常写为D类(一,b条|x个,年)的(x个,年)∈X（X）×年和(一,b条)∈A类×B类⁠。游戏是对称的如果X（X）=年⁠,A类=B类⁠,ν(x个,年)=ν(年,x个)为所有人x个,年∈X（X）×年⁠，以及所有人一,b条,x个,年,D类(一,b条|x个,年)=D类(b条,一|年,x个). 在这种情况下，我们写G公司=(X（X）,A类,ν,D类)⁠。我们经常滥用符号，还使用ν表示ν在X（X）⁠.

定义2.7。
给定一个游戏G公司=(X（X）,年,A类,B类,ν,D类)和战略S公司=(ψ,A类)在里面G公司⁠，的成功概率属于S公司在里面G公司是
ω(G公司;S公司)=E类(x个,年)∼ν∑一,b条D类(一,b条|x个,年)ψA类一x个⊗B类b条年ψ.

我们展示了在证明中有用的初等引理和通常众所周知的引理。第一个引理将两个不同的状态相关距离度量联系在一起H（H）⁠.

引理2.8。
让 γ,δ≥0.让 H（H） 成为希尔伯特空间 ψ∈H（H）⊗H（H） 成为一个国家。让 X（X） 是一个有限集，对于每个 x个∈X（X），让 A类一x个一∈A类 是投影测量 M（M）一x个一∈A类 是任意的度量 H（H）.让 μ 是上的分发 X（X）.让
δ=1−E类x个∼μ∑一∈A类ψA类一x个⊗(A类一x个)T型ψ和γ=1−E类x个∼μ∑一∈A类ψA类一x个⊗(M（M）一x个)T型ψ.
(9)
然后，
(γ−δ)2≤E类x个∼μ∑一∈A类ψ我d日⊗A类一x个−M（M）一x个2ψ≤2γ+22δ.
(10)

证明。
我们从左边的不等式开始，
γ=1−E类x个∼μ∑一ψA类一x个⊗(M（M）一x个)T型ψ=E类x个∼μ∑一ψA类一x个⊗A类一x个−M（M）一x个T型ψ+1−E类x个∼μ∑一ψA类一x个⊗(A类一x个)T型ψ≤E类x个∼μ∑一ψ我d日⊗A类一x个−M（M）一x个2ψ1/2E类x个∼μ∑一ψ(A类一x个)2⊗我d日ψ1/2+δ≤E类x个∼μ∑一ψ我d日⊗A类一x个−M（M）一x个2ψ1/2+δ,
其中第一个不等式是Cauchy–Schwarz，最后一个不等式分别使用该不等式x个∈X（X）⁠,A类一x个一是一个度量。
对于右不等式，
E类x个∼μ∑一ψ我d日⊗A类一x个−M（M）一x个2ψ=E类x个∼μ∑一ψ我d日⊗A类一x个2+M（M）一x个2ψ−2R（右）E类x个∼μ∑一ψ我d日⊗A类一x个M（M）一x个ψ≤2−2R（右）1−γ−E类x个∼μ∑一ψA类一x个⊗我d日−我d日⊗A类一x个T型我d日⊗M（M）一x个T型ψ≤2γ+2E类x个∼μ∑一ψA类一x个⊗我d日−我d日⊗A类一x个T型2ψ1/2E类x个∼μ∑一ψ我d日⊗M（M）一x个T型2ψ1/2≤2γ+22δ,
第一个不等式使用了A类一x个一和M（M）一x个一是度量，第二个使用Cauchy–Schwarz不等式，最后一个使用的是δ每个人都有x个∈X（X）⁠,A类一x个是投影测量M（M）一x个一是一种衡量标准。□

给定密度矩阵ρ在H（H）⁠，定义典型净化属于ρ作为国家

ψ=∑我λ我u个我u个我,

哪里ρ=∑我λ我u个我u个我是谱分解。

引理2.9。
让 ψ∈H（H）A类⊗H（H）B类 和 A类一 和 B类一 在上进行测量 H（H）A类 和 H（H）B类⁠,分别是。让 ρA类 和 ρB类 是 ψ 在 H（H）A类 和 H（H）B类⁠,分别是。让 ψA类∈H（H）A类⊗H（H）A类 和 ψB类∈H（H）B类⊗H（H）B类 是规范的净化 ρA类 和 ρB类分别是。然后，
∑一ψA类一⊗B类一ψ≤∑一ψA类A类一⊗A类一T型ψA类1/2∑一ψB类B类一⊗B类一T型ψB类1/2.

证明。
让ψ=∑j个λj个u个j个v（v）j个是施密特分解。让K（K）=∑j个λj个u个j个v（v）j个⁠.然后，
∑一ψA类一⊗B类一ψ=∑一T型第页A类一K（K）B类̄一K（K）†≤∑一T型第页A类一K（K）K（K）†A类一K（K）K（K）†1/2∑一T型第页B类一̄K（K）†K（K）B类一̄K（K）†K（K）1/2,
其中不等式是Cauchy–Schwarz。使用它ρA类=KK公司†和ρB类=K（K）†K（K）证明到此结束。□

下一个引理给出了两种策略诱导邻近相关性的条件。

引理2.10。
让 S公司=(ψ,A类,B类) 作为一种策略，让 A类̂=A类̂一x个 成为上的POVM家族 H（H）A类，并让 S公司̂=(ψ,A类̂,B类).让 ρA类 是 ψ 在 H（H）A类 和 ψA类∈H（H）A类⊗H（H）A类 成为它的典型净化。让 S公司A类=(ψA类,A类).让 ν 是上的分发 X（X）×年 和 δ=δ同步(S公司A类;νA类)⁠,哪里 νA类 是的边缘 ν 在 X（X）.让
γ=E类x个∼νA类∑一T型第页A类一x个−A类̂一x个2ρA类.
让 C类 是由 S公司 和 C类̂ 通过 S公司̂.然后，
E类x个,年∼ν∑一,b条|C类x个,年,一,b条−C类̂x个,年,一,b条|≤O（运行）δ+γ.

