3.1全球热量和动量输送

我们从分析开始Ra美元$依赖$努$和$再保险$，使用定义

$$\开始{eqnarray}\显示样式Nu\equiv\langle|\unicode[STIX]｛x2202｝_{z} \unicode[STIX]{x1D703}|\rangle_{z=0}/\langle|\unicode[STIX]{x2202}_{z} \unicode[STIX]{x1D703}_{c} |\rangle_{z=0}，\quad Re\equiv\sqrt{\langle\boldsymbol{U}^{2}\rangle_{V}}\，L/\unicode[STIX]{x1D708}，&&\displaystyle\nonumber\end{eqnarray}$$

哪里$\langle|\unicode[STIX]{x2202}_{z} \unicode[STIX]{x1D703}_{c} |\rangle _｛z=0｝$是考虑受相同BC影响的纯导电系统的热流密度大小（此处${\textstyle\frac{1}{2}}\langle|\unicode[STIX]{x2202}_{z} \unicode[STIX]{x1D703}_{c} 范围{z=0}大约1.12$)和$Re$基于总动能。结果如图所示2首先，我们观察到$努$和$再保险$CHC（纯黑）和SHC（开放色）的匹配非常好，在整个参数范围内绝对值几乎相等。因此，这两种设置都可以用于研究HC中的全球热量和动量传输。然而，流动结构存在差异，这将在§3.2.

图2。(一)的对数-对数图$努$与Ra美元$对于$Pr=0.1$（圆圈），$Pr=1$（正方形）和$Pr=10$（菱形）表示CHC（闭合符号）和SHC（开放符号）。(b条——d日)的绘图$再保险$基于$\langle\boldsymbol{U}^{2}\rangle_{V}$（圆圈）和（共个）$Re_{+}$基于$\langle\boldsymbol{U}^{2}\rangle_{+}$（平方），仅加热板上方的平均动能。标尺中的第一次起爆与§3.2; 其他不规则性与流态的变化相对应–例如(c（c）) $Ra\约10^{11}$以及羽流状态的开始-如图所示4。直线刻度线是眼睛的指南。

DNS揭示了一种相当复杂的缩放依赖性，具有多重转换。图中从左到右2(一)我们发现以下情况。第一，$Nu\sim-Ra^{1/4}$用于较低Ra美元$，对应政权$\text（美元）{我}_{l} ^｛\ast｝$在中参考资料：Shishkina、Grossmann和LohseSGL公司模型，之前由Shishkina&Wagner支持(参考Shishkina和Wagner2016)还有拉姆和汉森(参考Ramme和Hansen2019). 作为Ra美元$增加，所有三组数据百万美元$显示一个相当尖锐的缩放过渡$Nu\sim-Ra^{1/5}$注意，关键Ra美元$，在发生这种转变的地方，随着百万美元$. The${\sim}Ra^{1/5}$规模似乎持续到了我们的最高水平Ra美元$对于$Pr=0.1$.制度$\text{二}_{l}$的参考资料：Shishkina、Grossmann和LohseSGL公司我们的DNS中没有观察到该模型，因为$Pr=0.1$对这个政权来说仍然太大了（帕萨贾、斯科蒂和怀特参考Passaggia、Scotti和White2018). 对于$Pr=1$和$10$，曲线再次上升Ra美元$导致缩放指数约为0.24和0.23。图2(b条——d日)显示$Re\sim-Ra^{2/5}$对于小型Ra美元$（制度$\text（美元）{我}_{l}$)和$Re\sim-Ra^{1/3}$对于较大的Ra美元$而且没有$\text（美元）{我}_{l} ^{\ast}$低谷状态百万美元$然而，当$再保险$基于$\langle\boldsymbol{U}^{2}\rangle_{+}$，其中$\langle\cdot\rangle_{+}$表示加热板上方的平均时间和体积，我们发现缩放转换与$努{-}镭$图形的变换2(一). 一般来说$再保险$缩放对其空间平均域很敏感。这显示了HC流的非均匀性。为了解释缩放转换，我们将进一步仔细观察流拓扑及其变化，并将它们与缩放关系中的转换联系起来。

