Lagrangian particle tracking velocimetry investigation of vortex shedding topology for oscillating heavy spherical pendulums underwater

Thomas Gold; Kevin Reiterer; Dominik Worf; Ali Khosronejad; Helmut Habersack; Christine Sindelar

doi:10.1017/jfm.2023.170

拉格朗日粒子跟踪测速法研究水下摆动重球摆的涡旋脱落拓扑

剑桥大学出版社在线出版：2023年3月31日

托马斯·戈尔德*: 附属：
奥地利维也纳1200 Am Brigittenauer Sporn 3自然资源与生命科学大学水、大气与环境系水利工程与河流研究所（IWA）沉积物研究与管理基督教多普勒实验室
凯文·赖特勒: 附属：
奥地利维也纳1200 Am Brigittenauer Sporn 3自然资源与生命科学大学水、大气与环境系水利工程与河流研究所（IWA）沉积物研究与管理基督教多普勒实验室
多米尼克·沃夫: 附属：
奥地利维也纳1200 Am Brigittenauer Sporn 3自然资源与生命科学大学水、大气与环境系水利工程与河流研究所（IWA）沉积物研究与管理基督教多普勒实验室
阿里·科斯罗内贾德: 附属：
美国纽约州石溪市石溪大学土木工程系，邮编：11794
赫尔穆特·哈贝萨克: 附属：
奥地利维也纳1200 Am Brigittenauer Sporn 3自然资源与生命科学大学水、大气与环境系水利工程与河流研究所（IWA）
克里斯汀·辛德拉尔: 附属：
奥地利维也纳1200 Am Brigittenauer Sporn 3自然资源与生命科学大学水、大气与环境系水利工程与河流研究所（IWA）
*: †通信电子邮件地址：托马斯·古尔德@boku.ac.at

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摘要

利用时间分辨三维粒子跟踪测速仪（tr-3-D-PTV）研究了在稠密流体中振荡的重锤的涡旋脱落拓扑。八种不同固体与流体质量比的一系列实验百万美元^*$在范围内$[1.14, 14.95]$相应的雷诺数高达$Re\sim O（10^4）$已执行。振荡周期在很大程度上取决于百万美元^*$振幅衰减和振荡频率之间的关系是非单调的，在$m^*\约2.50$此外，还实现了一种新的利用涡量等表面的数字目标跟踪（DOT）方法来分析涡旋结构。对于不同的质量比，观察到类似的涡旋脱落拓扑百万美元^*$我们的观察结果表明，首先，在钟摆的尾迹中形成了一个涡环。不久之后，最初的环分解成两个大小相似的明显可区分的结构。两个漩涡中的一个漩涡保持在钟摆的圆形路径上，而另一个漩流分离，向下传播，最终消散。第一个漩涡脱落的时间及其初始传播速度取决于百万美元^*$以及球形摆锤产生的动量。研究结果进一步表明，实验确定的涡旋脱落频率与基于斯特劳哈尔数的理论涡旋脱落时间尺度之间具有良好的一致性。

JFM分类

涡流：涡流脱落涡流：涡流动力学涡流：涡流相互作用

类型: JFM论文
问询处: 流体力学杂志 ,第960卷 2023年4月10日，A14

内政部：https://doi.org/10.1017/jfm.2023.170 [在新窗口中打开]
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版权: ©作者，2023年。剑桥大学出版社出版。

1介绍

1605年，伽利略·伽利略首次对钟摆运动进行了已知的研究，因为他发现摆动的周期保持不变。此后，钟摆受到了大量研究，并在许多技术应用中得到了应用，例如钟摆钟、弹道钟摆、地震仪、节拍器、粘度计和高层建筑中的质量阻尼器（Mongelli和Battista参考Mongelli和Battista2020; 沃夫等。 Reference Worf、Khosronejad、Gold、Reiterer、Habersack和Sindelar2022). 此外，钟摆是一个“教育经典”，是研究振荡运动概念的标准装置，从无阻尼情况和简谐运动开始（Mongelli&Battista参考Mongelli和Battista2020). 物理摆在流体流动和流体-结构相互作用研究中也有着悠久的传统，包括附加质量和流体摩擦等概念。