证明。
共轭B类b条年如果有必要，通过幺正变换，我们假定ψ在任一子系统上满足ρA类=ρB类.然后，ψA类=ψ⁠。作为证明的第一步，我们表明
E类x个,年∼ν∑一,b条|C类x个,年,一,b条−ψ(A类一x个)2⊗B类b条年ψ|≤δ.
(11)
要显示此内容，请编写
E类x个,年∼ν∑一,b条|C类x个,年,一,b条−ψ(A类一x个)2⊗B类b条年ψ|=E类x个,年∼ν∑一,b条ψA类一x个−(A类一x个)2⊗B类b条年ψ≤E类x个∼νA类∑一ψA类一x个−(A类一x个)2⊗我d日ψ=1−E类x个∼νA类∑一ψ(A类一x个)2⊗我d日ψ,
(12)
第一步使用A类一x个−(A类一x个)2≥0为所有人x个,一，第二个使用∑b条B类b条年=我d日为所有人年第三个使用∑一A类一x个=我d日为所有人x个接下来，我们观察到
1−δ=E类x个∼νA类∑一ψA类一x个⊗(A类一x个)T型ψ≤E类x个∼νA类∑一ψ(A类一x个)2⊗我d日ψ1/2E类x个∼νA类∑一ψ我d日⊗(A类一x个)T型2ψ1/2=E类x个∼νA类∑一T型第页(A类一x个)2ρA类,
其中第二行的不等式是Cauchy–Schwarz，最后一行使用我们的假设ρA类=ρB类.重新插入(12)，这显示(11). 对于第二步，我们显示
E类x个,年∼ν∑一,b条|ψA类一x个2⊗B类b条年ψ−ψA类̂一x个2⊗B类b条年ψ|≤2γ.
(13)
要显示(13)，我们首先绑定
E类x个,年∼ν∑一,b条|ψA类一x个2−A类一x个A类̂一x个⊗B类b条年ψ|≤E类x个,年∼ν∑一,b条|ψA类一x个2⊗B类b条年ψ1/2E类x个,年∼ν∑一,b条|ψA类一x个−A类̂一x个2⊗B类b条年ψ1/2,≤γ,
(14)
其中第一个不等式是Cauchy–Schwarz，第二个不等式将第一项限定为1，第二项限定为γ使用∑b条B类b条年=∑一A类一x个=1以及γ.类似计算给出
E类x个,年∼ν∑一,b条|ψA类一x个A类̂一x个−A类̂一x个2⊗B类b条年ψ|≤γ.
(15)
一起(14)和(15)给予(13). 最后，证明的第三步由边界给出
E类x个,年∼ν∑一,b条|C类̂x个,年,一,b条−ψA类̂一x个2⊗B类b条年ψ|≤2γ+δ.
(16)
这类似于(11)，除了我们依赖于一致性估计δ̂的A类̂一x个⁠。这可以通过使用(10)在引理2.8中η=1−E类x个∑一ψA类一x个⊗(A类̂一x个)T型ψ给予(η−δ)2≤γ所以
η≤γ+δ
(17)
和
1−η=E类x个∑一ψA类一x个⊗A类̂一x个T型ψ≤E类x个∑一ψA类一x个⊗A类一x个T型ψ1/2E类x个∑一ψA类̂一x个⊗A类̂一x个T型ψ1/2
使用引理2.9。因此，(1−δ)(1−δ̂)≥(1−η)2⁠，这意味着δ̂≤2η≤2γ由(17). 继续进行(11)，这显示(16).

组合(12), (13)、和(16)证明了引理。□

我们引入了两个简单的引理，最初是由于Connes17（他在更一般的半有限von Neumann代数环境中证明了它们）。引理允许我们对‖进行估计（f）(A类) −克(B类)‖F类什么时候A类,B类赫密特操作员在吗H（H）和（f）,克是实值函数。正如引言中所讨论的，这些引理以前在参考文献。7显示的结果比我们在这里显示的弱（这就足够了）。

对于λ∈R（右）⁠，定义χ≥λ:R（右）→R（右）通过χ≥λ(x个)=1，如果x个≥λ否则为0。延伸χ≥λ致Hermitian操作员H（H）使用谱演算。第一个引理在参考文献中显示为引理5.6。7.

引理2.11。
让 ρ 是有限维希尔伯特空间上的半正定算子。然后，
∫0+∞χ≥λρ1/2d日λ=ρ,
其中积分是关于Lebesgue测度的 R（右）+.

第二个引理在参考文献中显示为引理5.5。7.

引理2.12。
让 ρ,σ 是有限维希尔伯特空间上的半正定算子。然后，
∫0+∞χ≥λρ1/2−χ≥λσ1/2F类2d日λ≤‖σ1/2−ρ1/2‖F类‖σ1/2+ρ1/2‖F类.

以下结果表明，近似一致的策略总是接近投影策略。结果首先出现在Ref。18我们在这里给出的声明摘自参考文献。14.

建议2.13。
让0 ≤δ≤ 1.让 ψ 处于状态 H（H）⊗H（H） 两个子系统上的减少密度是相同的。让 k个 是一个整数，并且 问1, …,问k个 上的是半正定算子 H（H） 这样的话∑我问我=Id.让
δ=1−∑我ψ问我⊗问我T型ψ.
然后，存在正交投影 P（P）1, …,P（P）k个 在 H（H） 这样的话∑我P（P）我=Id和
∑我ψ(P（P）我−问我)2⊗我d日ψ≤O（运行）δ1/4.
(18)

以下是我们的主要结果。它指出，诱导几乎同步的相关性的策略必须在精确意义上与投射最大纠缠策略成比例地接近。

定理3.1。

有通用常数 c（c）,C类> 0因此，以下内容成立。让 X（X） 和 A类 是有限集 ν是上的分布 X（X）.让 S公司=(ψ,A类) 是一种对称战略 δ=δ同步(S公司;ν)然后，有一个措施 μ 在 R（右）+ 和Hilbert空间家族 H（H）λ⊆H（H） 对于 λ∈R（右）+ （两者均取决于 ψ 仅），使得以下成立。对于每个 λ∈R（右）+⁠,存在最大纠缠态 ψλ∈H（H）λ⊗H（H）λ 以及每个 x个 投影测量 A类一λ,x个 在 H（H）λ 这样我们就有了以下内容：

  1. 出租 ρ 是 ψ 在 H（H） 和 ρλ 处于完全混合状态 H（H）λ⊆H（H）,
    ρ=∫λρλd日λ.
    (19)
  2. S公司λ=(ψλ,A类λ) 提供以下内容的近似分解 S公司 作为投影最大纠缠（PME）策略的凸和，在以下意义上：
    E类x个∼ν∑一∫λT型第页A类一x个−A类一λ,x个2ρλd日μ(λ)≤C类δc（c）.
    (20)

