刘欣;张扬 四元数代数上的矩阵。 （英语） Zbl 07806657号 Moslehian，Mohammad Sal（编辑），矩阵和算子方程及其应用。查姆：斯普林格。数学。在线首次收集。，139-183 (2023). 本文综述了四元数代数上矩阵的几种强大的实表示和复表示。这包括拆分四元数和双四元数及其应用。应用包括求解一些矩阵方程（Sylvester、Stein、Lyapunov）和计算奇异值（相应的，特征值）分解。在这方面，引入了广义四元数矩阵的三个实表示和一个复表示，并用它们来求解方程（AXB+C{X^*}D=E），找到（X=pm{X^*}）的解，以及（AXD=B）的最小二乘问题。进一步，考虑了分裂四元数上的矩阵，并用两种新的实数表示法求解了两类矩阵方程。还导出了某些分裂四元数矩阵方程的最小二乘（反）厄米解。最后，构造了椭圆双四元数矩阵的特征值、特征向量和奇异值（分别是特征值）分解，并应用它们给出了某一广义约化双四元代数上矩阵方程（AXC=B）的最小二乘解。关于整个系列，请参见[Zbl 07753141号].审核人：米哈伊尔·沃伊库 MSC公司： 15A24号 矩阵方程和恒等式 15甲18 特征值、奇异值和特征向量 47A62型 包含线性算子且算子未知的方程 15立方厘米 特殊环上的矩阵（四元数、有限域等） 关键词：四元数;四元法;矩阵方程 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{X.Liu}和\textit{Y.Zhang}，in：矩阵和算子方程及其应用。查姆：斯普林格。139-183（2023；Zbl 07806657） 全文： 内政部 参考文献： [1] Akyiit，M.、Kösal，H.H.和Tosun，M.（2014）。斐波那契广义四元数。应用Clifford代数的进展，24，631-641·兹比尔1321.11020 [2] Beik，F.P.A.和Ahmadi-Asl，S.（2015）。四元数矩阵方程（η）-（反）-Ermitian最小二乘解的迭代算法。线性代数电子杂志，30，372-401·Zbl 1326.65054号 [3] Bihan，L.N.、Miron，S.N.和Mars，I.J.（2007年）。使用双四元数的矢量传感器阵列的Music算法。IEEE信号处理汇刊，55（9），4523-4533·Zbl 1390.94260号 [4] Catoni，F.、Cannata，R.、Nichelatti，E.和Zampetti，P.（2005）。超复数和超复数变量的函数：矩阵研究。应用Clifford代数的进展，15，183-213·Zbl 1108.30040号 [5] Catoni，F.、Cannata，R.和Zampetti，P.（2006）。交换四元数简介。应用Clifford代数的进展，16，1-28·兹比尔1207.30073 [6] Chu，K.E.W.（1987）。矩阵方程的解（AXB − CXD公司 = E和（Y A） − DZ公司，\（Y C\） − BZ公司) = \（（E，F）\）。线性代数及其应用，93，93-105·Zbl 0631.15006号 [7] Cokle，J.（1849）。关于涉及一个以上假想的代数系统和五次方程。哲学杂志（第三辑），35，434-437 [8] Conway，H.J.和Smith，D.（2003）。关于四元数和八元数：它们的几何、算术和对称性。A.K.Peters有限公司·Zbl 1098.17001号 [9] Cvetković-Ilić，D.S.、Alegra，D.和Koliha，J.J.（2007）。方程的正解和实正解 = c*-代数中的c\）。线性和多线性代数，55（6），535-543·Zbl 1180.47014号 [10] Cvetković-Ilić，D.S.（2008年）。矩阵方程的Rennd解 = C\）。澳大利亚数学学会杂志，84，63-72·Zbl 1157.15012号 [11] 埃尔多杜·M·和奥兹德米尔·M·（2013a）。关于分裂四元数矩阵的特征值。应用Clifford代数的进展，23，615-623·Zbl 1296.15005号 [12] 埃尔多杜·M.和奥兹德米尔·M.（2013b）。关于复数分裂四元数矩阵。应用Clifford代数的进展，23，625-638·Zbl 1292.15032号 [13] 埃尔多杜·M.和奥兹德米尔·M.（2013c）。具有未知项的双边线性分裂四元数方程。线性和多线性代数，63（1），97-106·Zbl 1311.15005号 [14] Erhan，A.