Williamson&Govardhan对理解涡激振动做出了重要贡献(参考Williamson和Govardhan1997)以及Govardhan&Williamson(参考Govardhan和Williamson1997,参考Govardhan和Williamson2005)通过测量钟摆状系留球体在均匀流中的运动。他们发现了三种不同的振幅和频率响应模式，导致了升力和阻力的显著波动。与静止球体的阻力测量相比，球体的摆动几乎使阻力增加了一倍。此外，他们指出了理解尾流和涡流动力学对解释响应现象的重要性，并强调了对这个问题进行流动可视化的重要性（Williamson&Govardhan参考Williamson和Govardhan1997). 流量测量技术的最新进展，特别是激光光流可视化，促使研究人员重新进行实验研究，以帮助更好地理解潜在的物理。例如，van Hout、Krakovich和Gottlieb(参考van Hout、Krakovich和Gottlieb2010)、Eshbal、Krakovich和van Hout(参考Eshbal、Krakovich和van Hout2012)以及克拉科维奇、埃什巴尔和范霍特(参考Krakovich、Eshbal和van Hout2013)利用粒子图像测速仪（PIV）对均匀流中栓系球体尾迹的涡旋脱落进行了深入研究。随着三维（3-D）流场可视化的发展，van Hout对均匀流中的栓系、静止和自由运动球体进行了层析PIV（tomo-PIV）测量等。(参考van Hout、Eisma、Elsinga和Westerweel2018,参考van Hout、Hershkovitz、Elsinga和Westerweel2022)埃什巴尔等。(参考Eshbal、Kovalev、Rinsky、Greenblatt和van Hout2019一,证明人Eshbal、Rinsky、David、Greenblatt和van Houtb条)科瓦列夫、埃什巴尔和范霍特(参考Kovalev、Eshbal和van Hout2022). 他们的发现扩展了我们对湍流边界层中流体-结构相互作用以及与涡激振动相关的涡脱落行为的认识，并指出了三维流场测量的相关性。起重机等。(参考Crane、Popinhak、Martinuzzi和Morton2022)采用tomo-PIV方法研究了悬臂圆柱的旋涡脱落拓扑。然而，tomo-PIV存在缺点，因为它计算量大，并且依赖于空间平均值的互相关，这可以平滑速度梯度（Schanz、Gesemann和Schröder参考文献Schanz、Gesemann和Schröder2016). 因此，基于拉格朗日粒子跟踪（通常称为粒子跟踪测速（PTV））的方法变得更加流行（拉斐尔等。参考Raffel、Willert、Scarano、Kähler、Wereley和Kompenhans2018). 如今，时间分辨三维PTV（tr-3-D-PTV）是三维流量测量中最先进的方法之一，并已证明其在识别和可视化相干流结构和涡流动力学方面的实用性（Schobesberger等。参考文献：Schobesberger、Worf、Lichtneger、Yuecesan、Hauer、Habersack和Sindelar2022).

最近，马泰等。(证明人Mathai、Loeffen、Chan和Wildeman2019)研究了带有圆柱形bob和不同固体与流体质量比的重型和浮力水下摆，$m^*=\rho _s/\rho _F$他们开发了一个运动模型方程，并进行了二维（2-D）PIV（2-D-PIV）实验，以进一步改进其模型方程。他们通过将气缸回摆引起的尾流通过扰动流场来实现这一点。此外，他们还可视化了向下摆动期间的旋涡脱落行为。由于气缸长度相对较短，Mathai等。(证明人Mathai、Loeffen、Chan和Wildeman2019)发现附加质量系数显著低于势流值（1）（0.53）。沃夫等。(Reference Worf、Khosronejad、Gold、Reiterer、Habersack和Sindelar2022)重新调查此案$m^*=4.98$来自Mathai等。(证明人Mathai、Loeffen、Chan和Wildeman2019)通过进行大规模模拟。他们的模拟结果表明，增加的质量偏差是由第一次向下摆动期间以尖端涡为特征的三维流场占主导地位引起的。他们的研究结果表明，即使是圆柱体（可以解释为二维流动），也只有三维分析才能充分解释测量的涡旋脱落现象。蒙盖利和巴蒂斯塔(参考Mongelli和Battista2020)对带有球形摆锤的摆锤进行了流体-结构相互作用的数值模拟。然而，他们的模拟是二维的，类似于圆盘或圆柱体切片，而不是球体。关于带有三维球形弹体的水下摆的涡旋脱落拓扑，作者所知的唯一研究由Bolster、Hershberger和Donnelly报道(参考靠垫、Hershberger和Donnelly2010). 他们认为，对于大振幅，涡街是由转折点处的涡旋脱落引起的，这反过来又会对球形摆锤产生额外的阻力。除了Mongelli和Battista(参考Mongelli和Battista2020)和沃夫等。(参考Worf、Khosronejad、Gold、Reiterer、Habersack和Sindelar2022)，上述所有研究都是基于实验观察。