定理3.1的关键点是，误差估计与H（H）和集合的大小X（X）和A类⁠我们注意到λ可以写成有限凸和。这一点从ρλ作为投影的倍数P（P）λ定义于(31). 自H（H）是有限维的，ρ具有离散频谱和P（P）λ采用有限的值集。

我们注意到该定理并不意味着ψ它本身接近于最大纠缠态。相反(19)意味着在追踪了一只安非利亚犬之后，其中包含索引λ，情况就是这样。不难看出，这是不可避免的，因为考虑一个博弈，该博弈存在多个非统一等价的最优策略。例如，可以考虑一个线性系统博弈，它测试由泡利矩阵生成的群σX（X）,σZ轴和σ年; 这可以从魔方游戏的三个副本中获得，如Ref。19（附录A）。使用任何形式的状态，都可以以1的概率赢得这场比赛

ψ=ϕ+A类1B类1ϕ+A类2B类2α00A类3B类3+β11A类3B类3,

哪里ϕ+是EPR对（2级最大纠缠态），测量算符相对于第三个系统（即。，X（X）=X（X）A类1A类2′⊗00A类3+X（X）A类1A类2″⊗11A类3对于第一个玩家）。关键的是，测量操作员对第三个系统的依赖不能通过局部幺正来消除，因为X（X）'和X（X）″组件之间没有单位关系。尽管在定义2.4的意义上，该策略不能局部扩展为最大纠缠策略，但不难看出，它仍然具有定理3.1所承诺的形式的分解。

在开始证明之前，我们给出了一对推论。第一个例子表明，即使不假设S公司是对称的。

推论3.2。

让 S公司=(ψ,A类,B类) 成为一种战略。让 ν 是上的分发 X（X） 和 δ=δ同步(S公司;ν)然后，与定理3.1相同的结论成立（对于不同的常数 c（c）,C类)，其中 ρ 被选为 ψ 在其中一个上 H（H）A类 （在这种情况下，结论适用于 A类一x个)或 H（H）B类 （在这种情况下，它们适用于 B类b条年).

证明。
使用引理2.9和詹森不等式，可以得出
E类x个∼ν∑一ψA类一x个⊗B类一x个ψ≤1−δ同步(S公司A类;ν)1−δ同步(S公司B类;ν),
哪里S公司A类=(ψA类,A类)和S公司B类=(ψB类,B类)具有ψA类和ψB类是约化密度的规范净化ψ在H（H）A类和H（H）B类⁠分别是。这允许我们将定理3.1分别应用于每个对称策略S公司A类和S公司B类以获得期望的结论。□

第二个推论表明，定理的结论意味着对S公司作为同步相关的凸组合。

推论3.3。
让 S公司=(ψ,A类,B类) 成为一种投射策略。让 ν 是上的分发 X（X）, δ=δ同步(S公司;ν)、和 S公司λ 和 μ 分别是策略家族和从定理3.1中获得的度量。让 C类 （分别为， C类λ)是由 S公司 （分别为， S公司λ). 让 ν̃ 是任何分配 X（X）×X（X） 带有边缘 ν.然后，
E类(x个,年)∼ν̃∑一,b条C类x个,年,一,b条−∫λC类x个,年,一,b条λd日λ=第页o个我年(δ).
（21）

假设S公司是投射的，不会失去一般性，因为根据引理2.5，任何相关性C类∈C类q个(X（X）,A类)可以通过投射策略实现。通过平均论证，推论立即意味着对于任何游戏G公司带问题分布ν̃⁠，有一个λ这样的话S公司λ至少成功了S公司在里面G公司高达附加损耗聚乙烯(δ).

证明。
修复S公司⁠,ν,ν̃⁠,S公司λ⁠、和μ正如推论的陈述一样。共轭B类b条年如果有必要，通过幺正变换，我们假定ψ在任何子系统上都是相同的。对于每个λ，定义对称策略S公司̃λ=(ψλ,A类)然后让C类̃λ是关联的相关性。我们首先展示
E类(x个,年)∼ν̃∑一,b条|C类x个,年,一,b条−∫λC类̃x个,年,一,b条λd日λ|=第页o个我年(δ).
(22)
为此，我们展示了
E类x个,年∑一,b条|C类x个,年,一,b条−T型第页(A类一x个)T型B类b条年(A类一x个)T型ρ|=O（运行）δ
(23)
和
∫λE类x个,年∑一,b条|C类̃x个,年,一,b条λ−T型第页(A类一x个)T型B类b条年(A类一x个)T型ρλ|=O（运行）δ.
（24）
与一起(19)，正在合并(23)和(24)通过三角形不等式给出(22). 要显示(23)，使用三角形不等式编写
E类x个,年∑一,b条|C类x个,年,一,b条−T型第页A类一x个T型B类b条年A类一x个T型ρ|≤E类x个,年∑一,b条|ψ我d日⊗A类一x个T型−A类一x个⊗我d日B类b条年我d日⊗A类一x个T型ψ|
(25)
+E类x个,年∑一,b条ψ我d日⊗A类一x个T型B类b条年我d日⊗A类一x个T型−A类一x个⊗我d日ψ|,
(26)
我们使用的假设是B类b条年是一个投影。右边的两个项的边界都是相同的。我们演示如何绑定第一个，
E类x个,年∑一,b条|ψ我d日⊗A类一x个T型−A类一x个⊗我d日B类b条年我d日⊗A类一x个T型ψ|≤E类x个,年∑一,b条ψ我d日⊗A类一x个T型−A类一x个⊗我d日B类b条年我d日⊗A类一x个T型−A类一x个⊗我d日ψ1/2⋅E类x个,年∑一,b条ψ我d日⊗A类一x个T型B类b条年我d日⊗A类一x个T型ψ1/2≤E类x个∑一ψ我d日⊗A类一x个T型−A类一x个⊗我d日2ψ1/2⋅1≤2δ,
其中第一个不等式是Cauchy–Schwarz，第二个不等式使用∑一A类一x个=∑b条(B类b条年)2=我d日⁠，最后一个是通过扩展正方形并使用的定义δ。此边界(25). 以及中术语的类似约束(26)，显示(23). 类似的证据表明(24).
已建立(22)，我们现在证明
∫λE类(x个,年)∼ν̃∑一,b条|C类̃x个,年,一,b条λ−C类x个,年,一,b条λ|d日λ=第页o个我年(δ).
(27)
组合(22)和(27)显示(21)，结束证明。要显示(27)，我们将引理2.10应用于每个λ战略S公司=(ψλ,A类λ,B类)这里和A类̂在引理2.10中是A类在这里。自ψλ最大程度地纠缠A类λ由其支架支撑，δ在引理2.10中等于0。应用Jensen不等式后面的引理，得到
∫λE类(x个,年)∼ν̃∑一,b条|C类̃x个,年,一,b条λ−C类x个,年,一,b条λ|d日λ=O（运行）∫λE类x个∑一T型第页A类一λ,x个−A类一x个2ρλd日λ1/2=第页o个我年(δ)
由(20). 这表明(27)并对证明进行了总结。□

