A comparison of frequency downshift models of wave trains on deep water

Carter, John D.; Henderson, Diane; Butterfield, Isabelle

doi:10.1063/1.5063016

当频率的测量值（通常是频谱峰值或频谱平均值）随着波浪的演变而降低时，深水波浪序列中的频率降频（FD）就会发生。许多FD模型依赖于风或波浪破碎。我们考虑了七个不包括这些影响的模型，并将它们的预测与四组也不包括这些效应的实验进行了比较。这些模型是：（i）非线性薛定谔方程（NLS），（ii）耗散NLS方程（dNLS）、（iii）Dysthe方程、（iv）粘性Dysthe-方程（vDystthe）、（v）Gordon方程（Gordon），它具有自由参数，（vi）Islas-Schober方程（IS），它有一个自由参数，以及（vii）一个新模型，耗散Gramstad-Trulsen（dGT）等式。dGT方程没有自由参数，解决了与vDythe方程相关的一些困难。我们比较了总体误差的测量值以及谱振幅、平均值和峰值的演变。我们发现：（i）NLS和Dythe方程不能准确预测谱振幅。（ii）Gordon方程是一个成功的光学FD模型，无论自由参数的选择如何，它都不能准确地模拟水波中的FD。（iii）dNLS、vDysthe、dGT和IS（具有优化的自由参数）模型能够合理地预测测量的光谱振幅，但没有一个模型能够捕获所有光谱演变。（iv）vDysthe、dGT和IS模型最准确地预测了光谱峰值和光谱平均值的观测演变。（v） IS和vDys模型的总体误差最小。

I.简介

在一系列经典实验中，莱克等。¹⁶还有湖和苑¹⁵研究了深水上波列的演变。窄水槽一端的桨产生了一个具有特定频率的近二维、近单色的波列。当波浪列车沿着坦克行进时，由于Benjamin Feir不稳定性的增长，它受到了调制。再往下看，波列又回到了近乎单色的形态；然而，主频低于桨叶产生的频率。波列中向较低频率的偏移称为频率降档（FD）。后续实验，包括Su中的实验等。²⁴和梅尔维尔，²⁰结果表明，下边带的振幅增大，最终超过了载波的振幅。2005年，Segur等。²²进行了类似的实验，发现FD提供了一种方法，可以区分未观察到FD的“小或中等”振幅的波和观察到FD的“大”振幅波。特别是，他们成功地使用了具有线性阻尼的非线性薛定谔方程来描述小振幅或中等振幅的波浪。由于该方程不考虑FD，他们认为显示FD的波具有较大的振幅。

已经提出了许多FD的数学解释。包括Trulsen和Dysthe在内的大多数，²⁶哈拉和梅，⁹加藤和小川，¹³Islas和Schober，¹¹布鲁内蒂和卡斯帕里安，²和布鲁内蒂等。,^三依赖风力和/或波浪破碎作为FD的机制。因为在西格尔的实验中没有风也没有波浪破碎等。,²²FD必须有另一种机制。对频率降频及其背后的机制有一个清晰的了解，将有助于更好地理解涌浪的演变以及波浪能量是如何在海洋中传输的。在本文中，我们利用数值和实验探索了在没有风和/或波浪破碎的情况下，FD的可能数学模型/机制。

通常用于量化FD的三个量是线性动量，

对 (χ) = \frac{我}{2 L（左）} \int_{0}^{L（左）} () B类 {B类}_{ξ}^{*} - {B类}_{ξ} {B类}^{*})) d日 ξ,

（1）

光谱峰值，ω_第页和光谱平均值，ω_米.在这里B类是对缓慢演变的、近乎单色的平面波列的复杂包络的无量纲测量，χ是储罐下方的无量纲距离，ξ是无量纲时间，以及L（左）是无量纲的ξ-的期间B类（在本文中，所有维度变量都有超标号。例如， $\bar{x个}$ 是尺寸水平坐标。）谱峰是与幅度最大的傅里叶模式相对应的频率。光谱平均值由比率定义

ω_{米} = \frac{对}{M（M）},

(2)

哪里

M（M） (χ) = \frac{1}{L（左）} \int_{0}^{L（左）} | B类 |^{2} d日 ξ .

(3)

文献中没有一个公认的FD定义。一些作者将FD定义为ω_米，一些人将FD定义为ω_第页，而其他人则将其定义为 $对$ ⁠为了减少混淆，我们使用了FD的两个定义。我们声明，在光谱平均意义上，如果ω_米如果ω_第页减少。例如，Lake和Yuen¹⁵观察到ω_第页但他们没有测量ω_米.西格尔等。²²观察到ω_第页和ω_米一起减少。

本文的重点是比较四个实验中的波浪测量值与文献中七个数学模型的预测值。其中一个实验显示频率降低，而其他三个没有。模型包括经典的三次非线性薛定谔方程^25,30（NLS），Dythe方程⁶（Dythe），耗散NLS方程^5,22（dNLS），粘性Dythe方程⁴（vDythe），Islas-Schober方程¹¹（IS），戈登方程⁷（Gordon）和本文提出的一个新模型，我们称之为耗散Gramstad-Trulsen方程（dGT），它是Gramstat-Trulsen导出的模型的耗散推广。⁸我们将重点放在频谱平均值和频谱峰值意义上的FD和频率升档（FU）。我们表明，保守模型NLS和Dysthe不能准确预测测量的谱振幅。我们表明，Gordon模型不能在水波实验中准确地模拟FD，因为它不能准确地模拟 $对$ ⁠，无论自由参数的选择如何。我们表明，dNLS、vDysthe、dGT（没有一个具有自由参数）和IS（适当选择其自由参数）在预测光谱峰值和平均值的演变方面做得最好。事实上，通过最佳（定义如下）参数选择，IS通常可以提供最准确的FD模型。

本文的其余部分组织如下。章节二介绍了模型方程及其性质。章节三包含对实验设备和程序的描述。章节四、包含实验和预测之间的比较结果。最后，第。V（V）包含一个摘要和一些可能的未来工作列表。

二、。模型方程

吴等。²⁸提出了无限深弱耗散二维流体的下列系统

{\bar{ϕ}}_{\bar{x个} \bar{x个}} + {\bar{ϕ}}_{\bar{z（z）} \bar{z（z）}} = 0, 对于 - \infty < \bar{z（z）} < \bar{η},

（4a）

{\bar{ϕ}}_{\bar{t吨}} + \frac{1}{2} () {\bar{ϕ}}_{\bar{x个}}^{2} + {\bar{ϕ}}_{\bar{z（z）}}^{2})) + \bar{克} \bar{η} = - \bar{α} {\bar{ϕ}}_{\bar{z（z）} \bar{z（z）}}, 在 \bar{z（z）} = \bar{η},

（4b）

{\bar{ϕ}}_{\bar{z（z）}} = {\bar{η}}_{\bar{t吨}} + {\bar{η}}_{\bar{x个}} {\bar{ϕ}}_{\bar{x个}}, 在 \bar{z（z）} = \bar{η},

（4c）

| Ş \bar{ϕ} | \to 0, 作为 \bar{z（z）} \to - \infty .