和Yasemin，Y.（2018年）。广义和广义对偶四元数的不同极表示。应用Clifford代数的进展，28，77·Zbl 1446.16019号 [15] Futorny，V.、Klymchuk，T.和Sergeichuk，V.（2016）。矩阵方程的Roth可解性准则{十} B类=C\）和\（X-A\hat{十} B类=C\）在具有对合自同构的四元数斜场上。线性代数及其应用，510，246-258·Zbl 1352.15018号 [16] 郭立、朱明、葛欣（2011）。约化双四元数正则变换、卷积和相关。信号处理，91，2147-2153·Zbl 1217.94029号 [17] 哈密尔顿·R·W（1844）。关于四元数，或者关于代数中的一个新的想象系统。哲学杂志，25（3），489-495 [18] 汉密尔顿·R.W.（1853）。四元数讲座。爱尔兰皇家科学院 [19] 何海忠、王伟强（2013）。一个实四元数方程及其应用。线性和多线性代数，61（6），725-740·Zbl 1317.15016号 [20] Horn，A.R.和Zhang，Z.F.（1244）。复自Takagi因式分解到四元数矩阵的推广。线性和多线性代数，60（11/12），1239-1244·Zbl 1259.15018号 [21] Huang，P.L.（1996）。矩阵方程\（AXB − GXD公司 = 四元数域上的E）。线性代数及其应用，234197-208·Zbl 0840.15017号 [22] Inalcik，A.（2016）。广义四元数上的相似关系和半相似关系。应用Clifford代数的进展，27（2），1-13 [23] Isokawa，T.、Nishimura，H.和Matsui，N.（2010年）。交换四元数和多状态hopfield神经网络。程序中。国际联合协调神经网络。，（第1281-1286页） [24] Ivanov，S.和Zamkovoy，S.（2005）。Paraermitian流形和Paraquatronic流形。微分几何及其应用，23，205-234·Zbl 1115.53022号 [25] Jafari，M.和Yayli，Y.（2015年）。广义四元数及其代数性质。安卡拉科技大学传播学院系列A1：数学与统计，64（1），15-27·Zbl 1354.15022号 [26] Jiang，S.T.、Jiang、W.Z.和Zhang，Z.Z.（2015）。分裂四元数力学中分裂四元数阵对角化的代数技术。数学物理杂志，56（8），1-8·Zbl 1327.15014号 [27] Jiang，S.T.和Wei，S.M.（2003）。关于矩阵方程的解 − \（AXB = C\）和\（X-A\上划线{十} B类=C\）。线性代数及其应用，367225-233·Zbl 1019.15002号 [28] Jiang，S.T.，Zhang，Z.Z.，&Jiang and W.Z.（2018年）。分裂四元数力学中薛定谔方程的代数技术。计算机与数学应用，75（7），2217-2222·Zbl 1409.82007号 [29] Klimchuk，T.和Sergeichuk，V.V.（2014）。一致性和四元数矩阵方程{十} B类=C\）和\（X-A\hat{十} B类=C\）。特殊矩阵，2180-186·Zbl 1310.15022号 [30] Kösal，H.H.和Tosun，M.（2014）。交换四元数矩阵。应用Clifford代数的进展，24，769-779·兹比尔1307.15022 [31] Kösal，H.H.、Akyiit，M.和Tosun，M.（2015）。交换四元数矩阵的一致性。Miskolc数学笔记，16（2），965-977·Zbl 1349.15081号 [32] Kösal，H.H.、Akyiit，M.和Tosun，M.（2016）。关于分裂四元数与矩阵的一致性以及分裂四元数列矩阵方程的解。阿勒勒学院（Anale Stinitifice ale Universitatii Ovidius Constanta），马特马提卡岛（Seria Matematica），24（3），189-207·Zbl 1389.15053号 [33] Kuipers，B.J.（1999）。四元数和旋转序列。普林斯顿大学出版社·Zbl 1053.70001号 [34] Lam，Y.T.（2005）。域上二次型的介绍。数学研究生课程（第67卷）。美国数学学会·Zbl 1068.11023号 [35] Liu，X.（2018）。