3.2动力学：羽流和振荡

总的来说，HC动力学具有丰富的流动结构和不稳定性转变。Paparella&Young公司(参考Paparella和Young2002)观察到HC流量随着增长而变得不稳定Ra美元$，虽然更高-百万美元$流量在更大范围内保持稳定美元Ra$Chiu-Webster、Hinch&Lister(参考Chiu-Webster、Hinch和Lister2008)还有拉姆和汉森(参考Ramme和Hansen2019)注意到高粘性流动中存在时间相关流动。盖恩等人。(证明人盖恩、格里菲斯和休斯2014)显示，用于$Pr=5$和变化Ra美元$流动经历了一系列的稳定性转变，首先是BL中羽流的增长，然后是较高温度下的对流滚动Ra美元$，最后显示热BL上方区域内的全三维湍流$Ra\大约5\乘以10^{11}$Passaggia、Scotti和White的线性稳定性分析(参考Passaggia、Scotti和White2017)的$Pr=1$支持这些发现，并表明绕流向轴的三维滚动和二维（2-D）瑞利-泰勒（RT）不稳定性之间存在竞争。苏哈诺夫斯基发现，前者似乎在更广的细胞中占主导地位等。(参考Sukhanovsky、Frick、Teymurazov和Batalov2012)而后者似乎与狭窄细胞中的无滑移BC最相关。Sheard和King(参考剪切和主剪切2011)发现非定常流动的开始与垂直约束无关0.16美元\leqslant\unicode[STIX]｛x1D6E4｝\leqslant 2$和帕萨吉亚等。(参考Passaggia、Scotti和White2018)观测到二维羽流不稳定性的最大增长$\unicode[STIX]{x1D6E4}=6$还研究了BL合成喷气发动机（Leigh、Tsai和Sheard）的HC不稳定性参考Leigh、Tsai和Sheard2016)，2-D HC（蔡等。 参考Tsai、Hussam、Fouras和Sheard2016)和不同温度的BC（Tsai等。 参考蔡、胡珊、金和谢尔德2020).

在我们的DNS中，我们发现存在二维RT不稳定性，其表现为出现在加热板上方的剪切羽流，并向端壁（CHC）或中心（SHC）移动，如图所示三(一). 然而，对于小型百万美元$特别是在SHC流中，我们发现在羽流出现之前有一种不同的时间依赖性行为，这是一种振荡不稳定性，破坏了SHC的对称性(三b条). 这些羽流和振荡引起的向非稳态的转变解释如下。

图3。的温度场快照(一)分离羽流($Pr=10$,$Ra=10^{10}$)和(b条)振荡($Pr=0.1$,$Ra=3\乘以10^{8}$)在SHC中。

3.2.1羽毛

就时间尺度而言，如果RT不稳定性发展的时间尺度$T_{RT}$比平流时间尺度短$T_{wind}$大规模风力：$T_{RT}/T_{wind}<C_{p}$，对于某个常量$C_{p}$. The美元$-RT不稳定性的折叠时间尺度（RT不稳定性按因子增长的特征时间尺度1美元/年$)等于$T_{RT}\sim\unicode[STIX]{x1D708}^{1/3}/（\unicode[STIX]{x1D6FC}克\unicode[STIX]{x1D6E5}）^{2/3}$（钱德拉塞卡参考Chandrasekhar1981)风速的时间尺度等于$T_{wind}\sim L^{2}/（Re\，\unicode[STIX]{x1D708}）$，这导致了一个估计

(3.1)$$\开始{eqnarray}\显示样式T_{wind}/T_{RT}=Ra^{2/3}/（Re\，Pr^{2/3}）。&&\显示样式\end{eqnarray}$$