（4天）

在这里 $\bar{ϕ} = \bar{ϕ} (\bar{x个}, \bar{z（z）}, \bar{t吨})$ 表示流体的速度势， $\bar{η} = \bar{η} (\bar{x个}, \bar{t吨})$ 表示自由表面位移， $\bar{x个}$ 是水平坐标， $\bar{z（z）}$ 是垂直坐标， $\bar{t吨}$ 是时间坐标， $\bar{克}$ 表示重力引起的加速度，以及 $\bar{α} > 0$ 是一个常数，因此 $\bar{α} {\bar{ϕ}}_{\bar{z（z）} \bar{z（z）}}$ 表示来自所有来源的耗散。通过设置 $\bar{α} = 0$ ⁠我们注意到Dias等。⁵派生出的版本(4)其中包括方程式中的附加（粘性/耗散）项。（4c）从弱粘性（线性）系统开始。然而，该系统不保持质量。

吴等。²⁸数值积分(4)并与Segur的实验结果进行了比较等。²²吴等。²⁸使用实验测量的阻尼率 $\bar{α}$ 这是从 $M（M）$ ⁠.他们相应的预测来自(4)对于 $对$ 频谱三个频率分量的傅里叶振幅与测量值吻合良好。

本文所考虑的FD的四个模型可以从(4)当 $\bar{α} = 0$ ⁠、dNLS和vDythe可以在以下情况下导出 $\bar{α} > 0$ ⁠这些推导如下所示。其中两个模型IS和Gordon也遵循推导（ $\bar{α} = 0$ ⁠)但添加了额外的特殊术语，并提供了免费参数。最后一个模型dGT由Gramstad-Trulsen方程（GT）获得⁸通过添加三个允许耗散的特殊项（但没有自由参数）。GT方程可由4具有 $\bar{α} = 0$ ⁠。下面将详细讨论所有这些模型。

A.渐近模型

为了模拟慢调制波列的演变，假设

\begin{align} \bar{η} (\bar{x个}, \bar{t吨}, \bar{X（X）}, \bar{T型}) & = ϵ^{三} \bar{H（H）} (\bar{X（X）}, \bar{T型}) + ϵ \bar{B类} (\bar{X（X）}, \bar{T型}) {e（电子）}^{我 {\bar{ω}}_{0} \bar{t吨} - 我 {\bar{k个}}_{0} \bar{x个}} \\ + ϵ^{2} {\bar{B类}}_{2} (\bar{X（X）}, \bar{T型}) {e（电子）}^{2 (我 {\bar{ω}}_{0} \bar{t吨} - 我 {\bar{k个}}_{0} \bar{x个})} + \dots + c（c） . c（c） ., \end{align}

（5a）

\begin{align} \bar{ϕ} (\bar{x个}, \bar{z（z）}, \bar{t吨}, \bar{X（X）}, \bar{Z轴}, \bar{T型}) & = ϵ^{2} \bar{Φ} (\bar{X（X）}, \bar{Z轴}, \bar{T型}) + ϵ Ā_{1} (\bar{X（X）}, \bar{Z轴}, \bar{T型}) {e（电子）}^{{\bar{k个}}_{0} \bar{z（z）} + 我 {\bar{ω}}_{0} \bar{t吨} - 我 {\bar{k个}}_{0} \bar{x个}} \\ + ϵ^{2} Ā_{2} (\bar{X（X）}, \bar{Z轴}, \bar{T型}) {e（电子）}^{2 ({\bar{k个}}_{0} \bar{z（z）} + 我 {\bar{ω}}_{0} \bar{t吨} - 我 {\bar{k个}}_{0} \bar{x个})} + \dots + c（c） . c（c） ., \end{align}

（5b）

哪里 ${\bar{ω}}_{0} \in R（右）$ 和 ${\bar{k个}}_{0} > 0$ 分别表示载波频率和波数的常数， $ϵ = 2 ā_{0} {\bar{k个}}_{0} ≪ 1$ 是无量纲波陡度，ā₀代表典型的波幅，以及c（c）.c（c）.表示复共轭。缓慢的维度变量定义为 $\bar{X（X）} = ϵ \bar{x个}$ ⁠, $\bar{Z轴} = ϵ \bar{z（z）}$ ⁠、和 $\bar{T型} = ϵ \bar{t吨}$ ⁠。我们假设通过设置，耗散效应很小 $\bar{α} = ϵ^{2} \tilde{α}$ ⁠注意，等式中指数的符号。(5)与文献中通常使用的选择不同。这样做是为了使实验频率的降低对应于等式中频率的降低。(4)–(5)以及在下面介绍的渐近模型中。最后，为了与我们的单向实验进行比较，我们只考虑向右传播的波，因此需要 ${\bar{ω}}_{0} > 0$ ⁠.

替换公式。(5)到等式。(4)给出了深水线性色散关系

{\bar{ω}}_{0}^{2} = \bar{克} {\bar{k个}}_{0}

(6)

处于领先地位。接下来，进行无量纲化和变换，以进入一个以线性群速度移动的坐标系， $\frac{{\bar{ω}}_{0}}{2 {\bar{k个}}_{0}}$ ⁠，通过引入变量的变化

ξ = {\bar{ω}}_{0} \bar{T型} - 2 {\bar{k个}}_{0} \bar{X（X）},

（7a）

χ = ϵ {\bar{k个}}_{0} \bar{X（X）},

（7b）

{\bar{k个}}_{0} \bar{B类} (\bar{X（X）}, \bar{T型}) = B类 (ξ, χ),

（7c）

\frac{{\bar{k个}}_{0}^{2}}{{\bar{ω}}_{0}} \tilde{α} = δ,

（7天）

哪里ξ是无量纲时间，χ是储罐下方的无量纲距离，B类是包络的无量纲复振幅，以及δ是无量纲耗散参数。vDythe方程，

\begin{align} 我 {B类}_{χ} + {B类}_{ξ ξ} + 4 | B类 |^{2} B类 + 我 δ B类 \\ + ϵ () - 8 我 {B类}^{2} {B类}_{ξ}^{*} - 32 我 | B类 |^{2} {B类}_{ξ} - 8 () H（H） () | B类 |^{2})) {))}_{ξ} B类 + 5 δ {B类}_{ξ})) = 0, \end{align}

（8）

出现时为可解条件 $O（运行） (ϵ^{4})$ ⁠.给， $H（H）$ 希尔伯特变换定义为

H（H） () （f） (ξ))) = \sum_{k个 = - \infty}^{\infty} - 我 秒 克 n个 (k个) \hat{（f）} (k个) {e（电子）}^{2 π 我 k个 ξ / L（左）},

(9)

和函数的傅里叶变换（f）(x个)由定义

\hat{（f）} (k个) = \frac{1}{L（左）} \int_{0}^{L（左）} （f） (ξ) {e（电子）}^{- 2 π 我 k个 ξ / L（左）} d日 ξ,

（10）

哪里L（左）是ξ-实验时间序列的周期。卡特和戈万⁴结果表明，vDythe方程准确地模拟了观察到频率降低的实验和未观察到频率下降的实验的数据。金蒙等。¹⁴表明vDythe方程准确地模拟了在更大的实验箱中进行的实验的数据。

什么时候？δ=ϵ=0，粘性Dythe方程简化为NLS方程，

我 {B类}_{χ} + {B类}_{ξ ξ} + 4 | B类 |^{2} B类 = 0 .

