一般来说，在统计学理论中，观测值是独立的。然而，在许多自然现象中，独立性假设通常是一种近似值，对实际数据无效。因此，在过去的二十年里，依赖模型观测的随机过程受到了极大的关注。它们已应用于宇宙学、地球科学、金融学、基因组学、胚胎学、水文学和电信等不同学科的时空数据。研究具有相关性的统计模型，特别是此类数据的长程相关性和空间相关性对于时间序列和空间分析非常重要。
根据依赖结构的类型，引入了不同类型的随机过程。本文主要研究长程相关随机过程。本文的主要目标是研究和开发时空长相关数据的随机模型和统计方法。这些数据被建模为球形随机场和函数时间序列的实现。在文献中，各向同性高斯球面随机场被用作标准随机模型，描述各种天体物理、宇宙学和环境数据[参考Marinucci和Peccati7]. 谱方法在研究和研究具有均匀和各向同性特性的二阶随机场时非常重要（参见[参考Yadrenko9]).
在本文的第一部分中，我们主要考虑单位球面上定义的随机场及其宇宙学应用。第一和第二个研究方向的主要动机是调查空间数据中的非高斯性和其他异常。所实现的方法被应用于普朗克任务的宇宙微波背景辐射（CMB）数据。多重分形和多重分形的概念在研究潜在随机场的性质方面起着重要作用。尽管多重分形和多重分形方法已被广泛用于一维情况，但它们在多维情况或流形上的应用尚不发达。本文将多重分形和多重分形理论的应用扩展到球面随机场的情况。
研究的第三个方向是长程相关数据的统计推断，特别考虑了循环长记忆过程。众所周知，这些过程的谱密度在非零频率下具有奇点，这在极限定理中起着重要作用（参见[参考Olenko8]). 推导了具有非零频率谱奇异性的函数时间序列的推断统计量。特别地，得到了循环长相关时间序列两个参数的同时估计。
首先，研究了球面随机场的多重分形行为。Rényi函数在多重分形随机场的分析中起着关键作用。它量化了表面或轨迹特征的变化以及图像分辨率或比例的变化。在文献中，有三种球面随机场的多重分形模型，其中Rényi函数是明确已知的[参考Leonenko和Shieh6]. 本研究对现有的多重分形模型进行了研究，提出了几种新的理论模型和数值多重分形研究。建立了球面随机场的新的多重分形模型，从而可以显式地计算Rényi函数和多重分形谱。对于所考虑的所有模型，导出了多重分形谱的具体公式。研究了所有情况下Rényi函数和多重分形谱的行为，以及Rénnyi函数对这些模型标度参数的依赖性。
然后，应用所开发的方法分析来自普朗克任务的CMB数据。对CMB天球不同窗口的CMB数据进行了广泛的Rényi函数数值研究。计算了经验Rényi函数，以验证实际CMB数据与所考虑的理论模型的一致性。现有和新开发的多重分形模型适用于实际CMB数据，以检查CMB数据中是否存在任何非高斯性。结果表明，对于当前可用的分辨率，CMB数据可能存在非常小的多重分形。
其次，研究了球面随机场的多重分形行为。发展了两种方法来研究这些随机场的多重分形。广义多分数布朗运动被用作CMB数据的主要随机模型。它的Hölder规律可能会有很大变化。Hölder指数用于以严格的数学方法测量随机场的粗糙度[参考Ayache和Véhel3]. 传统上，点态Hölder指数的估计通常采用二次变分法。通过分别考虑HEALPix环和嵌套排序方案，估算了CMB温度强度的一维和二维区域的逐点Hölder指数值。然后，使用开发的多重分形方法对CMB温度强度进行统计分析，检测修复CMB图中的潜在CMB异常，并将所得结果与文献中可用的其他方法进行比较。结果表明，在CMB天球中，估计的逐点Hölder指数随位置的变化而变化。因此，分析表明CMB温度强度是多重分形的。所建议的方法用于发现CMB异常，这些异常大多位于CMB天球的银河区域。确定的CMB温度各向异性与不可靠CMB温度强度的TMASK一致。
最后，研究了循环长记忆过程同时估计的渐近行为。虽然循环长记忆过程的参数估计已经引起了大量研究，但同时估计长记忆参数和奇异参数是一个具有挑战性的问题。值得注意的是，关于拟议估计器的推断统计数据，人们知之甚少。出版物[参考Alomari、Ayache、Fradon和Olenko1]提出了一种利用广义滤波矩方法同时估计长记忆和奇异位置参数的半参数估计方法。在这项研究中，我们继续研究了这些同时估计量，并导出了它们的渐近性质。研究了一类具有谱奇异性的Gegenbauer型半参数模型。证明了广义滤波矩估计量的渐近正态性和相合性。此外，针对循环长记忆过程，提出了一种新的调整同时估计量，并研究了它们的性质。该方法包括小波变换作为一种特殊情况。对Meyer、Shannon和Mexican-hat小波进行了数值检验，并进行了大量的模拟研究，以证明理论发现。
使用Maple 2019.0、Python版本3.9.4和R版本4.0.3软件对所有模型进行了实现和数值研究。实现的计算技术可以作为源代码在线免费获得。本文得到的结果和开发的计算技术可以应用于其他球面、地球科学、定向、环境和医学成像数据。
论文的主要结果已发表在论文中[证明人Ayache、Fradon、Nanayakkara和Olenko2,参考Broadbridge、Nanayakkara和Olenko4,参考Leonenko、Nanayakkara和Olenko5].