我们现在证明这个定理。如定理3.1所述S公司=(ψ,A类)成为一种对称策略。让ρ是ψ在H（H）⁠作为证明的第一步，我们应用命题2.13获得了一个成功概率几乎相同的邻近对称投影策略。

引理3.4。
存在投影对称策略 S公司′=(ψ,B类) 如此一来 δ′=δ同步(S公司′,ν)⁠,然后 δ′ =O（运行）(δ1/8)和
E类x个∼ν∑一T型第页(A类一x个−B类一x个)2ρ=O（运行）δ1/4.
(28)

证明。
对于每个x个，让δx个=1−∑一ψA类一x个⊗(A类一x个)T型ψ⁠.根据定义δ，它认为
δ=E类x个∼νδx个.
(29)
对于每个x个∈X（X）⁠，将命题2.13应用于测量A类一x个给出投影测量B类一x个这样的话
∑一T型第页(A类一x个−B类一x个)2ρ=O（运行）δx个1/4.
接受期望x个,
E类x个∼ν∑一T型第页(A类一x个−B类一x个)2ρ=O（运行）E类x个∼νδx个1/4=O（运行）E类x个∼νδx个1/4=O（运行）δ1/4,
(30)
其中第二行使用Jensen不等式，第三行使用(29). 这给了(28). 让δ'=δ同步(S公司',ν)⁠.然后，
δ′−δ=E类x个∑一ψA类一x个⊗(A类一x个)T型ψ−ψB类一x个⊗(B类一x个)T型ψ=E类x个∑一ψ(A类一x个−B类一x个)⊗(A类一x个)T型ψ+ψB类一x个⊗(A类一x个−B类一x个)T型ψ≤E类x个∑一T型第页(A类一x个−B类一x个)2ρ1/2E类x个∑一T型第页((A类一x个)2ρ)1/2+E类x个∑一T型第页((B类一x个)2ρ)1/2≤O（运行）δ1/8⋅2,
其中，第二个不等式来自柯西-施瓦兹不等式和最后一个用法(30)约束第一个术语和每个术语x个,A类一x个一和B类一x个是测量值。这表明δ′ =O（运行）(δ1/8)如所述。□

对于每个λ∈R（右）+⁠，让

P（P）λ=χ≥λ(ρ)
(31)

是所有特征空间的直和上的投影ρ至少具有相关特征值λ.使用引理2.11，∫λ晶体管(P（P）λ)dλ=1，所以dμ(λ)=Tr(P（P）λ)dλ是一种概率度量。让H（H）λ是维的希尔伯特空间P（P）λ.我们分别捐赠H（H）λ特征向量的正交基ρ让我们可以查看H（H）λ作为的子空间H（H）λ′对于任何λ′ ≤λ，使用H（H）λ=0对于任何λ> ‖ρ‖和公约H（H）0=H（H）⁠.

下一个引理显示了在B类一x个和P（P）λ⁠.

引理3.5。
以下内容适用：
∫λE类x个∼ν∑一‖B类一x个P（P）λ−P（P）λB类一x个‖F类2≤22δ′,
(32)
哪里 δ′ =O（运行）(δ1/8)如引理3.4所示。

证明。
为了方便证明引理，我们确定了集合A类具有Z轴米对于某个整数米.定义一个单位族U型b条x个索引依据x个∈X（X）和b条∈A类通过
U型b条x个=∑一电子2我π一b条/米B类一x个.
(33)
根据这个定义，我们观察到
E类x个E类b条‖U型b条x个ρ1/2−ρ1/2U型b条x个‖F类2=2−2E类x个∑一T型第页B类一x个ρ1/2B类一x个ρ1/2=2δ′,
(34)
期望值超过x个是相对于游戏分布的（边缘）ν，期望值超过b条是统一的Z轴米⁠，第一个等式使用等式Eb条电子2iπ(一−一′)/米=δ一,一′（克罗内克δ)为所有人一,一′∈Z轴米事实上x个,B类一x个一是投射的，第二个使用同一性(8).
对于每个x个∈X（X）和b条∈B类⁠，让σb条x个=(U型b条x个)†ρU型b条x个⁠.观察任何情况λ∈R（右）+⁠,
χ≥λ(σb条x个)1/2=(U型b条x个)†χ≥λρ1/2U型b条x个.
因此，使用定义(31)第页，共页P（P）λ,
E类x个E类b条∫λ‖P（P）λ−(U型b条x个)†P（P）λU型b条x个‖F类2=E类x个E类b条∫λ‖χ≥λρ1/2−χ≥λ(σb条x个)1/2‖F类2≤E类x个E类b条‖ρ1/2−(U型b条x个)†ρ1/2U型b条x个‖F类‖ρ1/2+(U型b条x个)†ρ1/2U型b条x个‖F类≤E类x个E类b条‖ρ1/2−(U型b条x个)†ρ1/2U型b条x个‖F类21/2E类x个E类b条‖ρ1/2+(U型b条x个)†ρ1/2U型b条x个‖F类21/2≤2δ′4,
其中第二行上的不等式是通过分别应用引理2.12得到的x个和b条，第三行是Cauchy–Schwarz不等式，对于最后一个不等式，第一项使用(34)第二项是有界的，使用‖ρ1/2‖F类2=1⁠自定义以来，索赔如下(33)，我们通过展开左侧得到x个和λ,
E类b条‖U型b条x个P（P）λ−P（P）λU型b条x个‖F类2=∑一‖B类一x个P（P）λ−P（P）λB类一x个‖F类2.
□

有了前面的两个引理，我们就可以给出定理3.1的证明了。

定理3.1的证明。

修复对称策略S公司=(ψ,A类)对于G公司⁠.让B类一x个是引理3.4中获得的射影测量族，S公司′=(ψ,B类)和δ′=δ同步(S公司′;ν)⁠.