(11)

NLS方程最初是由Zakharov作为水波模型导出的。³⁰它已经被很好地研究过了；例如，参见Ablowitz和Segur¹以及苏伦和苏伦。²⁵

什么时候？ϵ=0，vDythe方程简化为dNLS方程，

我 {B类}_{χ} + {B类}_{ξ ξ} + 4 | B类 |^{2} B类 + 我 δ B类 = 0 .

(12)

该方程与未发生FD的实验进行了比较；例如，请参见Segur等。²²和Wu等。²⁸

什么时候？δ=0，vDythe方程简化为Dythes⁶方程，也称为修改的NLS方程，

\begin{align} 我 {B类}_{χ} + {B类}_{ξ ξ} + 4 | B类 |^{2} B类 \\ + ϵ () - 8 我 {B类}^{2} {B类}_{ξ}^{*} - 32 我 | B类 |^{2} {B类}_{ξ} - 8 () H（H） () | B类 |^{2})) {))}_{ξ} B类)) = 0 . \end{align}

(13)

罗和梅¹⁸将数值模拟与实验测量进行了比较，结果表明，Dythe方程比NLS方程更准确地预测了波列的演化。

2011年，Gramstad和Trulsen⁸导出了一个哈密顿四阶NLS型方程（换句话说，Dythe方程的哈密顿版本）。Islas和Schober¹¹提出了该方程的以下耗散推广

\begin{align} 我 {B类}_{χ} + {B类}_{ξ ξ} + 4 | B类 |^{2} B类 + 我 δ B类 \\ + ϵ () - 32 我 | B类 |^{2} {B类}_{ξ} + (- 8 + 我 β_{1}) () H（H） () | B类 |^{2})) {))}_{ξ} B类)) = 0, \end{align}

(14)

哪里β₁是一个任意常数。我们将此方程称为IS方程。常量β₁必须为正值，才能使该项表示额外的耗散效应（参见公式。（19a）].

我们提出了Gramstad和Trulsen方程的不同推广

\begin{align} 我 {B类}_{χ} + {B类}_{ξ ξ} + 4 | B类 |^{2} B类 + 我 δ B类 \\ + ϵ () - 32 我 | B类 |^{2} {B类}_{ξ} - 8 () H（H） () | B类 |^{2})) {))}_{ξ} B类 + 5 δ {B类}_{ξ})) \\ - 10 我 ϵ^{2} δ {B类}_{ξ ξ} = 0, \end{align}

(15)

作为深水波列演化的模型。这三个术语包括δ将vDythe方程的推导提高一个阶。我们将这个方程称为耗散Gramstad-Trulsen（dGT）方程。该方程避免了Dythe和vDythes方程以及IS的自由参数所表现出的一些困难。II B类.

在光纤中的电磁波实验中也观察到了频率下降。²¹戈登⁷通过包括拉曼效应，导出了载波慢变包络复振幅的近似演化方程

我 {B类}_{χ} + {B类}_{ξ ξ} + 4 | B类 |^{2} B类 + ϵ β_{2} () | B类 |^{2} {))}_{ξ} B类 = 0,

(16)

哪里β₂>0是水波设置中的任意常数。我们把这个方程称为戈登方程。虽然光纤中的电磁波和表面水波在物理上有很大不同，但两者都可以使用NLS型方程进行精确建模。比较是合理的(16)使用数据来确定β₂存在于水波中。因此，我们在水波中FD的研究中包含了FD的光学模型。（然而，在第。四、，我们证明在我们的水波实验中不存在这样的常数。）

B.模型属性

在这里，我们分析模型以确定（如果可能的话）其解是否在谱平均意义上表现出FD，以及其解是否保持不变 $M（M）$ 和/或 $对$ ⁠.

1.预测的演变ω_米, $M（M）$ ⁠、和 $对$

深水、NLS、Dythe和GT上波列演化的保守（非耗散）渐近模型是从欧拉方程导出的，(4)具有 $\bar{α} = 0$ ⁠.Euler方程保留 $M（M）$ ⁠, $对$ ⁠、和ω_米.FD是一种破坏系统这种结构的现象。特别是，FD需要至少两个 $M（M）$ ⁠, $对$ ⁠、和ω_米不被保守。下面，我们考虑如何 $M（M）$ ⁠, $对$ ⁠、和ω_米根据各种近似模型进行演化。根据这些结果，我们确定每个模型是否在谱平均意义上预测FD。在谱峰意义下，获得FD的解析结果比较困难。然而，西格尔等。²²注意到在他们的实验中，光谱峰值意义上的FD总是伴随着 $对$ ⁠因此，我们对FD在光谱峰值意义上的结论是基于 $对$ ⁠这些结论与第。四、我们还注意到，在实验中，存在阻尼，这会导致两者几乎呈指数衰减 $M（M）$ 和 $对$ ⁠因此，我们寻求一个模型来预测这种衰变以及演化过程中显示的FD $对$ ⁠vDythe方程，（8）IS方程，(14)和dGT方程，(15)，拥有所有这些成分。

vDythe方程不保留 $M（M）$ ⁠, $对$ ⁠，或ω_米在里面χ（储罐下方的无量纲距离）。这个χ这些量的依赖关系由下式给出

\frac{d日 M（M）}{d日 χ} = - 2 δ M（M） - 10 ϵ δ 对,

（17a）

\frac{d日 对}{d日 χ} = - 2 δ 对 - 10 ϵ δ 问 - 16 ϵ R（右）,

（17亿）

\frac{d日 ω_{米}}{d日 χ} = \frac{d日}{d日 χ} () \frac{对}{M（M）})) = - \frac{10 ϵ δ}{{M（M）}^{2}} () M（M） 问 - 对^{2})) - 16 ϵ \frac{R（右）}{M（M）},

（17美分）

哪里

问 = \frac{1}{L（左）} \int_{0}^{L（左）} | {B类}_{ξ} |^{2} d日 ξ,

（18年）

R（右） = 我 米 () \frac{1}{L（左）} \int_{0}^{L（左）} | B类 |^{2} {B类}_{ξ ξ} {B类}^{*} d日 ξ)) .

