这期专刊收集了关于同伦类型理论和单价基础的论文。本研究领域研究类型理论、范畴理论和同伦理论交叉点的主题。例如，同伦和更高的范畴思想导致了依赖型理论和新的依赖型理论的新扩展，这些类型理论被用作证明助手，以形式化数学。2019年8月国际同源类型理论会议（HoTT 2019）由Steve Awodey、Andrej Bauer、Thierry Coquand、Nicola Gambino、Peter LeFanu Lumsdaine和Michael Shulman组成的科学组织于年在卡内基梅隆大学举行。MSCS特刊包含2019年HoTT会议上介绍的工作以及相关主题的工作。
本卷是本期特刊两卷中的第一卷。
我们从开始同伦类型理论中的立方方法和单叶基础Anders Mörtberg介绍了立方型理论和同伦型理论的立方模型，它们是第一个单价和更高归纳型的构造和计算模型。本文从用户的角度介绍了立方型理论的基础，并讨论了这些新型理论的数学基础。本文基于2019年霍特夏令营学校的一门课程。
继续立方体类型理论的主题，布鲁诺·本岑朴素立方体理论提出并探索了非形式化数学散文中的立方型理论词汇，填补了自该主题起源于计算机形式化以来一直强烈感觉到的空白，并与同伦类型理论书的原始动机之一相类似。
论教会在立方体集会中的命题Andrew Swan和Taichi Uemura对类型理论的反古、同伦非平凡解释进行了新的阐释，为他们的进一步研究提供了有力的工具。本文构建并研究了立方体组件；特别地，它表明Church的命题（CT）不适用于整个立方体装配模型，而是适用于反射子模型，表明CT与单价一致。
接下来的两篇论文将开发同伦类型理论在编程语言中的应用。概率规划同伦类型理论中的合成拓扑Martin E.Bidlingmaier、Florian Faissole和Bas Spitters使用合成拓扑来建模连续分布以进行概率计算。此数学设置用于解释具有概率选择的编程语言。
单价型理论中PCF的Scott模型Tom de Jong在单叶类型理论中开发并形式化了Scott（一般）递归模型，表明单叶基础支持编程语言的域理论指称语义的构造性和谓词形式化。该开发利用同伦命题和命题截断，通过子对象表示偏爱。
本卷的最后一篇论文给出了同伦类型理论在数学发展和形式化中的应用。早期的工作在单价基础上发展了范畴理论，探索了在基于空间而非集合的基础上定义范畴时出现的有趣问题。单价基础中的双类别Benedikt Ahrens、Dan Frumin、Marco Maggesi、NiccolóVeltri和Niels van der Weide将这些思想扩展到了双类别（弱2类），并在Coq的UniMath库中开发了一个形式化的双类别理论库。