本工作有助于更好地理解在稠密流体中振荡的重物的涡旋动力学。正如Govardhan&Williamson所指出的那样，此类研究对于水下采矿作业或拖曳在船后的物体具有实际意义(参考Govardhan和Williamson2005). 本研究旨在描述在大范围球体密度下，带有球形弹头的重型摆首次向下摆动时的涡旋脱落拓扑结构美元\rho _s$使用tr-3-D-PTV。在实验中，球体直径D美元$，摆锤长度L美元$、流体属性($\rho _f$和$\nu美元$)和释放角度($\theta _0=37.5^\circ$)都是固定的。我们改变固体与流体的质量比$m^*=\rho _s/\rho _F$($m^*>1$)诱导范围内的流场$Re\sim O（10^4）$通过分析振幅衰减和振荡频率，当$m^*\约2.5$此外，还讨论了非线性阻力的影响。利用tr-3-D-PTV的涡旋可视化和一种新的数字目标跟踪（DOT）方法研究了第一次振荡期间的涡旋脱落拓扑。更具体地说，所开发的DOT方法能够根据作为不同数字对象的涡度等值面图的视觉表示来确定涡轨迹和速度。对于所有人百万美元^*$在案例中，我们观察到在第一次向下摆动期间涡旋向下脱落的特征。用斯特鲁哈尔数估算了旋涡脱落的瞬间，并与实验结果进行了比较。

2实验

2.1.实验系统

实验在维也纳自然资源与生命科学大学的水力实验室进行。设置了一个铝制防轨系统，并在阻尼调平脚上接地，以隔离振动(图1一). 试验台是实验装置和测量设备的承载系统。实验系统的关键部件是来自LaVision的高速PTV系统。该系统包括四个最高分辨率的高速摄像头（Imager Pro HS 4M CMOS）2016美元\ 2016倍$像素和内部存储容量18 GB。每台相机都配有一个Scheimpflug适配器（SP）和一个镜头（蔡司平面$T^*85美元$ 毫米 f/1.4美元$85毫米焦距的ZE）。四个摄像头沿试验台以线性设置放置，在两个不同高度的部分交替放置。采用输出能量为30 mJ、波长为527 nm、标称重复频率为1 kHz的ND:YLF-PIV激光器（掺钕钇铝石榴石、二极管泵浦、双腔高速激光器，由Litron LDY系列）作为光源。激光头放置在地板上方的铝导轨上，发射直径为5 mm的激光束。此外，光学导向臂将激光头连接到体积光学元件（VO），从而将激光束扩展到所需的体积。在VO上放置一个机械光圈（MA），以避免照明体积的边缘不清晰。激光器和摄像机由可编程定时装置（PTU）（LaVision的PTUX）同步，并由LaVision公司的Davis 10.1软件操作。此外，光电屏障系统（Sick WL8）连接到PTU的触发输入。该系统由反射镜（REF）和光电传感器（S/E）组成，用于发送和接收光信号。在其初始位置，球体中断光屏障的信号；因此，光电屏障作为整个PTV系统的触发器。此外，还有一个三维校准板（LaVision 204-15），尺寸为204美元乘以204$毫米$^2$使用。该板有两个不同的平面，水平间隔为3 mm，圆点形标记间距为15 mm。

图1。(一)测量系统，包括四个高速摄像机和一个双腔高速激光器。(b条)实验装置的侧视图。(c（c）)实验装置的平面图。

实验在一个长600 mm、宽300 mm、高300 mm的玻璃罐中进行，玻璃罐位于VO上方的安装板上。图1(b条)和1(c（c）)显示实验装置的详细草图。玻璃罐有几个铝制导轨，带有玻璃夹，用于固定摆锤及其释放装置。释放装置在导向臂上使用自适应机械抓取器（NIRYO Robotics）。夹持器的移动由微控制器（OpenCM9.04，C型）操作。此外，夹持器的移动尽可能小，以避免干扰流场。此外，三面反射镜（MIR）确保通过反射激光消除球体投射的阴影。摆丝由直径0.05 mm的尼龙绳制成，并连接到滚珠轴承上。代表水下摆的不同材料的球体粘在绳子的松端。球体是高精度产品，具有相同的直径(D美元$)12.71 mm，制造商列出的公差为0.002 mm。所有球体均涂成黑色，以避免出现不必要的照明峰值，并减少表面粗糙度引起的摩擦差异。材料及其特定特性列于表1.在其初始位置，球体为2.2D美元$水位以下，最低处为8.5$D美元$在坦克底座上方。到侧壁的距离始终保持在10以上D美元$.摆锤长度(L美元$)从轴承到球体中心的测量值为200 mm，初始角偏转($\θ_0$) 37.5$^\circ（美元）$.使用自行设计的调整工具确保所有实验中的初始位置相同。经过3分钟的等待间隔以抑制可能的流体扰动后，开始缓冲记录模式。最后，一旦抓取器释放球体，光电屏障的信号不再中断，从而触发记录。