一些经典矩阵方程的（η）-反厄米特解。应用数学与计算，320264-270·Zbl 1426.15021号 [36] Liu，X.和Zhang，Y.（2019a）。分裂四元数矩阵方程的一致性 − XB公司 = 塞浦路斯 + D\）和\（X\） − \（AX^⋆B = 塞浦路斯 + D\）。应用Clifford代数的进展，29，64·Zbl 1420.15013号 [37] Liu，X.和Zhang，Y.（2019b）。最小二乘解\（X\） = 分解四元数矩阵方程（AXA^{}η = \（B）。应用科学中的数学方法，1-13 [38] Liu，X.和Zhang，Y.（2020）。最小平方\（X\） = 分裂四元数矩阵方程的±（X^{}η）*解 = \（B）。应用科学中的数学方法，43，2189-2201·Zbl 1448.15017号 [39] Liu，X.，&He，Z.（2020）。分裂四元数矩阵方程 = B）。巴纳赫数学分析杂志，14（1），228-248·Zbl 1429.15028号 [40] Liu，X.、Wang，W.Q.和Zhang，Y.（2019a）。四元数矩阵方程的一致性 − XB公司 = C\）和\（X\） − \（AX^⋆B = C\）。线性代数电子学，35，394-407·兹比尔1431.15010 [41] Liu，X.、Huang，J.H.和He，Z.（2019b）。四元数矩阵方程的实表示方法，涉及\（ξ\）-埃尔米特。工程中的数学问题，文章ID 3258349，8页·Zbl 1435.15022号 [42] Mamagani，B.A.和Jafari，M.（2013年）。关于广义四元数代数的性质。《新应用科学杂志》，2683-689 [43] Øzen，K.E.和Tosun，M.（2020年）。关于椭圆双四元数的矩阵代数。应用科学中的数学方法，43（6），2984-2998·Zbl 1447.15030号 [44] Ùzen，K.E.，&Tosun，M.（2018）\椭圆双四元数的（p）-三角法。应用Clifford代数的进展，28（3），1-16·Zbl 1410.11125号 [45] Pei，C.S.、Chang，H.J.和Ding，J.J.（2004）。用于信号和图像处理应用的可交换归约二元数及其傅立叶变换。IEEE信号处理汇刊，522012-2031·Zbl 1369.94257号 [46] Pei，C.S.、Chang，H.J.、Ding，J.J.和Chen，Y.M.（2008）。约化双四元数矩阵的特征值和奇异值分解。IEEE电路与系统汇刊I：常规论文，55，2673-2685 [47] Pottman，H.和Wallner，J.（2001）。计算线几何。柏林、海德堡、纽约：斯普林格·弗拉格·Zbl 1006.51015号 [48] 罗德曼·L（2014）。四元数线性代数主题。普林斯顿应用数学系列。普林斯顿大学出版社·Zbl 1304.15004号 [49] Rehman，A.、Wang，W.Q.和He，H.Z.（2015）。包含（η）-Hermicity的实四元数矩阵方程组的解。应用数学与计算，265945-957·Zbl 1410.15034号 [50] Roth，E.W.（1952年）。方程式AX公司 − \（Y B） = C\）和\（AX负极XB公司 = 矩阵中的C\）。美国数学学会会刊，3392-396·Zbl 0047.01901号 [51] Sangwine，J.S.、Ell，A.T.和Le Bihan，N.（2010年）。双四元数或复合四元数的基本表示和代数性质。应用Clifford代数的进展，21（3），1-30 [52] Sangwine，J.S.和Alfsmann，D.（2010年）。确定双四元数零因子，包括幂等元和幂零元。应用Clifford代数的进展，20（2），401-410·Zbl 1243.16019号 [53] Schtte，D.H.和Wenzel，J.（1990年）。数字信号处理中的超复数。会议记录-IEEE电路和系统国际研讨会，21557-1560 [54] 塞格雷，C.（1892年）。复数元素的实际表示和对双复数系统的扩展。Mathematische Annalen，40、413-467岁 [55] Simoncini，V.（2016）。线性矩阵方程的计算方法。SIAM评论，58，377-441·Zbl 1386.65124号 [56] Song，Q.C.，Chen，L.G.，&Liu，B.Q.（2012）。四元数矩阵方程的显式解 − \（AXF公司 = C\）和\（X-A\重叠{\sim}{十} F类=C\）。