由于预计羽状体的分离机制很大百万美元$，我们利用比例关系$Re\sim价格^｛-1｝Ra^{1/2}$政权的$\text（美元）{我}_{l} ^{\ast}$（见表1)，它提供$T_{wind}/T_{RT}\sim-Pr^{1/3}Ra^{1/6}$因此$Pr^{1/3}Ra^{1/6}$，或等效临界值百万美元^{2} Ra公司$，决定了分离羽流的开始。注意常数的绝对值$C_{p}$可以通过模拟或实验数据确定。这个关系表明，对于低百万美元$，关键Ra美元$增加。从物理上解释，较低的风速较大-百万美元$流动将生长中的羽流快速平流到端壁（CHC）或中心（SHC），然后才能与热BL区分开来。

实心红色曲线百万美元^{2} Ra公司\约10^{11}$在图中4(一)和4(b条)对百万美元$和Ra美元$羽状体主导的政权开始的依赖性。但是，使用$再保险$从DNS而不是参考资料：Shishkina、Grossmann和LohseSGL公司模型，即$Re\sim-Ra^{2/5}$（图2b条)和$Re\sim价格^{-1}$（Shishkina和Wagner参考Shishkina和Wagner2016)，连同(3.1)，我们获得${\sim}Pr^{5/4}Ra$事实上，DNS（图中的虚线曲线4)支持常量$Pr^{5/4}Ra大约9乘以10^{10}$决定了分离羽流状态的开始。

在更高的Ra美元$，羽流将更快地分离，并且足够大Ra美元$有人发现有多个羽流从热BL上脱落。这一现象是在帕萨吉亚报道的等。(参考Passaggia、Scotti和White2017)的$Ra=9\乘以10^{14}$在那里，在进入对流不稳定区域后立即可以看到羽流。

图4。这个Ra美元$——百万美元$流动动力学的相空间：稳定（菱形）、振荡（方形）、羽流（三角形）和混沌（圆形）。中的实线(一)和(b条)显示了理论预测的振荡起始点和羽流状态，红色虚线表示半经验预测的羽流状态起始点。其他四个地块(c（c）——（f）)显示进入加热板左半部（红色）和通过加热板右半部（灰色）的热流的演变，在振荡状态下，热流处于反相（用虚线表示(d日)和(e（电子）)). 羽流分离的归一化频率$f_{p}$和振荡运动$f_{o}$是(c（c）) $f_{p}\约0.298$, (d日) $f_{p}\约0.522$和$f_{o}\约0.070$, (e（电子）) $f_{o}\约0.068$和(（f）)混乱。

3.2.2振动

SHC中的层流可以被认为是两个亚单元中的对流流在中心相遇并在相反方向循环的结构。在讨论振动时，我们指的是这两个大型结构物的水平运动，并分析了两个辊相遇位置的振动运动。该位置围绕细胞的几何中心周期性地振荡，从而打破其对称性。

按照与上一节相同的策略，振荡的开始可以简化描述如下。假设中心线附近的一个子单元中存在温度波动，由于浮力，导致局部速度变化$\unicode[STIX]{x0394}v$流体包裹在粘性力的作用下向上运动（相对于基流）。随着速度的增加，根据伯努利定理，压力下降，从而在两个对流亚胞之间产生水平压力梯度。这基本上反映了压力项在Navier–Stokes方程中的潜在作用，它可以在不同方向的模式之间传递能量（Batchelor参考批次器1953). 因此，垂直方向的力（浮力）会引起水平振动。

图5。动力耗散率与$再保险$（定义见§三)，用于(一,d日) $Pr=0.1$, (b条,e（电子）) $Pr=1$和(c（c）,（f）) $Pr=10$在(一——c（c）)CHC和(d日——（f）)上海通用汽车。垂直虚线表示相应的振荡（O）和羽流（P）。所示为总耗散率($\unicode[STIX]{x1D716}_{u}$)以及平均流量的贡献($\上划线{\unicode[STIX]{x1D716}_{u} }$)整个领域的平均值$\langle\cdot\rangle_{V}$或加热板上方区域的平均值$\langle\cdot\rangle_{+}$。负斜率（倾斜虚线）显示$\unicode[STIX]｛x1D716｝_{u} \sim回复^{2}$; 正斜率显示$\unicode[STIX]{x1D716}_{u} \sim回复^{3}$.