表1。球体的材料特性D美元=12.71$mm用于实验。

2.2.粒子跟踪测速和数据同化

为了进行tr-3-D-PTV分析，我们将平均直径为50的聚酰胺粒子注入水中$\mathrm{\mu}$m和密度1.016 g cm$^{-3}$四个相机帧中的每一个都有图像大小$h\次w=1500\次2016$像素，长度刻度为9像素mm$^{-1}$在实验开始时，我们对感兴趣的体积（VOI）进行了三维尺寸校准x美元=178$毫米，y=115美元$毫米，z=51美元$毫米(x美元/天=14$,美元/天=9$,$z/D=4$). 为此，重新调整摄像机，直到每个摄像机平面的校准误差低于0.25像素。对于3-D-PTV录制和厚照明体积，Wieneke(参考Wieneke2008)提出了使用体积自校准方法进一步校正校准误差，以最小化三角测量误差。因此，以500Hz的频率记录校准图像，种子密度约为每像素0.03个粒子（ppp）。基于100张校准图像，进行了体积自校准。这导致平均校准误差约为0.03像素，最大校准误差约0.09像素，低于Wieneke给出的阈值(参考Wieneke2008). 摆锤实验期间使用了更高的播种密度，范围为0.035–0.07 ppp。通过屏蔽除VOI以外的所有图像并去除球体引起的非稳定反射，对图像进行了预处理。因此，通过应用20次迭代的各向异性扩散过滤器，并从原始图像中进一步减去它，即可计算出每个图像的背景。此过程生成的图像仅显示照明的种子粒子。根据Schanz的报告，稀疏粒子轨迹使用最先进的振箱算法重建，用于现代PTV应用，播种密度高达0.125 ppp等。(参考Schanz、Gesemann和Schröder2016). 稀疏拉格朗日粒子轨迹是基于每个时间步长的四个图像帧上种子的位置而导出的。125计数的照明阈值用于检测最大允许三角剖分误差为1.0体素的粒子。允许的速度范围与球体的最大速度有关，有助于消除非物理重影粒子轨迹。为了更好地显示流场和识别涡流结构，将稀疏的PTV数据插值到规则的笛卡尔网格上。这是借助于涡流-内-细胞方法完成的，Schneiders&Scarano称之为VIC+(参考施耐德和斯卡拉诺2016). VIC+算法以粒子轨迹的速度材料导数的形式使用时间信息，因此被描述为“将时间注入空间”（Schneiders&Scarano参考施耐德和斯卡拉诺2016). 网格插值以网格分辨率16个体素（即1.78 mm）进行。在每个时间步长中，使用二阶多项式轨迹去噪和滤波器长度3个时间步长对速度场和加速度场进行40次迭代。利用不可压缩Navier–Stokes方程的速度-涡度公式和粒子轨迹重建了高分辨率速度场。在规则网格的基础上，利用涡量等值面和Q准则Hunt，Wray&Moin对涡流结构进行了可视化(参考Hunt、Wray和Moin1988). 因此，Q准则的等值面将旋涡流结构确定为旋转速率大小超过速度梯度张量第二不变量定义的应变率的区域：

(2.1)

\开始{方程式}Q=1/2（\|varOmega\|^2-\|S\|^2），结束{方程式{

哪里美元\varOmega$与反对称部分有关，并且美元$是速度梯度张量的对称部分。标量满足的区域$Q>0$指示旋涡结构。

为了检验实验中示踪粒子的响应时间，我们计算了斯托克斯数$S_{tk}$作为

(2.2)

\开始{方程式}S_{tk}=t_p U_b/L_f，结束{方程式{

哪里$t_p=\rho D_t^2/（18\亩）$是粒子的弛豫时间，$\rho美元$是流体密度（1000 kg m$^{-3}$),$D_t（美元）$是示踪粒子直径(50美元$m），$\亩$是流体的动态粘度(10美元^｛-3｝$帕），美元_b$是总流速（即摆的最大速度，$0.7$毫秒$^{-1}$)，以及美元L_f$是水流的特征长度（即直径D美元$球体）。考虑长度刻度$L_f=D=0.01271$m，体积速度0.7 m s$^{-1}$以及示踪粒子的直径和密度50$\mathrm{\mu}$米和1.016克厘米$^{-3}$分别为预期的斯托克斯数($S_{tk}<0.008$)各种球体特性的实验值均显著小于0.1。因此，示踪粒子倾向于紧跟流体流动流线，追踪精度误差远低于1%（Brennen参考Brennen2005; 橡树等。 Reference Oaks、Craig、Duran、Sotiropoulos和Khosronejad2022).