（18亿）

方程式（17a）确立领导命令， $M（M）$ 指数衰减χ。这允许δ根据经验确定（见第。三). 方程式（17a）还确定了 $M（M）$ 当 $对 > 0$ 当 $对 < 0$ ⁠这表明人们倾向于使用负波数的波（即。， $对 < 0$ ⁠). 等式右侧的第一项。（17亿）确立领导命令， $对$ 指数衰减χ。第二个术语提供了光谱峰值意义上的降档偏好，因为 $问$ 对所有人都是积极的B类在中不是恒定的ξ.本术语与以下术语相竞争： $R（右）$ ⁠，这可能会增强降档或导致升档，因为其符号是不确定的。在（17美分），右侧的第一项在谱平均意义上提供了降档（过升档）的偏好，因为Cauchy-Schwarz不等式建立了 $(M（M）问 - 对) \geq 0$ ⁠再次 $R（右）$ 节气门可能会增强降档或导致升档。我们注意到，马等。¹⁹在他们的一些实验中，观察到了光谱峰值意义上的升档，因此一个好的降档模型应该考虑到在光谱峰值和光谱平均值上同时升档和降档的可能性。

设置δ=ϵ=等式中的0。(17)表明NLS方程保持 $M（M）$ ⁠, $对$ ⁠、和ω_米因此，NLS无法在谱平均意义上模拟频率降频。设置ϵ=方程式中的0。(17)确定尽管dNLS方程不保留 $M（M）$ 也不是 $对$ ⁠，它可以保存ω_米因此，也不能在光谱平均意义上对FD建模。设置δ=方程式中的0。(17)，但允许ϵ>0，从（无粘）Dythe方程恢复结果。方程式（17美分）表明（无粘）Dythe模型预测了光谱平均意义上的升档或降档。通常（但并非总是）会观察到降档的效果。然而，我们注意到，（无粘）Dysthe模型预测 $M（M）$ 为常数，这与实验观察不一致。它也没有捕捉到 $对$ 在小振幅实验中观察到。

IS方程不保留 $M（M）$ ⁠, $对$ ⁠，或ω_米. Theχ这些量的依赖关系由下式给出

\frac{d日 M（M）}{d日 χ} = - 2 δ M（M） - \frac{2 ϵ β_{1}}{L（左）} \int_{0}^{L（左）} | B类 |^{2} () H（H） () | B类 |^{2})) {))}_{ξ} d日 ξ,

（19a）

\frac{d日 对}{d日 χ} = - 2 δ 对 - - \frac{我 ϵ β_{1}}{L（左）} \int_{0}^{L（左）} () B类 {B类}_{ξ}^{*} - {B类}_{ξ} {B类}^{*})) () H（H） () | B类 |^{2})) {))}_{ξ} d日 ξ,

（19b）

\begin{align} \frac{d日 ω_{米}}{d日 χ} & = - \frac{2 ϵ β_{1}}{{M（M）}^{2}} () \frac{我 M（M）}{2 L（左）} \int_{0}^{L（左）} () B类 {B类}_{ξ}^{*} - {B类}_{ξ} {B类}^{*})) () H（H） () | B类 |^{2})) {))}_{ξ} d日 ξ \\ - \frac{对}{L（左）} \int_{0}^{L（左）} | B类 |^{2} () H（H） () | B类 |^{2})) {))}_{ξ} d日 ξ)) . \end{align}

（19c）

自β₁是一个任意常数，is模型同时考虑FD和FU。

戈登方程保持不变 $M（M）$ ⁠，但两者都不是 $对$ 也不是ω_米. Theχ这些量的依赖关系由下式给出

\frac{d日 对}{d日 χ} = - ϵ β_{2} S公司,

（20年）

\frac{d日 ω_{米}}{d日 χ} = - ϵ β_{2} \frac{S公司}{M（M）},

（20亿）

哪里

S公司 = \frac{1}{L（左）} \int_{0}^{L（左）} () () | B类 |^{2} {))}_{ξ} {))}^{2} d日 ξ .

(21)

方程式（20亿）建立了戈登方程β₂>0，预测所有人在光谱平均意义上的FDB类除了那些具有恒定模量的ξ.

dGT方程不保留 $M（M）$ ⁠, $对$ ⁠，或ω_米. Theχ这些量的依赖关系由下式给出

\frac{d日 M（M）}{d日 χ} = - 2 δ M（M） - 10 ϵ δ 对 - 20 ϵ^{2} δ 问,

（22年a）

\frac{d日 对}{d日 χ} = - 2 δ 对 - 10 ϵ δ 问 - 20 ϵ^{2} δ T型,

（22亿）

\frac{d日 ω_{米}}{d日 χ} = \frac{- 10 ϵ δ () M（M） 问 - 对^{2})) - 20 ϵ^{2} δ () M（M） T型 - 问 对))}{{M（M）}^{2}},

（22美分）

哪里

T型 = 我 米 () \frac{1}{L（左）} \int_{0}^{L（左）} {B类}_{ξ ξ} {B类}_{ξ}^{*} d日 ξ)) .

(23)

自 $M（M） \geq 0$ 和 $问 \geq 0$ ⁠，等式。（22年a）确定 $M（M）$ 当 $对 > 0$ ⁠这表明人们更喜欢波数为负的波。Cauchy-Schwarz不等式确定了 $(M（M）问 - 对^{2}) \geq 0$ ⁠Cauchy-Schwarz不等式还证明，如果 $对 > 0$ ⁠，然后 $(M（M） T型 - 问对) \geq 0$ 或者如果 $对 < 0$ ⁠，然后 $(M（M） T型 - 问对) \leq 0$ ⁠因此，公式。（22美分）确定在dGT方程下，谱平均值不会增加，只要 $O（运行） (ϵ^{2})$ 术语小于 $O（运行） (ϵ)$ 然而，我们在下面展示了（参见第。四、)在本文的一个实验（实验D）中，观察到光谱平均值增加。

dGT方程的另一个重要性质是，线性化dGT方程式的所有解在χ如果δ> 0. 线性化的vDythe方程不具有此特性。波数小于的线性化vDythe方程的解 $- \frac{1}{5 ϵ}$ 指数增长χ什么时候δ> 0. 此范围内的波数超出了方程有效的窄带范围；然而，这是该模型的一个局限性。

2.模型属性讨论

本文所考虑的模型是NLS的推广，其中包含附加的非线性宽带和耗散项。我们正在寻求两件事。一是确定通常会导致频率降低/升高的影响。另一个是找到与实验测量相符的机制。

为了在一般情况下降档/升档，必须打破NLS固有的对称性。Dysthe模型打破了这种对称性，因为存在一个带有单个非线性项的非线性项ξ导数。该项对频率降/升频的影响取决于初始条件，其他研究表明，它可以预测临时FD和临时FU。然而，从Dythe方程得到的预测与实验不一致，因为它不包括阻尼。

另一种破坏对称性并产生向下/向上位移的机制是非线性粘性效应，例如Islas和Schober考虑的附加项。¹¹目前尚不清楚这些术语是如何从物理系统中产生的。无论如何，这种方法是令人鼓舞的，因为我们能够为大多数实验找到一个自由参数，使得模型与实验相当吻合。人们可以推测（或至少希望如此），如果从具有粘性边界条件的完整Navier-Stokes方程导出一个高阶类NLS方程，就会导出这个项。

vDythe方程通过包含一个由线性耗散引起的项来打破对称性，该项包括单个ξ导数。这个模型也令人鼓舞，因为它符合大多数实验。

这三种效应似乎都很重要：宽带、非线性和粘度，因为它们相互作用。宽带和非线性可以相互对抗-宽带趋于稳定，而非线性趋于不稳定（如BFI所示）。为了使粘性效应对降档非常重要，必须有一定的非线性阈值。