斯托克斯流的特征速度为$\unicode[STIX]{x0394}v\sim（\unicode[STIX]{x1D6FC}克\统一码{x0394}左^{2} ）/\unicode[STIX]{x1D708}$时间尺度是$T_{p}\约L/（\unicode[STIX]{x0394}v)=\unicode[STIX]{x1D708}/（\unicode[STIX]{x1D6FC}克\统一码{x0394}左)$这里的稳定剂是粘性力，它对对称的流动剖面起保护作用，粘性时间尺度为$T_{\unicode[STIX]{x1D708}}=L^{2}/\unicode[STIX]{x1D7008}$当剪切时间尺度变大时，振荡就会发生，无法在一定的恒定值$T_{\unicode[STIX]{x1D708}}/T_{p}$:

(3.2)$$\开始{eqnarray}T_{\unicode[STIX]{x1D708}}/T_{p}=Ra/Pr=Gr.\end{eqnarray}$$

我们的DNS结果（图4一,b条)表明临界值为$Ra/Pr大约5\乘以10^｛9｝$，支持上述物理图片。这与Paparella&Young的结果一致(参考Paparella和Young2002)他发现，向依赖于时间的流动的转变发生在$Ra/Pr约1.6\乘以10^{8}$不同的BCs解释了前因子之间的差异，并且它们的模拟是二维的。关于图形的两个备注4应该制作。首先，特别是对于低百万美元$，周期性振荡只存在于不稳定性开始的附近（图4e（电子）). 随着增长Ra美元$，流动变得混乱（图4（f）). 其次，我们无法确定CHC中振荡的状态，但发现其开始是一个具有类似趋势的时间依赖性且非羽流决定的流。

图6。热耗散率与$再保险$（定义见§三)的(一,d日) $Pr=0.1$, (b条,e（电子）) $Pr=1$和(c（c）,（f）) $Pr=10$在(一——c（c）)CHC和(d日——（f）)上海通用汽车。垂直虚线表示相应的振荡（O）和羽流（P）。所示为总耗散率($\unicode[STIX]{x1D716}_｛\unicode〔STIX〕｛x1D703｝｝$)以及平均流量的贡献($\上划线{\unicode[STIX]{x1D716}_{\unicode[STIX]{x1D703}}}$)整个领域的平均值$\langle\cdot\rangle_{V}$或加热板上方区域的平均值$\langle\cdot\rangle_{+}$.

图中不同的图4(c（c）——（f）)显示了在加热板上平均的垂直热通量的时间信号。如前所述，低-百万美元$流动显示出振荡和混沌行为，而对于大型流动百万美元$我们发现了羽流的存在以及羽流和振荡的组合。一般来说，分离羽流的频率比振荡频率大一个数量级（见图标题4). 仍需注意的是，图中所示的时间相关流量的起始位置4(一,b条)与…一致$努$和$再保险$过渡如图所示2(一,b条).

3.3耗散率

研究向依赖时间的流的转换如何影响全局尺度（§3.1)，我们现在分析动力学($\unicode[STIX]{x1D716}_{u}$)和热能($\unicode[STIX]{x1D716}_{\unicode[STIX]{x1D703}}$)耗散率和评估结果参考资料：Shishkina、Grossmann和LohseSGL公司模型。跟随Ng等。(参考Ng、Ooi、Lohse和Chung2015)，我们将耗散率分解为其平均值和波动部分：$\langle\unicode[STIX]{x1D716}_{u} \rangle_{V}=\langle\overline{unicode[STIX]{x1D716}_{u} }范围{V}+langle\unicode[STIX]{x1D716}_{u} ^{\prime}\rangle_{V}=\unicode[STIX]{x1D708}[\langle（\unicode[STIX]{x2202}U_{i} /\unicode[STIX]{x2202}x_{j} ）^｛2｝\langle _｛V｝+\langle（\unicode[STIX]{x2202}u_{i} ^{\prime}/\unicode[STIX]{x2202}x_{j} ）^{2}\范围_{V}]$这将使我们对波动在混合过程中的作用有一个定性的了解。此外，我们认为体积平均值仅限于加热板上方的域部分，$\langle\cdot\langle_｛+｝$我们预计这里的波动最为剧烈。