对于λ∈R（右）+⁠，让A类̃一λ,x个=P（P）λB类一x个P（P）λ和ψλ表示最大纠缠态H（H）λ⊗H（H）λ⁠.然后，S公司̃λ=(ψλ,A类̃λ)是一种定义明确的对称策略。引理3.5允许我们绑定
∫λE类x个∑一‖(B类一x个−A类̃一λ,x个)2P（P）λ‖F类2d日λ=∫λE类x个∑一T型第页B类一x个P（P）λB类一x个(我d日−P（P）λ)d日λ=∫λE类x个∑一T型第页[B类一x个,P（P）λ][B类一x个,P（P）λ]†d日λ=O（运行）δ′,
(35)
对于第一行和第二行中的重写，我们使用了A类̃一λ,x个⁠，事实上P（P）λ是每个的投影λ，还有那个B类一x个是对所有人的投影测量x个最后一行，我们使用(32).
仍需转变策略S公司̃λ投射策略。为此，我们将命题2.13应用于每个测量A类一λ,x个一为所有人x个和λ。为了证明此应用程序的合理性，我们评估
∫λE类x个∑一ψλA类̃一λ,x个⊗A类̃一λ,x个ψλd日μ(λ)=∫λE类x个∑一T型第页B类一x个P（P）λB类一x个P（P）λd日λ=1−12∫λE类x个∑一‖B类一x个P（P）λ−P（P）λB类一x个‖F类2d日λ≥1−O（运行）δ′,
(36)
其中第一个等式使用dμ(λ)和A类̃一λ,x个和(8)，第二个使用B类一x个是投影的，最后一行是(32). 对于每个x个和λ，让A类一λ,x个是与关联的投影测量A类̃一λ,x个提案2.13。使用Jensen不等式和(36)，该命题保证
∫λE类x个∑一T型第页A类一λ,x个−A类̃一λ,x个2P（P）λd日λ=O（运行）(δ′)1/8.
(37)
对于每个λ、战略S公司λ=(ψλ,A类λ)是PME战略的定义，以及(20)通过组合(28), (35)、和(37).□

我们给出定理3.1的两个应用。第一个是将PME策略获得的“刚性”陈述转换为一般情况。第二是投影仪类游戏。

如引言所述，定理3.1允许将PME策略的刚性陈述转换为一般策略。我们没有一份通用声明来证明这一点。相反，我们给出了两个简单的推论，用于描述示例应用程序。第一个推论考虑了复杂性理论中的一个重要情况，其目的是表明在某种意义上，构成某个游戏中成功策略的一大系列度量必须与“解释”它的一个更大的度量一致；参见小节四A 1.第二个推论考虑了刚性证明中的一个典型中点，其中使用博弈条件推导出构成成功策略的度量值上的某些代数关系，然后显示出施加了进一步的结构；参见小节四A 2.

1.应用于显示经典音质

当人们试图证明某个非局部博弈中的量子策略服从某个“全局”结构时，我们的第一个应用出现在复杂性理论中。我们首先陈述了推论，然后描述了它的典型应用。

推论4.1。

让 G公司=(X（X）,A类,ν,D类) 成为一个对称的游戏。假设给定以下条件：

  • 有限集合 年 和 B类,

  • 联合分配 第页 在 X（X）×年,

  • 对于每个 (x个,年)∈X（X）×年⁠,一个函数 克x个年:A类→2B类，的子集集合 B类，对于任何固定的(x个,年),成套设备 克xy公司(一)对于 一∈A类 成对不相交，并且

  • 凸单调非减函数 κ:[0,1]→R（右）+,

假设给定这些数据，以下语句成立：

  • 对于每个 ω∈[0，1]和对称PME策略 S公司=(ψ,A类) 成功的概率 ω 在里面 G公司⁠,有一系列测量值 M（M）b条年 在 H（H），索引者 年∈年 并取得成果 b条∈B类，因此
    E类(x个,年)∼第页∑一ψA类一x个⊗M（M）[克x个年(一)]年ψ≥κ(ω),
    (38)
    哪里 M（M）[克x个年(一)]年=∑b条∈克x个年(一)M（M）b条年.

然后，同样的语句扩展到任意对称投影策略 S公司′=(ψ,A类)，右侧向内 (38) 替换为 κ(ω−聚(δ))−聚(δ),哪里 δ=δ同步(S公司′;ν).

注意，使用引理2.8，保证(38)可以等效地表示为A类一x个和M（M）一x个=E类年∼第页x个M（M）[克x个年(一)]年⁠，使用第页x个条件分布第页(x个, ·)/第页(x个). 战略的条件S公司′应该是对称的射影是非常温和的，因为射影总是可以通过应用奈马克膨胀（引理2.5）获得，而对称性通常是由于游戏中的对称性而获得的。

推论保证的近似质量损失多项式依赖于δ同步(S公司′;ν)⁠在许多情况下，这个数量可以直接从游戏中的高成功概率中限定。例如，如果分布ν是这样的ν(x个,x个) ≥cγ(x个)对一些人来说c（c）>0和所有x个，当我们回忆起，通过稍微滥用符号，我们使用ν（·）表示任一玩家的边缘。在这种情况下，任何这样的战略ωq个(G公司;S公司)≥1−ε有δ同步(S公司;νA类)≤ε/c（c）因此不需要进一步假设。

该命题中的假设是典型的刚性结果，特别是为了说明我们的结果对设置的潜在适用性，例如Ref。14这迫使某个游戏中的成功策略必须具有特定的“全球”结构。为了便于说明，我们陈述了参考文献。14结果如下：

定理4.2
（参考文献中的定理1.3。14，非正式）。假设对称策略 S公司=(ψ,A类) 在“学位”上取得成功-d日 低个人学位游戏” G公司我d日，其中有 X（X）=F类q个米 和 A类=F类q个，概率至少为1 −ɛ然后，存在投影测量 G公司=G公司克 谁的成果 克 是 米-上的变量多项式 F类q个 至多个人学位 d日 这样的话
E类x个∼F类q个米∑一∈F类q个∑克:克(x个)=一ψA类一x个⊗G公司克ψ≥1−第页o个我年(米)⋅(第页o个我年(ε)+第页o个我年(d日/q个)).
(39)