三、实验仪器和结果

为了测试模型的准确性，我们比较了傅里叶振幅的预测 $M（M）$ ⁠, $对$ ⁠,ω_第页、和ω_米，根据模型，利用文献中已有的数据和两个新的实验。实验A和实验B在Segur进行等。²²并在卡特和戈文案中被重新考虑。⁴实验C和D是新的。所有四个实验都是在宾夕法尼亚州立大学数学系的威廉·G·普里查德流体力学实验室进行的。Segur中描述了实验A和B的程序等。²²实验C和D的程序非常相似，尽管所涉及的设备不同。用于A和B的波道长43英尺。用于C和D的波道长50英尺。两个通道都有玻璃底部和侧壁，宽10英寸。用酒精清洗罐壁；然后加水。通过撇去（A和B）或吹扫（C和D，楔形柱塞，跨越油箱宽度，使用反馈可编程控制垂直摆动。楔形闸板的横截面对于A和B是指数型的（下降与3.33 Hz波的速度场相对应），对于C和D是三角形的（斜率与A和B的桨叶指数的线性近似值相对应）。在实验A和实验B中，使用带有Delta Tau数据系统的永磁交流（PMAC）电机进行运动控制，楔子按照以下给出的时间序列振荡 ${\bar{η}}_{第页} (t吨) = ā_{（f）} 罪 ({\bar{ω}}_{0 （f）} t吨) () 1 + 第页罪 ({\bar{ω}}_{1 （f）} \bar{t吨})))$ ⁠，其中ā_（f）是载波的强迫振幅， ${\bar{ω}}_{0 （f）}$ 是载波频率，第页是扰动振幅与ā_（f）、和 ${\bar{ω}}_{1 （f）}$ 是扰动频率。实验C和D使用ARCS软件进行运动控制。对于C，楔形物按照以下给出的时间序列振荡 ${\bar{η}}_{第页} (t吨) = ā_{（f）} 罪 ({\bar{ω}}_{0 （f）} \bar{t吨}) () 1 - 第页余弦 ({\bar{ω}}_{1 （f）} \bar{t吨})))$ ⁠，对于实验D， ${\bar{η}}_{第页} (t吨) = ā_{（f）} 罪 ({\bar{ω}}_{0 （f）} \bar{t吨}) + ā_{（f）} 第页罪 () ({\bar{ω}}_{0 （f）} + {\bar{ω}}_{1 （f）}) \bar{t吨}))$ ⁠.实验D的强制不同，以便有目的地强制上边带而不是下边带。强迫振幅和频率如所示表一.

表一。

造波机参数：载波频率， ${\bar{ω}}_{0 （f）}$ ⁠; 调制频率， ${\bar{ω}}_{1 （f）}$ ⁠; 载波的强迫振幅， $ā$ _（f）; 调制的强迫振幅与载波的强迫振幅之比，第页在实验D中，只对上边带施加了力。

参数	实验A	实验B	实验C	实验D
${\bar{ω}}_{0 （f）} / (2 π)$ （赫兹）	3.33	3.33	3.33	3.33
${\bar{ω}}_{1 （f）} / (2 π)$ （赫兹）	0.17	0.17	0.11	0.11
ā_（f）（厘米）	0.25	0.25	0.50	0.50
第页	2014年	0.33	0.50	0.50

参数	实验A	实验B	实验C	实验D
${\bar{ω}}_{0 （f）} / (2 π)$ （赫兹）	3.33	3.33	3.33	3.33
${\bar{ω}}_{1 （f）} / (2 π)$ （赫兹）	0.17	0.17	0.11	0.11
ā_（f）（厘米）	0.25	0.25	0.50	0.50
第页	0.14	0.33	0.50	0.50

将信号导入LabVIEW的电容式波片用于测量某一点的表面位移时间序列。对于实验A和B，压力计是一种非侵入式电容式压力计，其跨度为水箱宽度的12.7 cm，沿波传播方向为6 mm。对于实验C和D，压力计是一个插入式玻璃管，外径1.6 mm，其中包含一个导体，并在水下端密封。四个实验中的每一个都由一组10-13个实验组成，测量仪位于x个_米= 128 + 50(米−1）用于米= 1, 2, …,M（M）距离造波机厘米。的值M（M）因为这四个实验都包含在表二，其中包含所有实验测量参数。通过对时间序列进行傅里叶变换，确定了载波及其边带的复振幅。然后将它们的震级与模型数值计算的预测进行比较，比较结果如所示图2,三,6、和7第。四、将其震级与模型数值计算的预测进行比较。我们注意到，需要测量的振幅和相位来初始化这些比较的数值计算。的积分 $M（M）$ 和 $对$ 使用Parseval定理、在每个测量位置测得的傅里叶系数以及 $对$ 对应于乘以相应的差频。

表二。

四个实验中每一个的实验测量参数。

参数	实验A	实验B	实验C	实验D
M（M）	12	11	2013年	13
${\bar{k个}}_{0}$ （厘米⁻¹)	0.4478	0.4470	0.4472	0.4472
ϵ	9.677 × 10⁻²	9.388 × 10⁻²	6.366 × 10⁻²	6.878 × 10⁻²
δ	0.2640	0.3223	0.5021	0.8129
N个	41	39	50	45
${\bar{t吨}}_{（f）}$ （秒）	24.28	23.40	30时	27.00
BFI公司	3.919	3.661	4.244	4.127

参数	实验A	实验B	实验C	实验D
M（M）	12	11	13	13
${\bar{k个}}_{0}$ （厘米⁻¹)	0.4478	0.4470	0.4472	0.4472
ϵ	9.677 × 10⁻²	9.388×10⁻²	6.366 × 10⁻²	6.878 × 10⁻²
δ	0.2640	0.3223	0.5021	0.8129
N个	41	39	50	45
${\bar{t吨}}_{（f）}$ （秒）	24.28	23.40	30.00	27.00
BFI公司	3.919	3.661	4.244	4.127

图1包含固定距离的表面位移（单位：cm）图(x个+128 cm）作为实验B的时间（单位：秒）和相应的傅里叶幅值（单位：cm）与频率（单位：赫兹）的函数。其他实验的曲线类似。实验B的曲线图表明，在光谱峰值意义下，FD发生在x个=350和x个=450，因为这些仪表之间的频谱峰值从3.33 Hz（载波）降至3.16 Hz（第一个下边带）。

图1。

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实验B的其他量规绘图。第一列包含表面位移（单位：cm）与时间（单位：sec）的绘图。第二列包含相应傅里叶系数（单位：cm）与频率（单位：Hz）的幅值图。

图2–8显示了模型的实验（和数值模拟）结果。在本节的其余部分中，我们将讨论实验结果。将模型的数值结果与Sec中的实验结果进行了比较。四、.

图2。

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载波无量纲振幅图， $|$ 一₀ $|$ ⁠和三个能量最强的边带对， $|$ 一_±j个 $|$ ⁠，与储罐下方的无量纲距离相比，χ对于实验C，大点对应于实验测量值，虚线对应于dNLS，实线对应于vDysthe，虚线-点曲线对应于优化IS，虚线曲线对应于dGT。

图3。

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载波无量纲振幅图， $|$ 一₀ $|$ ⁠和三个能量最强的边带对， $|$ 一_±j个 $|$ ⁠，与向下的无量纲距离相比，χ，试验箱D。大圆点对应于试验测量值，虚线对应于dNLS，实线对应于vDythe，虚线-点曲线对应于优化IS，虚线曲线对应于dGT。

图4。

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无量纲质量图， $M（M）$ ⁠，与储罐下方的无量纲距离相比，χ，用于四个实验。这些点对应于实验测量值，曲线是最适合的指数。

图5：。

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无量纲线性动量图， $对$ ⁠，与储罐下方的无量纲距离相比，χ，用于四个实验。水平线对应于 $对 = 0$ ⁠.