对于$\langle\unicode[STIX]{x1D716}_{u} 范围{V}$我们可以预期BL缩放${\sim}回复^{2}$,${\sim}回复^{5/2}$或批量缩放${\sim}回复^{3}$.图5在所有情况下都显示出非单调行为。首先，对于最低的$再保险$，缩放显示大约$\langle\unicode[STIX]{x1D716}_{u} \range_{V}\sim Re^{2}$与政体相对应的行为$\text（美元）{我}_{l} ^{\ast}$具有$Nu\sim-Ra^{1/4}$.作为$Re$增加，我们观察到$\langle\unicode[STIX]{x1D716}_{u} 范围{V}$导致补偿图中出现正斜率。突然增加的$\langle\unicode[STIX]{x1D716}_{u} 范围{V}$伴随着平均流量的耗散开始下降的区域。加热板上方区域的总动力耗散率$\langle\unicode[STIX]{x1D716}_{u} \范围{+}$增长更强劲Ra美元$，大部分能量在该区域内消散。的价值$再保险$如垂直虚线所示，第一次耗散增加的位置与向时间相关流的转变密切相关。随后，曲线再次下降到中间的斜坡${\sim}回复^{5/2}$和${\sim}回复^{3}$.对于高$再保险$尤其是对于低百万美元$，我们观察到平均流量的贡献$\langle\overline{\unicode[STIX]{x1D716}_{u} 范围{V}$不再占主导地位，这与穆拉尼的观察结果相符等。(参考Mullarney、Griffiths和Hughes2004)斯科蒂和怀特(参考斯科蒂和怀特2011)湍流波动开始在HC中占据主导地位。为了我们最高的美元Ra$和$Pr=1$（图5b条)向动荡政权的过渡${\sim}回复^{3}$出现，但更多数据点位于更高位置$再保险$我们需要扩大这一趋势。从图中可以看到的另一个现象5(一,d日)是这样的吗$再保险$,$\langle\unicode[STIX]{x1D716}_{u} 范围{V}$和$\langle\unicode[STIX]{x1D716}_{u} \范围{+}$先收敛，然后再稍微发散。这可以解释为，存在湍流的区域从加热板上方开始，但随后扩散到越来越大的区域。

在图中6用类似的方法分析了热耗散率。除了动力耗散外，不稳定性的开始没有明显的影响。此外，很明显，湍流波动对所有研究的贡献都很小Ra美元$总热耗散由其平均场贡献很好地描述。仅适用于我们最大的Ra美元$仅在加热板上方，平均流动耗散与总热耗散略有偏差。缩放比例约为$\unicode[STIX]{x1D716}_{\unicode[STIX]{x1D703}}\sim Re^{1/2}$到$\unicode[STIX]{x1D716}_{\unicode[STIX]{x1D703}}\sim Re^{3/4}$并且几乎不变。

总之，我们发现$\unicode[STIX]{x1D716}_{u}$在第一不稳定性开始的附近。如§3.1，表明不是一个“无标度”区域。平均耗散的贡献$\上划线{\unicode[STIX]{x1D716}_{u} }$逐渐减少，并且$再保险$我们观察到$\unicode[STIX]{x1D716}_{u} \sim回复^{3}$这暗示着向动荡政权的过渡。所有研究对象的温度波动Ra美元$与动力耗散的情况相比，对总热耗散率的贡献很小。