为了将推论4.1应用于定理4.2的设置，让游戏G公司在推论4.1中，是“度-d日低个人学位游戏”G公司我d日来自定理4.2。让年=年成为独生子女A类是一套米-上的变量多项式F类q个至多个人学位d日.让第页穿着统一F类q个米×年⁠。对于每个x个∈F类q个米和一∈F类q个⁠，让克xy公司(一)是多项式的集合，其计算结果为一在x个然后(39)给予(38)带有κ(ω)=多边形(米) · （聚(ɛ)+多边形(d日/q个))，其中ɛ= 1 −ω最后，我们注意到对于特定游戏G公司我d日⁠，条件ν(x个,x个) ≥cν(x个)对一些人来说c（c）>0前面提到的保留，它允许我们绑定δ同步通过O（运行）(ɛ).22综上所述，推论4.1表明，要证明定理4.2，只要愿意接受近似质量的小损失，就足以证明PME策略。正如引言所述，这使得证明的技术步骤大大简化。

我们给出了推论的证明。

推论4.1的证明。
修正对称投影策略S公司′=(ψ,A类)在里面G公司⁠，并让ω表示其成功概率。对于每个λ∈R（右）+⁠，让S公司λ=(ψλ,A类λ)是定理3.1承诺的PME策略ωλ成为其成功的可能性G公司⁠.让M（M）b条λ,年是根据推论4.1的假设承诺的测量系列
E类(x个,年)∼第页∑一ψλA类x个,λ⊗M（M）[克x个年(一)]λ,年ψλ≥κ(ωλ).
关于密度概率测度的平均值dμ(λ)并使用它κ假设为凸单调，如下所示
∫λE类x个,年∑一ψλA类一x个,λ⊗M（M）[克x个年(一)]λ,年ψλd日μ(λ)≥κ∫λωλd日μ(λ)≥κ(ω′),
(40)
哪里ω′ =ω−聚(δ)根据推论3.3。

权利要求4.3。
以下内容适用：
∫λE类x个,年∑一ψλA类一x个⊗M（M）[克x个年(一)]λ,年ψλd日μ(λ)≥κ(ω′)−第页o个我年(δ).
(41)

证明。
对于任何λ∈R（右）+⁠，我们有
|ψλA类一x个−A类一x个,λ⊗M（M）[克x个年(一)]λ,年ψλ|≤|ψλA类一x个−A类一x个,λA类一x个⊗M（M）[克x个年(一)]λ,年ψλ|+|ψλA类一x个,λA类一x个−A类一x个,λ⊗M（M）[克x个年(一)]λ,年ψλ|≤‖A类一x个−A类一x个,λ⊗我d日ψλ‖‖A类一x个,λ⊗我d日ψλ‖+‖A类一x个⊗我d日ψλ‖,
(42)
第一个不等式同时使用了A类一x个和A类一λ,x个投影和第二个不等式的用途‖M（M）[克x个年(一)]λ,年‖≤1为所有人x个,年和一.平均值λ,
∫λE类x个,年∑一ψλA类一x个−A类一λ,x个⊗M（M）[克x个年(一)]λ,年ψλd日μ(λ)≤∫λE类x个∑一‖A类一x个−A类一x个,λ⊗我d日ψλ‖‖A类一x个,λ⊗我d日ψλ‖+‖A类一x个⊗我d日ψλ‖d日μ(λ)≤∫λE类x个∑一‖A类一x个−A类一x个,λ⊗我d日ψλ‖2d日μ(λ)1/2⋅∫λE类x个∑一‖A类一x个,λ⊗我d日ψλ‖+‖A类一x个⊗我d日ψλ‖2d日μ(λ)1/2≤第页o个我年(δ),
第一个不等式在哪里使用(42)第二个是柯西-施瓦兹不等式，最后一个是(20)约束第一个术语，因为λ,x个、和一,
‖A类一x个−A类一x个,λ⊗我d日ψλ‖2=T型第页A类一x个−A类一x个,λ2ρλ.
□

对于每个年,b条，定义

M（M）b条年=ρ−1/2∫λ1T型第页(P（P）λ)P（P）λM（M）b条λ,年P（P）λd日μ(λ)ρ−1/2,

并注意到M（M）b条年≥0和

∑b条M（M）b条年=ρ−1/2∫λ1T型第页(λ)P（P）λd日μ(λ)ρ−1/2=我d日
（43）

由(19). 因此，对于每个年,M（M）b条年是有效的度量值。此外，使用(8)，我们得到

E类x个,年∑一ψA类一x个⊗M（M）[克x个年(一)]年ψ=E类x个,年∑一T型第页A类一x个ρ1/2M（M）[克x个年(一)]年ρ1/2=∫λE类x个,年∑一T型第页A类一x个P（P）λM（M）[克x个年(一)]λ,年P（P）λd日λ=∫λE类x个,年∑一ψλA类一x个⊗M（M）[克x个年(一)]λ,年ψλd日μ(λ)≥κ(ω′)−第页o个我年(δ),

最后一个不等式是通过(41).□

2.用于显示代数关系

我们的第二个应用涉及经过代数关系的刚性语句，例如CHSH游戏、魔方游戏以及更一般的游戏类的刚性证明；参见，例如，参考。20来解释这种方法。

推论4.4。

让 G公司=(X（X）,A类,ν,D类) 是一个对称的非局部博弈。假设 0,1⊆X（X）⁠,对于任何对称投影策略 S公司=(ψ,A类) 在里面 G公司，用于 x个∈0,1, A类0x个,A类1x个 是一种双结果测量，可以表示为可观察 A类x个=A类0x个−A类1x个假设以下语句适用于某些凹单调非递减函数 κ:[0,1]→R（右）+.

对于每个 ω∈[0，1]和对称PME策略 S公司=(ψ,A类) 成功的概率 ω 在里面 G公司⁠,它认为
T型第页A类0A类1−A类1A类02ρ≤κ(1−ω).
(44)
然后，同样的语句扩展到任意对称投影策略 S公司′=(ψ,A类)，右侧向内 (44) 替换为 κ(ω+聚乙烯(δ))+多边形(δ),哪里
δ=最大值δ同步(S公司′;q个),δ同步(S公司′;ν),
(45)
具有 q个 是上的均匀分布 0,1⊆X（X） 和 ν 是博弈分布的边际 X（X）.