图6。

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光谱峰值图，ω_第页，相对于储罐下方的无量纲距离，χ。这些列显示了四个实验的结果。这些行对应于NLS、Dythe、dNLS、vDythes、IS的结果^*和dGT。点对应于实验测量，线对应于模型预测。

图7。

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光谱平均值图，ω_米，与储罐下方的无量纲距离相比，χ列显示了四个实验的结果。这些行对应于NLS、Dythe、dNLS、vDythes、IS的结果^*和dGT。点对应于实验测量，曲线对应于模型预测。

图8。

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第一列包含线性动量图， $对$ ⁠，与储罐下方的无量纲距离相比，χ，针对每个实验。点对应于实验测量值，曲线是最佳的二次拟合。第二列包含实验测定的 $S公司$ ⁠，请参阅(21)、和 $\frac{d日对}{d日 χ}$ 使用第一列中显示的二次拟合进行估计。

图2和三包含载波的（无量纲）振幅图和振幅最大的六个边带与（无量子化）χ分别用于实验C和D。Carter和Govan中找到了实验A和实验B的对应曲线图，⁴尽管它们是以维度形式呈现的。在所有四个实验中，由于边带和损耗的增长，载波的振幅急剧下降。根据设计，在实验D中，第一个上边带， $|$ 一₁ $|$ ⁠开始时的能量几乎是第一个较低边带的两倍， $|$ 一₋₁ $|$ ⁠在实验C和D中，第一上边带的幅度显著减小，而第一下边带的幅值略有增加。请注意，实验D中的第三个下边带的幅度小于实验误差（波长计测量的幅度低至0.005厘米）。曲线对应于从模型中获得的预测，并在第。四、.

本杰明·费尔指数（BFI），定义为

BFI公司 = \frac{2 ϵ}{Δ \bar{ω} / {\bar{ω}}_{0}},

(24)

是非线性对光谱带宽的相对度量。如果BFI>1，则波列相对于Benjamin-Feir不稳定性不稳定。见詹森¹²和Serio等。²³有关Benjamin-Feir指数的更多详细信息。本文研究的四个实验的BFI值包括在表二。所有四个BFI值均大于1，因此预计Benjamin-Feir不稳定性将在所有四个实验中发挥作用。

图4显示了如何（无量纲） $M（M）$ 演变为χ每次实验都会增加。图中显示 $M（M）$ 当波浪沿水槽向下传播时，几乎呈指数衰减，即几乎 $M（M） (χ) = M（M） (0) 经验 (- 2 δ χ)$ ⁠，用于所有四个实验。表二包含的最小平方最佳拟合值δ我们强调δ将所有耗散效应，无论其来源如何，组合成一个术语。数学模型以多种方式处理耗散。在他们的推导中，Dias等。⁵确定 $δ = \frac{4 {\bar{k个}}_{0}^{2} \bar{ν}}{ϵ^{2} {\bar{ω}}_{0}}$ 哪里 $\bar{ν} = 1.003 * 1 0^{- 1}$ 厘米²/s表示流体的运动速度。这个结果与经典的Lamb一致¹⁷清洁表面的结果。范多恩，²⁷表明由于沿侧壁的边界层引起的耗散由下式给出 $δ = \frac{1}{ϵ^{2} {\bar{ω}}_{0}} \sqrt{\frac{2 \bar{ν}}{{\bar{ω}}_{0}}}$ ⁠Lamb的不可展曲面模型¹⁷给予 $δ = \frac{{\bar{k个}}_{0}}{ϵ^{2}} \sqrt{\frac{\bar{ν}}{2 {\bar{ω}}_{0}}}$ ⁠.表III包括这些理论值与实验测量值的比较。理论值需要侧壁速率加上表面速率的总和。使用清洁表面值的这些总和也显示在表III。这些预测值与实验A和C的测量值合理一致。参见亨德森等。¹⁰以更详细地比较这些模型和其他水波中的耗散模型。

表III。

以下各项的实验和理论确定值δ，无量纲衰减率。

δ	实验A	实验B	实验C	实验D
实验	0.2640	0.3223	0.5021	0.8129
清洁表面	0.0410	0.0434	0.0945	0.0810
不可延伸的表面	0.7400	0.7849	1.7074	1.4626
侧壁	0.1854	0.1971	0.4285	0.3671
清洁表面和侧壁	0.2264	0.2405	0.5230	0.4481

δ	实验A	实验B	实验C	实验D
实验	0.2640	0.3223	0.5021	0.8129
清洁表面	0.0410	0.0434	0.0945	0.0810
不可延伸的表面	0.7400	0.7849	1.7074美元	1.4626
侧壁	0.1854	1971年10月	0.4285	0.3671
清洁表面和侧壁	0.2264	0.2405	0.5230	0.4481

图5显示了如何（无量纲） $对$ 演变为χ每次实验都会增加。在实验A中， $对$ 或多或少保持不变。在实验B中， $对$ 从正值减少到负值。在实验C中， $对$ 大约一半的进化过程中，符号发生变化，然后增加。在实验D中， $对$ 下降了一段时间，然后趋于平稳，最后一次上升。请注意图5包含未缩放的绘图 $对$ ⁠这不同于 $对 {e（电子）}^{2 δ χ}$ 包含在Segur中等。²²因此，如果耗散是唯一的因素，我们预计会看到 $对$ ⁠，但我们不希望看到 $对$ 更改标志。

图6包含的绘图ω_第页与χ每个实验。这些曲线来自各种模型，并在第2节中进行了讨论。四、这些曲线图表明，实验A在光谱峰值意义上没有显示FD，因为ω_第页在所有仪表上都是恒定的。实验B和D在光谱峰值意义上显示出暂时的FD，因为ω_第页下降，但并没有永久保持下降。然而，请注意，如果实验箱更长，该FD可能会成为永久性FD。实验C在光谱峰值意义上显示出永久FD，因为第一个下边带的幅度超过了载波的幅度，并且仍然占主导地位。

图7包含的绘图ω_米与χ曲线来自模型，并在第节中进行了讨论。四、.比较图6和7表明ω_第页和ω_米.实验A没有表现出光谱平均意义上的FD，因为ω_米在整个实验过程中基本保持不变。实验B显示了光谱平均意义上的FD，因为ω_米显著减少甚至改变符号。虽然很难解释最终的实验数据点，但实验C在光谱平均意义上表现出FD，因为ω_米减少并改变符号。在实验D中，ω_米开始时基本保持不变，然后在最后三个仪表中急剧增加。这意味着实验D在接近实验结束时，在光谱平均意义上显示出频率上移。