2.3.涡旋结构的数字目标跟踪

从三维流场测量得出的相干流结构和旋涡脱落拓扑结构的分析通常局限于一个或多个时刻的等表面轮廓的定性描述（例如Zhu等人。证明人朱、王、王和王2017; 埃什巴尔等。参考Eshbal、Kovalev、Rinsky、Greenblatt和van Hout2019一; 肖贝贝格等。参考文献Schobesberger、Lichtneger、Hauer、Habersack和Sindelar2020; van Hout公司等。参考van Hout、Hershkovitz、Elsinga和Westerweel2022). 这些插图当然是合理的，因为它们对我们的基本过程理解或数值结果的验证非常重要。然而，观察孤立的时间瞬间忽略了高分辨率数据中包含的时间和空间信息。空间和时间信息的定量组合有助于深入了解和更深刻地描述潜在的流动现象。本文实现的方法基于相干流结构作为不同数字对象的可视化表示（例如等值面图），确定涡旋轨迹，从而确定传播方向、速度和稳定性假设。应该提到的是，该程序需要具有相关大小的结构，并且可能需要根据研究目标进行具体的调整。

在本文中，通过涡度量级的等值面显示了显著的流动结构。等值面图像为进一步的DOT奠定了基础，特别强调了正确选择等值面值。这对于不同比率的无偏可比性至关重要百万美元^*$和涡度量级$\欧米茄$因此，所采用的基于涡度的等表面值基于实验确定的第一次振荡周期(T美元$)和经验关系$|\omega|=16T^{-1}$。如所示图2(b条)，其中较高的值为$T^{-1}$表示与较高水平相关的较短时期百万美元^*$值。人们当然可以使用不同的涡流识别标准，因为正确选择阈值会导致独立于所选标准的类似表示（Chakraborty、Balachandar和Adrian参考Chakraborty、Balachandar和Adrian2005). 将获得的等表面图像导入Wolfram Mathematica 12并进行进一步处理。首先，对每个图像进行基于阈值二值化和颜色否定的语义分割。这导致了根据像素强度构造“0”（白色）和“1”（黑色）图像。此外，还为计数超过2000像素的连接区域计算了边界框。此过程将消除除大型相干等曲面以外的所有对象。涡流轨迹是根据边界框坐标导出的。因此，包括基于记录频率的时间信息允许进一步分析涡流传播速度。图2(一)显示了DOT的应用程序，其中显示了两个大小相等的漩涡及其相应的边界框，以及之前时间点的轨迹。绘制的轨迹描述了红色高亮显示的涡环的分离和向下运动，而黑色的涡环停留在圆形路径上。

图2。(一)漩涡跟踪的示例图像显示了两个大小相等的漩涡及其相应的边界框，以及之前时间步的轨迹。(b条)基于第一次振荡周期的涡结构可视化的等表面值。

三。结果

3.1.振荡频率和振幅衰减

表2总结了第一个振荡周期的测量周期T美元$和振幅峰值$\θ_{max}$从录音中获得。周期随着质量比的增加而非线性减小百万美元^*$，而第一次摆动结束时的峰值角位移与百万美元^*$.使振荡频率正常化$f=1/T$以自然摆频率$f_{n}=（1/2{\rm\pi}）\sqrt{g/L}$给予$f美元^*$.英寸图3(一)，此标准化频率$f美元^*$显示的是来自马赛的球体和沉重的圆柱形摆等。(证明人Mathai、Loeffen、Chan和Wildeman2019). 对于球体和圆柱体，自然频率和测量频率之间的偏差随着减小而显著增加百万美元^*$。它们遵循相同的趋势，具有陡峭的坡度$m^*<2.5$.对于密度较大的材料，$f美元^*$球体和圆柱体的$m^*<2$，存在差异。

表2。质量比百万美元^*$，第一个振荡周期的周期$T（美元）$，第一次摆动结束时的最大角度位置$\θ_{max}$.

图3。重型球形摆的当前实验[1.14，14.95]美元$绘制为填充的黑色钻石，而Mathai绘制的重圆柱形摆的实验数据等。(证明人Mathai、Loeffen、Chan和Wildeman2019)绘制为紫色方块。(一)归一化振荡频率$f^*=f/f_n$对于不同的百万美元^*$. (b条)振幅包络线$\theta_{\tau_{ref}}$相对于归一化振荡频率$f美元^*$过了一段时间$\tau_{ref}=3{\rm\pi}\sqrt{L/g}$.