由于推论的目的是给我们的结果一个“玩具”应用，我们草拟了证明，但忽略了细节。

校样草图。
修正对称投影策略S公司′=(ψ,A类)在里面G公司⁠，并让ω表示其成功概率。对于每个λ∈R（右）+⁠，让S公司λ=(ψλ,A类λ)是定理3.1承诺的PME策略ωλ成为其成功的可能性G公司⁠此外，让S公司̃λ=(ψλ,A类)⁠首先，我们通过一个类似于推导(22)在结论3.3的证明中，它认为
∫λδ同步S公司̃λ;q个d日λ=第页o个我年(δ),
(46)
在这里，我们使用δ英寸(45)包括在以下条件下测量几乎同步性q个然后，我们可以得出以下预期结论。首先，我们注意到
T型第页A类0A类1−A类1A类02ρ=∫λT型第页A类0A类1−A类1A类02ρλd日λ
(47)
由(19). 接下来，我们使用(46)显示
∫λT型第页A类0A类1−A类1A类02ρλ−T型第页A类λ,0A类λ,1−A类λ,1A类λ,02ρλ=第页o个我年(δ),
(48)
其中(20)非正式地用于将运算符从张量积的一侧“切换”到另一侧，以便(46)可以依次应用于正方形展开中的每个运算符。最后，左边的第二项(48)最多是κ(ω−聚(δ))使用推论中的假设、Jensen不等式和推论3.3中的事实，它认为∫λωλdλ≥ω−聚(δ). 证明到此结束。□

定理3.1适用于几乎一致的对称策略。在本节中，我们给出了一个例子，说明如何将定理的结果应用于一系列博弈，使得博弈中的成功自然意味着一致性的约束。这部分扩展了Ref。21注意，我们的结果只适用于投影游戏，而不适用于参考文献中考虑的更一般的“弱投影游戏”。21; 不难看出，这对于获得我们在这里获得的那种“稳健”结果是必要的。

定义4.5。

一场比赛G公司=(X（X）,年,A类,B类,ν,D类)是一个投影游戏如果每个(x个,年)∈X（X）×年⁠，有（f）x个年:A类→B类这样的话D类(一,b条|x个,年)=0，如果b条≠（f）xy公司(一).

定理4.6。
有通用常数 c（c）,C类> 0因此，以下内容成立。让 G公司=(X（X）,年,A类,B类,ν,D类) 成为一款投影游戏 S公司=(ψ,A类,B类) 成为 G公司 成功的概率1 −ɛ，对于一些0 ≤ɛ≤ 1然后，有一个措施 μ 在 R（右）+ 和Hilbert空间家族 H（H）λ⊆H（H）A类 对于 λ∈R（右）+ （两者都取决于 ψ 仅），以便以下内容保持不变。对于每个 λ∈R（右）+⁠,有一个PME策略 S公司λ=(ψλ,A类λ,B类) 对于 G公司 这样的话 ψλ 是最大纠缠态 H（H）λ⊗H（H）λ⁠,而且，如果 ωλ 是的成功概率 S公司λ 在里面 G公司，然后
∫λωλd日μ(λ)≥1−C类εc（c）.
(49)

证明。
应用奈马克定理（引理2.5），推广ψ如果有必要，我们可以假设x个,年,A类一x个和B类b条年是投影测量。对于每个x个∈X（X）和一∈A类⁠，让
B类一x个=E类年∼νx个∑b条D类(一,b条|x个,年)B类b条年,
在哪里x个∈X（X）⁠,νx个是的条件分布ν在年⁠，条件为x个.假设G公司投影游戏意味着x个,∑一B类一x个≤我d日⁠.让ψA类和ψB类是降低密度的标准净化ψ在H（H）A类和H（H）B类⁠分别是。使用引理2.9，
1−ε=E类x个∑一ψA类一x个⊗B类一x个ψ≤E类x个∑一ψA类A类一x个⊗(A类一x个)T型ψA类1/2E类x个∑一ψB类B类一x个⊗(B类一x个)T型ψB类1/2,
这意味着
E类x个∑一ψA类A类一x个⊗(A类一x个)T型ψA类≥(1−ε)2≥1−2ε.
(50)
方程式(50)表明对称投影策略S公司A类=(ψA类,A类)满足δ同步(S公司A类,ν)≤2ε⁠因此，我们可以应用定理3.1。让μ,H（H）λ⊆H（H）A类⁠、和A类λ正如定理所承诺的那样。自昏暗的(H（H）B类)≥d日⁠，每个λ，我们可以找到一种净化ψλA类B类属于ρλ=P（P）λ/Tr公司(P（P）λ)上的H（H）A类⊗H（H）B类⁠; 请注意ψλA类B类最大程度地纠缠。
接下来，我们注意到
E类x个∑一T型第页A类一x个B类一x个ρ−∫λE类x个∑一T型第页A类一λ,x个B类一x个ρλd日μ(λ)≤∫λE类x个∑一T型第页(A类一x个−A类一λ,x个)2ρλd日μ(λ)1/2∫λE类x个∑一T型第页(B类一x个)2ρλd日μ(λ)1/2≤第页o个我年(ε),
(51)
其中第一个不等式是Cauchy–Schwarz，并使用(19)第二种用途(50)以约束第一个术语(20)而这一切x个,∑一B类一x个≤我d日将第二个约束为1。使用它A类一λ,x个ρλ=ρλA类一λ,x个⁠，自ρλ是完全混合的A类一λ,x个得到支持，我们有
∫λE类x个∑一T型第页A类一λ,x个B类一x个ρλd日μ(λ)=∫λE类x个∑一1T型第页(P（P）λ)T型第页A类一λ,x个P（P）λB类一x个P（P）λd日μ(λ)=∫λE类x个∑一ψλA类一λ,x个⊗B类一x个ψλd日μ(λ).
(52)
方程式(51)和(52)共同给予(49).□

我感谢劳拉·曼金斯卡（Laura Mančinska）、威廉·斯洛夫斯特拉（William Slofstra）和亨利·袁（Henry Yuen）的评论，也感谢弗恩·保尔森（Vern Paulsen）指出了早期版本中的错别字。这项工作得到了美国国家科学基金会（NSF）第CCF-1553477号拨款、美国原子能科学研究院（AFOSR）YIP第FA9550-16-1-0495号拨款、MURI第FA9550.18-1-0161号拨款以及美国国家科学研究院物理前沿中心（IQIM）（NSF第PHY-1125565号拨款）的支持，并得到了戈登和贝蒂·摩尔基金会（GBMF-12500028）的支持。

作者没有利益冲突需要披露。

数据共享不适用于本文，因为本研究没有创建或分析新数据。

1
西。
 
斯洛夫斯特拉
, “
量子关联集不是封闭的
,”
论坛数学。圆周率
 
7
,
电子1
(
2019
).
https://doi.org/10.1017/fmp.2018.3
谷歌学者
交叉参考
搜索ADS
 
2
J.S.公司。
 
潜水钟
, “
论爱因斯坦-波多尔斯基-罗森悖论
,”
物理学。物理学。菲兹。
 
1
(
3
),
195
(
1964
).
https://doi.org/10.103/physicsphysiquefizika.1.195
谷歌学者
交叉参考
搜索ADS
 