四、模型与实验结果的比较

所有模型方程均采用Yoshida引入的高阶算子分裂方法进行数值求解。²⁹使用快速傅里叶变换（FFT）在傅里叶空间中精确求解偏微分方程的线性部分，非线性部分要么在物理空间（NLS，dNLS）中精确求解，要么使用四阶龙格库塔（Dythe，vDythes，dGT，Gordon，and IS）伪谱求解。（无量纲）区间上的周期边界条件 $ξ \in [0, ϵ {\bar{ω}}_{0} {\bar{t吨}}_{（f）})$ ⁠，其中 ${\bar{t吨}}_{（f）}$ 是在第一个计量器处收集的时间序列的长度（以秒为单位）。初始条件是

B类 (ξ, χ = 0) = \frac{{\bar{k个}}_{0}}{ϵ} \sum_{米 = - M（M）}^{M（M）} ā_{米} 经验 () 我 米 \frac{2 π}{ϵ {\bar{ω}}_{0} {\bar{t吨}}_{（f）}} ξ)),

(25)

哪里ā_米是通过对由第一测量仪记录的时间序列进行FFT而确定的系数。只有2个N个+由于模型基于窄带宽假设，因此在初始条件下使用了1个最接近并包括载波的模式（即对应于1.667–5.000 Hz的模式）。请参见表二对于的值 ${\bar{t吨}}_{（f）}$ ⁠,N个以及每个实验的其他参数。

我们首先考虑戈登模型。首先，它可以保存 $M（M）$ 而所有四个实验都表明 $M（M）$ 几乎呈指数衰减。第二，第一列图8包含的绘图（无量纲） $对$ 与χ以及每个实验的最佳拟合二次函数。第二列包含实验计算的 $S公司$ [参见公式。（20亿）和(21)]超过估计值 $\frac{d日对}{d日 χ}$ 使用二次函数获得。方程式（20年）确定如果Gordon对降档的解释适用于水波，则该比率在χ由于曲线图表明，任何实验的比值都不是常数，我们得出的结论是，找不到常数β₂因此，等式。（20年）因此，光纤中FD的Gordon模型不适用于深水波浪中的FD。我们注意到，包括一个与iδB在戈登方程中不会有任何帮助，除了实验A，它的振幅很小，并且由于戈登项可以忽略不计，所以不会出现降档。在实验B和C中 $对$ -值会改变符号，这不能用整体指数衰减的模型来解释。在实验D中，预测 $对$ -值改变了符号，而测量值没有改变。

为了定量比较偏微分方程（PDE）预测与实验时间序列，我们使用以下（无量纲）误差范数

E类 = \frac{1}{M（M） - 1} \sum_{米 = 2}^{M（M）} \sum_{n个 = - 12}^{12} |) \frac{{\bar{k个}}_{0}}{ϵ} |) ā_{n个}^{出口} (米) |) - |) 一_{n个}^{产品开发工程师} (米) |) {|)}^{2},

(26)

哪里 $一_{n个}^{出口} (米)$ 和 $一_{n个}^{产品开发工程师} (米)$ 表示实验测量和数值预测（使用模型PDE）的傅里叶系数n个第个模式米第个量规。由于第一个量规处的时间序列用于定义PDE的初始条件，因此实验值和数值之间的差值为零，因此不需要包含在总和中。本质上，这个规范是L（左）₂最接近并包括跨M（M）−1个下游压力表。这25个傅里叶模式包括图2和三.表四包含 $E类$ 使用上述模型的每个实验的值。

表IV。

使用公式中定义的误差范数进行实验测量和数值预测之间的比较。(26)为IS列出的错误^*模型是通过最小化发现的最小错误(26)结束β₁.的最佳值β₁包含在表五.

模型	实验A	实验B	实验C	实验D
荷兰统计局	4.05 × 10⁻²	8.83 × 10⁻²	6.05×10⁻²	8.59 × 10⁻³
dNLS公司	1.19 × 10⁻³	3.47×10⁻²	1.02 × 10⁻²	5.12 × 10⁻³
迪塞	3.44 × 10⁻²	8.41 × 10⁻²	4.01 × 10⁻²	7.79 × 10⁻²
vDythe公司	6.43 × 10⁻⁴	2.33 × 10⁻²	8.73 × 10⁻³	5.39 × 10⁻³
分布式燃气轮机	7.29 × 10⁻⁴	2.19 × 10⁻²	7.78 × 10⁻³	5.54×10⁻³
是^*	6.75 × 10⁻⁴	6.14 × 10⁻³	7.72 × 10⁻³	4.45 × 10⁻³

模型	实验A	实验B	实验C	实验D
荷兰统计局	4.05 × 10⁻²	8.83 × 10⁻²	6.05 × 10⁻²	8.59 × 10⁻³
dNLS公司	1.19 × 10⁻³	3.47 × 10⁻²	1.02×10⁻²	5.12 × 10⁻³
迪塞	3.44 × 10⁻²	8.41×10⁻²	4.01 × 10⁻²	7.79 × 10⁻²
vDythe公司	6.43 × 10⁻⁴	2.33 × 10⁻²	8.73 × 10⁻³	5.39 × 10⁻³
分布式燃气轮机	7.29 × 10⁻⁴	2.19 × 10⁻²	7.78 × 10⁻³	5.54 × 10⁻³
是^*	6.75 × 10⁻⁴	6.14 × 10⁻³	7.72 × 10⁻³	4.45 × 10⁻³

Gordon和IS模型包含自由参数，β₁和β₂.最小化 $E类$ 通过这些参数可以得到我们所称的优化IS，即IS^*和优化Gordon模型。最优Gordon模型的精确度远低于dNLS、vDysthe、is^*和dGT，当使用 $E类$ ⁠此外，戈登模型导致波浪破碎，对ω_第页和ω_米.

表四显示IS^*提供最低限度的 $E类$ 实验B、C和D的值，而vDythe提供了最小值 $E类$ 实验A的值β₁导致这些结果的因素包括在表五据我们所知，这四者之间没有关系β₁值，并且无法确定β₁从实验参数来看。与Islas-Schober的假设相反β₁>0，我们注意到β₁实验C和D为阴性。图2和三显示IS^*准确预测载波和边带的演变。数字6和7显示IS^*与dNLS、vDysthe和dGT在预测光谱峰值和平均值的演变方面具有相似的准确性。

表五。

这个β₁最小化的值 $E类$ 对于IS^*模型。

模型	实验A	实验B	实验C	实验D
β₁（信息系统^*)	0.7	32.0	−2.4	−20.0

表四表明NLS和Dythe模型不能准确模拟这些实验中的波的演化。因此，NLS和Dythe预测图不包括在图2和三他们大大高估了第一边带的增长。此外，NLS和Dythe都保留了 $M（M）$ ⁠实验中未保存。

图6显示了模型对光谱峰值演变的预测与测量结果的比较。在本段中，每次提到FD都是指光谱峰值意义上的FD。我们注意到n个纵坐标上的负/正刻度标记对应于n个第条下/上边带。