通过将包络拟合到随时间变化的振幅峰值，我们确定了振幅包络$\theta_{\tau_{ref}}$在参考时间$\tau_{ref}=3{\rm\pi}\sqrt{L/g}$.绘图$\theta_{\tau_{ref}}$反对$f美元^*$在里面图3(b条)，最佳阻尼位于$f^*\约0.7$。这对应于$m^*\约2.5$相比之下，马赛等。(证明人Mathai、Loeffen、Chan和Wildeman2019)在以下条件下呈现最佳阻尼$m^*\约2$用于重型气缸。这些新发现对提高起重船的海上稳定性具有重要的实际意义。

有趣的是，球体的阻尼对百万美元^*$根据马泰的说法等。(证明人Mathai、Loeffen、Chan和Wildeman2019)，非单调阻尼是非线性阻力的一种效应，这意味着这种效应对于球形摆更为显著。此外，圆柱体和球体的不同附加质量值可能会影响不同的质量阻尼比。考虑不同的初始偏转角（90$^\circ（美元）$在马赛等人。(证明人Mathai、Loeffen、Chan和Wildeman2019)与37.5相比$^\circ（美元）$在本研究中），球面摆的振幅衰减比流线型较小的圆柱体慢得多。阻力系数部分解释了这一点C_D美元$，球体通常比圆柱体低$Re>10$此外$再保险$在C_D美元$对于当前范围内的球体和圆柱体$再保险$（霍纳参考资料Hoerner1965). 这会影响阻力与速度平方成比例的非线性增长。尽管如此，还有其他现象影响与涡旋脱落相关的流体阻力（威廉姆森和戈瓦丹参考Williamson和Govardhan1997; 马泰等。证明人Mathai、Loeffen、Chan和Wildeman2019). 为了更好地解释涡旋诱导振动引起的阻力振荡，需要了解涡旋脱落拓扑（Williamson&Govardhan参考Williamson和Govardhan1997). 以下小节致力于更好地理解稠密流体中振荡系统的涡旋动力学。

3.2.涡旋动力学

对于所有人百万美元^*$比率，球体的运动导致了在第一次向下摆动的初始阶段形成的环形涡结构(图4一). 对于所有人百万美元^*$，观察到的圆环具有初始直径($D_{vor}$)大约2D美元$当按照§2.3然而，在某一点上，垂直结构开始分离成两个明显可区分的大小相等的涡环，如所示图4(b条–d日). 在所有实验观察中都存在这种分离过程和向下脱落。涡流环形成后不久，以近乎线性的路径向底部传播(图6). 漩涡向下传播是由摆锤（Worf）运动产生的动量来解释的等。 Reference Worf、Khosronejad、Gold、Reiterer、Habersack和Sindelar2022). 在传播过程中，涡环保持显著稳定，直到达到其最终速度并最终消散。这种行为与上述由Mathai实验研究的圆柱形摆的情况类似等。(证明人Mathai、Loeffen、Chan和Wildeman2019)并由Worf以数字表示等。(Reference Worf、Khosronejad、Gold、Reiterer、Habersack和Sindelar2022). 根据他们的发现，沃夫等。(Reference Worf、Khosronejad、Gold、Reiterer、Habersack和Sindelar2022)描述了第一次摆动时圆柱尾迹涡环的发展和向下脱落。随后，漩涡向外延伸，并在玻璃罐侧壁附近消散。对于可比半径，尽管只有二维，但Mongelli&Battista的数值结果(参考Mongelli和Battista2020)也显示出由垂直向下运动的旋涡主导的旋涡脱落。在我们的实验观察中，所有比率的整体过程保持不变百万美元^*$，但第一个漩涡脱落的瞬间明显不同。脱落的开始($t_{vs}$)由上述DOT程序确定，并选择向下运动涡旋的轨迹离开圆摆路径的图像帧。更具体地说，这里是垂直距离$d_y（年）$(年美元$-方向图2和4)在轨迹之间$d_y\geq日/4$已选定。正如预期的那样，涡流的形成和分离时间随着质量比的增加而减少。然而，对于$m^*\geq 6美元$旋涡分离时间略有缩短。因此$t_{vs}$和百万美元^*$可以用幂定律来描述，如所示图5(一). 此外，获得的值$t_{vs}$与基于Strouhal数的理论脱落频率进行比较$S_r（_r）$（斯特劳哈尔参考Strouhal1878). 发件人$S_r=f_{vs}D/v_p（v_p）$、涡流脱落频率($\，f_{vs}$)可以导出。时间$t_{vs}$第一个涡环脱落的时间可以根据$f_{vs}$:

(3.1)

\开始{方程式}t_{vs}=\frac{1}{f_{vs}}=\frac{D}{S_rv_p}，结束{方程式{

哪里D美元$是由球体直径表示的特征长度，以及$v_p$是相对摆速。平均速度$v_p=θ_0 L/tp$源于时间$t_p（美元）$球体从$\theta _0=37.5^\circ$到近地点$\theta _p=0^\circ$.使用Strouhal数美元S_r=0.21$（用于$Re\ in[4\乘以10^2,1\乘以10^4]$)，时间$t_｛vs｝$是估计的。计算的脱落时间$t_{vs}$实验结果绘制在图5(一)建议各方达成高度一致百万美元^*$比率。

图4。首次向下摆动期间的卸荷拓扑$m^*=6.0$之后(一)$t=0.146$第页(b条)$t=0.178$第页(c（c）)$t=0.210~$s、和(d日)$t=0.242$第条。

图5。(一)第一个漩涡脱落的瞬间百万美元^*$.第一次涡旋脱落瞬间的比较$t_{vs}$根据目前的实验观测和基于斯特鲁哈尔数的理论方法得出$S_r（_r）$. (b条)无量纲传播速度$U^*_{vor}$向下运动的涡环。

3.3、。涡旋输运

图5(b条)显示了无量纲的速度演化$U^*_{vor}=U_{vor}/\sqrt{gL}$第一个分离的漩涡百万美元^*$。开始于$t_{vs}$，涡流速度$U_{vor}$由两帧之间DOT边界框中心所覆盖的距离除以相应的时间增量得出。如图所示$m^*>1.41$,$U^*_{vor}$会迅速腐烂。最初，$U^*_{vor}$在0.06到0.40之间，速度越高，质量比越高。相反，涡流消散的终端速度似乎与百万美元^*$。此外，对于$m^*>1.41$，另一个漩涡在摆的转折点脱落。Bolster也观察到了这一点等。(参考靠垫、Hershberger和Donnelly2010)对于足够大的振幅。显示旋涡脱落的视频$m^*=3.26$可在补充电影1中找到，网址为https://doi.org/10.1017/jfm.2023.170.图6(一–c（c）)显示时间平均值$z（美元）$涡度$\omega（_z）$由标准化$\omega_{zmax}$对于三种不同的质量比$m^*=2.50,3.26,6.00$.红色表示的正值$\欧米伽_z$，而蓝色表示否定$z（美元）$涡度。在达到第一个转折点之前的一段时间内进行时间平均。由于主要的拓扑特征是两个大小相等的涡环，时间平均结果产生了一个分叉涡管。在分离过程中，球体从脱落涡的上部顺时针旋转部分分离，在脱落涡闭合期间，流体在球体尾迹中被提升。这可以看出$m^*=3.26$在补充电影2中提供的视频动画中。对球体尾流和分离涡流相互作用的新见解可能非常有用，尤其是对改进数值和分析模型。例如，Mathai等。(证明人Mathai、Loeffen、Chan和Wildeman2019)给出了圆柱摆的尾迹修正，当圆柱进入扰动流场时，从摆的第一个转折点开始。然而，Worf的数字再调查等。(Reference Worf、Khosronejad、Gold、Reiterer、Habersack和Sindelar2022)建议在第一个转折点之前提前开始尾迹修正。这一点得到了当前观测结果的支持，因为在涡旋分离过程中，球体肯定会与其自身的尾迹相互作用。至少对于球形摆，指出了在第一次向下摆动期间尾流修正模型的可能开始。

图6。三种不同质量比的时间平均涡度数据$m^*=2.50,3.26,6.00$. (一–c（c）)表示最大归一化涡度量级0.25值的等值面$z（美元）$涡度$\omega（_z）$. (d日–（f）)相应涡度量级的中间切片$|\omega|/\omega_{max}$.

图6(d日–（f）)标记相应的中间$z（美元）$最大归一化涡量的切片$|\omega|/\omega_{max}$可以清楚地看到，最高的时间平均值并不出现在钟摆的直接尾迹中，而是出现在分离涡的向下路径中。也，图6(d日–（f）)表明涡旋向下传播的角度与百万美元^*$为了提供证据，根据DOT方法对脱落涡的轨迹进行了线性回归。由此产生的传播角度$\菲$测量值介于x美元$-轴（水箱底部）和顺时针方向分离涡流的路径。表3列表美元\斐$除以$\θ_0$以及相应的决定系数$R^2$.涡流传播方向与摆杆近似正交$\θ_0$对于观察到的百万美元^*$值。更具体地说，美元\斐$在36之间变化$^\circ（美元）$和41$^\circ（美元）$，对百万美元^*$值得注意的是美元\斐$与$t_{vs}$和$U^*_{vor}$具有百万美元^*$.