三。
N。
 
布伦纳
,
D。
 
卡瓦尔坎蒂
,
美国。
 
皮罗尼奥
,
五、。
 
斯卡拉尼
、和
美国。
 
魏纳
, “
贝尔非定域性
,”
修订版Mod。物理学。
 
86
(
2
),
419
(
2014
).
https://doi.org/10.103/revmodphys.86.419
谷歌学者
交叉参考
搜索ADS
 
4
学士学位。
 
齐里尔森
, “
量子Bell型不等式的一些结果和问题
,”
强子J.Suppl。
 
8
(
4
),
329
–
345
(
1993
).
谷歌学者
 
5
T。
 
弗里茨
, “
Tsirelson问题与Kirchberg猜想
,”
数学复习。物理学。
 
24
(
05
),
1250012
(
2012
).
https://doi.org/10.1142/s0129055x12500122
谷歌学者
交叉参考
搜索ADS
 
6
M。
 
容格
,
M。
 
纳瓦斯库斯属
,
C、。
 
帕拉苏埃洛斯
,
D。
 
佩雷斯-加西亚
,
V.B.公司。
 
舒尔茨
、和
右上角。
 
沃纳
, “
Connes嵌入问题和Tsirelson问题
,”
数学杂志。物理学。
 
52
(
1
),
012102
(
2011
).
https://doi.org/10.1063/1.3514538
谷歌学者
交叉参考
搜索ADS
 
7
西。
 
斯洛夫斯特拉
和
T。
 
维迪克
, “
非局部博弈中的纠缠与群的超线性轮廓
,”
安·亨利·彭加勒
 
19
,
2979
–
3005
(
2018
).
https://doi.org/10.1007/s00023-018-0718-y
谷歌学者
交叉参考
搜索ADS
 
8
L。
 
曼金斯卡
和
D.E.博士。
 
罗伯逊
, “
量子同构等价于平面图的同态计数相等
，“in
2020年IEEE第61届计算机科学基础年会（FOCS）
(
电气与电子工程师协会
,
2020
)，第页。
661
–
672
.
谷歌学者
交叉参考
搜索ADS
 
9
五、一、。
 
保尔森
,
美国。
 
塞韦里尼
,
D。
 
施塔尔克
,
I.G.公司。
 
托多罗夫
、和
答：。
 
冬季
, “
量子色数的估计
,”
J.功能。分析。
 
270
(
6
),
2188
–
2222
(
2016
).
https://doi.org/10.1016/j.jfa.2016.01.010
谷歌学者
交叉参考
搜索ADS
 
10
L。
 
曼金斯卡
和
D。
 
罗伯逊
, “
量子游戏者的图同态
，“in
第九届量子计算、通信和密码理论会议（TQC 2014）
(
Dagstuhl-Leibniz-Zentrum fuer Informatik宫
,
2014
).
谷歌学者
 
11
R。
 
克利夫
和
R。
 
米塔尔
, “
二元约束系统对策的特征
，“in
自动化、语言和编程国际学术讨论会
(
施普林格
,
2014
)，第页。
320
–
331
.
谷歌学者
交叉参考
搜索ADS
 
12
S.-J.公司。
 
基姆
,
五、。
 
保尔森
、和
C、。
 
沙夫豪泽
, “
二元约束系统的同步对策
,”
数学杂志。物理学。
 
59
(
3
),
032201
(
2018
).
https://doi.org/10.1063/1.4996867
谷歌学者
交叉参考
搜索ADS
 
13
T。
 
维迪克
和
美国。
 
魏纳
, “
非局域性更强，纠缠更少
,”
物理学。版次A
 
83
(
5
),
052310
(
2011
).
https://doi.org/10.103/physreva.83.052310
谷歌学者
交叉参考
搜索ADS
 
14
Z.公司。
 
季
,
答：。
 
纳塔拉詹
,
T。
 
维迪克
,
J。
 
赖特
、和
H。
 
袁
, “
经典低个体度测试的量子稳健性
,”
量子
 
6
,
614
(
2022
).
https://doi.org/10.22331/q-2022-01-03-614
谷歌学者
交叉参考
搜索ADS
 
15
Z.公司。
 
季
,
答：。
 
纳塔拉詹
,
T。
 
维迪克
,
J。
 
赖特
、和
H。
 
袁
, “
米普*=RE
,”arXiv:2001.04383号(
2020
).
谷歌学者
 
16
L。
 
曼金斯卡
,
J。
 
普拉卡什
、和
C、。
 
沙夫豪泽
, “
无界维状态和测量的恒定规模稳健自测
,”arXiv:2103.01729(
2021
).
谷歌学者
 
17
答：。
 
康奈斯
, “
注射因子病例的分类II1，二∞，III类λ，λ≠1
,”
安。数学。
 
104
,
73
–
115
(
1976
).
https://doi.org/10.2307/19917057
谷歌学者
交叉参考
搜索ADS
 
18
J。
 
坎佩
和
T。
 
维迪克
, “
纠缠博弈的并行重复
，“in
第四十三届ACM计算理论年会论文集
(
ACM公司
,
2011
)，第页。
353
–
362
.
谷歌学者
交叉参考
搜索ADS
 
19
答：。
 
科拉丹杰洛
,
答：B。
 
格里洛
,
美国。
 
杰弗里
、和
T。
 
维迪克
, “
无约束验证：利用拟线性资源进行可验证委托量子计算的新方案
，“in
密码技术理论与应用年度国际会议
(
施普林格
,
2019
)，第页。
247
–
277
.
谷歌学者
交叉参考
搜索ADS
 
20
答：。
 
科拉丹杰洛
和
J。
 
完全的
, “
线性约束系统对策的鲁棒自测试
,”arXiv公司：1709.09267(
2017
).
谷歌学者
 
21
L。
 
曼金斯卡
, “
伪电信对策中的最大纠缠态
，“in
使用新资源进行计算
(
施普林格
,
2014
)，第页。
200
–
207
.
谷歌学者
交叉参考
搜索ADS
 
22

事实上，对于这个游戏，c（c）是中唯一的逆多项式米，考虑到κ.

©2022作者。根据AIP Publishing的独家许可发布。
2022
作者