实验A是未观察到FD的小振幅实验。NLS预测暂时性FD，Dysthe预测FD，因此这些模型与实验观察不一致。所有包括耗散的模型都与实验观测结果一致：dNLS、vDysthe、IS和dGT方程都预测光谱峰值是恒定的。
实验B中的光谱峰值下降。一个数据点显示重复，然后返回FD。NLS预测FD到第一个下边带，然后到第二个下边频带，然后在最后一个实验量规之后不久频率升频到第一个上边带。因此，NLS与观察结果不一致。Dythe在观察前预测出一个暂时性FD，但没有捕捉到观察到的最终FD。dNLS、vDythe、IS和dGT方程都预测了永久性FD，因此与观测值在定性上一致。然而，dNLS、vDysthe和dGT方程没有捕捉到FD发生的位置。他们预测FD发生得太快。是^*在捕获所观察FD的位置方面做得最好。
实验C中的光谱峰值永久降档（在油箱长度范围内），FD出现的时间比实验B中的更快。NLS和Dythe方程预测FD的位置最好；然而，他们预测FD是暂时的。其他模型没有捕捉到FD的观测位置，但确实预测它是永久性的。
在实验D中，有目的地播种上边带；然而，实验中的光谱峰值降低了。与实验B一样，一个数据点显示重复出现，然后返回FD。NLS预测第一个和第二个较低边带的临时FD与观察结果不一致。Dythe可准确预测所观察FD的位置和持续时间。其他模型与观察结果不一致；他们预测了一个恒定的光谱峰。

图7显示了模型对光谱平均值演变的预测与测量值的比较。在本段中，每次提及FD都是指光谱平均意义上的FD。我们注意到NLS和dNLS方程都保持ω_米因此预测ω_米在每次实验中保持不变。Dythe方程预测了所有四个实验的大幅升档。

实验A是光谱平均值保持恒定的小振幅实验。因此，Dythe方程必然与观察结果不一致。dGT方程预测FD等，也不一致。vDythe方程预测，在观测到的演化接近尾声时，会出现轻微的FD。NLS和dNLS必然与观察结果一致，这里是IS^*等式也同意。
实验B中的光谱平均值降档并实际改变符号。因此，NLS、dNLS和Dythe模型必然与观测值不一致。vDythe模型预测，在FD最终接管之前，会有轻微的升档。两个IS^*dGT模型预测FD和IS^*预测值与观测值相当吻合，而dGT预测值大大超出了测量FD的预测值。
实验C中的光谱平均值最初降档，然后升档到略高于其初始值。因此，NLS、dNLS和Dythe模型必然与观察结果不一致。对于这个实验，IS^*方程没有捕捉到初始有效FD。vDythe和dGT方程都捕捉到了初始FD，dGT预测最为一致，但这两个模型都无法预测观察到的最终演化。
在实验D中，有目的地对上边带进行播种，光谱平均值显示了结果。与光谱峰值不同，光谱平均值显示出永久性的上移位。因此，NLS和dNLS模型必然与观察结果不一致。Dythe方程预测了升档，并且在定性上是一致的。vDysthe和dGT模型都预测FD，因此它们与观察结果不一致。信息系统^*等式预测了轻微的升档，但低估了观察到的升档量。

对于实验D，所有包括线性耗散的模型在预测测得的边带振幅方面都做得很好；然而，没有人能够预测由光谱峰值或光谱平均值测量的光谱演变。实验D和其他实验之间的唯一区别是，在实验D中，上边带是有目的地播种的，而在其他实验中，下边带和上边带都是均匀播种的。这种强迫的结果是，在实验D中，所有扰动振幅都进入了上边带，而在实验C中，使用了相同的ā_（f）=第页=0.5，扰动振幅在两个模式之间进行分割。

V.总结

总之，我们将实验测量结果与深水上波浪列演变的各种模型进行了比较，以便更深入地了解频率降频。表六包含我们定性结果的摘要。我们表明，NLS方程不能准确预测主要傅里叶振幅的演变，也不能在光谱峰值意义上预测FD。Dythe方程不能准确预测主要傅里叶振幅或光谱平均值的演变。来自光学的Gordon方程，即使在对其自由参数进行优化的情况下，也不能准确地模拟实验数据，并且由于它是如何模拟水波中的FD $对$ ⁠我们表明，dNLS方程在所有四个实验中准确地模拟了傅里叶振幅，但不能在光谱平均意义上模拟FD。粘性Dysthe方程准确地模拟了傅里叶振幅的演变，合理地预测了所有四个实验中光谱峰的演变，并合理地预测四个实验的三个实验中的光谱平均值。耗散Gramstad-Trulsen方程，引入方程。(15)，准确建模傅里叶振幅的演变，合理预测所有四个实验中光谱峰的演变，并合理预测四个实验的三个实验中的光谱平均值。最后，当对其自由参数进行优化时，Islas-Schober方程在四个数据集中的三个数据集中最准确地模拟了实验数据。不幸的是，没有经验方法来确定这个参数。所有的模型都是通过一些特殊项或自由参数推导出来的，并且没有一种模式能够捕捉到所有实验的所有特征，因此从第一原理推导仍然是一个悬而未决的问题。

表VI。

结果的定性总结。0表示所有4个实验的模型（行）预测与列出的度量（列）的定性不一致。这些信件与实验相对应，其中至少有一些总体上的定性一致。

模型	傅立叶振幅(图2和三)	$M（M）$	ω_第页(图6)	ω_米(图7)
荷兰统计局	0	0	0个	A类
迪塞	0	0	C、 D类	D类
dNLS公司	A、 B、C、D	A、 B、C、D	A、 B、C类	A类
vDythe公司	A、 B、C、D	A、 B、C、D	A、 B、C类	A、 B、C类
是^*	A、 B、C、D	A、 B、C、D	A、 B、C	A、 B、D
分布式燃气轮机	A、 B、C、D	A、 B、C、D	A、 B、C类	B、 C类

模型	傅里叶振幅(图2和三)	$M（M）$	ω_第页(图6)	ω_米(图7)
荷兰统计局	0	0	0	A类
迪塞	0	0	C、 D类	D类
dNLS系统	A、 B、C、D	A、 B、C、D	A、 B、C类	A类
vDysis公司	A、 B、C、D	A、 B、C、D	A、 B、C类	A、 B、C类
是^*	A、 B、C、D	A、 B、C、D	A、 B、C类	A、 B、D
分布式燃气轮机	A、 B、C、D	A、 B、C、D	A、 B、C类	B、 C类

致谢

我们感谢安德烈亚·阿尔莫利、伯纳德·德科宁克、黛比·埃尔丁克、保罗·米勒夫斯基和哈维·西格尔的有益讨论。本材料基于国家科学基金会（批准号：DMS-1716120和DMS-171659）支持的工作。

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2019

作者

深水波列频率降档模型的比较

I.简介

二、。模型方程

A.渐近模型

B.模型属性

1.预测的演变ω_米, $M（M）$ ⁠、和 $对$

2.模型属性讨论

三、实验仪器和结果

四、模型与实验结果的比较

V.总结

致谢

参考文献

通过引用文章

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深水波列频率降档模型的比较

I.简介

二、。模型方程

A.渐近模型

B.模型属性

1.预测的演变ω米,M（M）⁠、和对

2.模型属性讨论

三、 实验仪器和结果

四、 模型与实验结果的比较

V.总结

致谢

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1.预测的演变ω_米, $M（M）$ ⁠、和 $对$

三、实验仪器和结果

四、模型与实验结果的比较