表3。涡流传播角美元\斐$相对于初始挠度$\θ_0$对于不同的百万美元^*$。的值美元\斐$以及相应的决定系数$R^2$由DOT的涡旋轨迹线性回归得出。

4结论

在这项工作中，对在水中振荡的重型球形摆的流体-结构相互作用进行了详细分析百万美元^*$。特别强调了涡流脱落拓扑结构的特征。基于严格的tr-3-D-PTV测量和一种新的数字物体跟踪（DOT）方法，研究了水和球面摆三维非线性相互作用引起的涡流结构的拓扑结构。通过结合当前涡旋结构的空间和时间特征，新的DOT方法可以更详细地分析涡旋等表面图，包括涡旋轨迹和传播速度。引入的DOT方法将等表面表示视为不同的数字对象，并对其进行跟踪，这可能会推动未来对各种高度相关主题的研究，如涡旋脱落拓扑、涡旋动力学和涡旋诱导振动。

该研究揭示了水下摆首次向下摆动期间的特征涡旋脱落拓扑百万美元^*$和恒定的初始偏转角$\theta_0=37.5^{\circ}$我们的观察结果表明，首先，球形摆的尾迹形成一个环形涡旋，它分裂成两个大小相等的独立结构。一个漩涡停留在钟摆的圆形路径上，另一个则分离。脱落涡环在几乎线性的向下路径上传播，其中传播角度与百万美元^*$与初始偏转角近似正交$\θ_0$.面向所有人百万美元^*$，涡环尺寸的类比($D_{vor}\sim二维$)当用摆周期缩放涡度时发现(T美元$). 基于Strouhal数的理论涡旋脱落时间尺度被证明与使用我们的DOT方法的实验确定的涡旋脱落的时间相吻合，表明它是涡旋脱落开始的可靠预报器。而分离时间和涡结构的初始速度取决于质量比百万美元^*$，终端速度与百万美元^*$.

基于振荡周期和振幅包络，我们发现振幅衰减与百万美元^*$。当出现以下情况时，会出现最佳阻尼$m^*\约2.5$质量相关结构阻尼和复杂涡动力学的结果有助于加强海上基础设施、水下采矿作业和起重船的海上稳定性。此外，这突出了了解附加质量、（非线性）阻力和涡旋动力学等潜在机制的重要性，以更好地理解流体和结构之间的相互作用，而不仅仅是对于稠密流体中的摆。最后，再次指出了简陋摆在解决流体动力学研究中的基本问题方面的吸引力。

补充材料

补充电影可在https://doi.org/10.1017/jfm.2023.170.

鸣谢

T.G.感谢N.Kaiblinger在数字目标跟踪方面的贡献。

基金

本研究由奥地利科学基金会（FWF，P33493-N）、基督教多普勒研究协会、奥地利联邦数字和经济事务部以及奥地利国家研究、技术和发展基金会（T.G.，K.R.，D.W.）资助。

利益声明

作者报告没有利益冲突。

数据可用性声明

本研究期间分析的数据集可由相应作者根据合理要求提供。

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图1。 (一)测量系统，包括四个高速摄像机和一个双腔高速激光器。(b条)实验装置的侧视图。(c（c）)实验装置的平面图。

表1。球体的材料特性D美元=12.71$mm用于实验。

图2。 (一)漩涡跟踪的示例图像显示了两个大小相等的漩涡及其相应的边界框，以及之前时间步的轨迹。(b条)基于第一次振荡周期的涡结构可视化的等表面值。

表2。质量比百万美元^*$，第一个振荡周期的周期T美元$，第一次摆动结束时的最大角度位置$\θ_{max}$.

图3。重型球形摆的当前实验[1.14，14.95]美元$绘制为填充的黑色钻石，而Mathai绘制的重圆柱形摆的实验数据等。（2019）绘制为紫色方块。(一)标准化振荡频率$f^*=f/f_n$对于不同的百万美元^*$. (b条)振幅包络线$\theta_{\tau_{ref}}$相对于归一化振荡频率$f美元^*$过了一段时间$\tau_{ref}=3{\rm\pi}\sqrt{L/g}$.