国际计算机数学杂志，89890-900·Zbl 1255.15004号 [57] Tian，Y.、Lin，X.和Zhang，Y.（2021）。广义约化双四元数矩阵方程的最小二乘解。费洛马，37（3），863-870 [58] Voight，J.（2021）。四元数代数。数学研究生教材（第288卷）。施普林格·兹比尔1481.11003 [59] Wang，G.，Guo，Z.，Zhang，D.，&Jiang，T.（2020年）。广义四元数代数上最小二乘问题的代数技术：四元数和分裂四元数理论中的统一方法。应用科学中的数学方法，43，1124-1137·Zbl 1457.15030号 [60] 《战争》，P.J.（1997）。四元数和凯利数：代数和应用。多德雷赫特：克鲁沃·Zbl 0877.15031号 [61] Wei，A.、Lin，Y.、Ding，W.和Zhao，J.（2022）。交换四元数Stein矩阵方程的最小二乘L结构和广义L结构问题的两种代数方法。计算与应用数学，41，251·Zbl 1524.15037号 [62] Wimmer，K.H.（1988）。矩阵方程\（X\） − \（AXB = C）和Roth定理的类似物。线性代数及其应用，109145-147·Zbl 0656.15005号 [63] Wu，L.，&Cain，B.（1996）。矩阵反问题的Re-nonnegative定解 = B）。线性代数及其应用，236137-146·Zbl 0851.15004号 [64] Yu，C.、Liu，X.和Zhang，Y.（2021）。关于椭圆双四元数矩阵。应用Clifford代数的进展，31，5·Zbl 1459.15033号 [65] Yu，C.，Liu，X.，&Zhang，Y.（2020年）。广义四元数矩阵方程 + CX^⋆D = E）。应用科学中的数学方法，43，8506-8517·Zbl 1453.15005号 [66] 袁福生（2012）。四元数矩阵方程（AXB）的最小二乘解 = C\）。信息计算与应用，307300-305 [67] 袁福生、田毅和李志明（2018）。关于归约双四元数矩阵方程的Hermitian解(AXB公司，CXD公司) = \（（E，G）\）。线性和多线性代数，1,1-19 [68] 袁福生（Yuan，F.S.）和王伟强（Wang，W.Q.）（2012）。四元数矩阵方程（AXB）的两类特殊最小二乘解 + CXD公司 = E）。线性代数电子杂志，23，257-274·Zbl 1250.65051号 [69] 袁福山、王伟强、于碧玉和田瑜（2017）。关于分裂四元数矩阵方程（AXB）的厄米解 + CXD公司 = E）。应用Clifford代数的进展，27（4），3235-3252·Zbl 1386.15036号 [70] 张欣（2004）。矩阵方程的厄米特非负定解和正定解 = C\）。应用数学电子笔记，4，40-47·Zbl 1067.15009号 [71] Zhang，X.，&Cheng，Y.M.（2003）。矩阵方程的秩约束厄米特非负定和正定解 = B）。线性代数及其应用，370163-174·Zbl 1026.15011号 [72] Zhang，X.F.，Mu，S.W.，Li，Y.，&Zhao，L.J.（2016）。四元数矩阵方程的特殊最小二乘解 + CXD公司 = E）。计算机与数学应用，72（5），1426-1435·Zbl 1357.65041号 [73] Zhang，Y.，&Wang，H.R.（2013）。一类包含\（η\）-埃尔米特的四元数矩阵方程组的精确解。应用数学与计算，222201-209·兹伯利1329.15045 [74] Zhang，N.Y.和Chen，S.B.（2022）\（mathcal{H}）-表示及其在广义Lyapunov方程和线性随机系统中的应用。IEEE自动控制汇刊，57，3009-3022·Zbl 1369.93115号 [75] Zhang，Z.Z.，Jiang，W.Z.和Jiang S.T.（2015）。分裂四元数力学中最小二乘问题的代数方法。应用数学与计算，269618-625·Zbl 1410.65118号 [76] Zheng，B.，Ye，L.，&Cvetković-Ilić，D.S.（2009年）。一些矩阵方程解的*同余类。计算机与数学应用，57（4），540-549·Zbl 1165.15303号 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。