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尼古拉斯·伯杰隆;皮埃尔·夏洛瓦;路易斯·加西亚（Luis E.García）。

\（\mathrm的Eisenstein上同调类{GL}_N\)在虚二次域上。 （英语） Zbl 1530.11053号

J.Reine Angew。数学。 797, 1-40 (2023).
有大量证据表明，一般线性群的Eisenstein上同调类的算术性质与（L）-函数的特殊值的合理性和完整性有关。本文中推广的一个经典示例如下。
给定\（α，β\in\mathbb{Q}/\mathbb2{Z}），设\（E_{2，（α，贝塔）}（τ）\是Poincaré上半平面（mathcal{H}）上二权相关的经典Eisenstein级数，其中\（τ\in\mathcal{H}）。对于任何算术子群\（\Gamma\subset\mathrm{SL}_2（\mathbb｛Z｝）\），其固定对\（（\alpha，\beta）\）模\（\mathbb｛Z｝^2 \），全纯\（1\）-形式\（E_｛2，（\alpha，\beta）｝（\tau）d\tau\）是\（\Gamma\）-不变量，并且表示算术群\（\Gamma\）相对于平凡系数系统的一阶上同调空间\（H^1（\Gamma，\mathbb｛C｝）\）中的一类。
这个Eisenstein上同调类的算术性质更容易通过传递到所谓的（p）-光滑Eisensstein级数\[E_{2，（alpha，beta）}^{（p）}（tau）=p\左（E_{2、（p\ alpha、beta）{（p\ tau）-E_{2是水平（p）的Hecke同余子群的一个子群，由（p）-平滑的Eisenstein级数表示的Eisenstein上同调类通过积分（p）平滑的Eissenstein 1-形式[\Phi{（alpha，beta）}^{（p）}:\Gamma\to\mathbb{C}]而产生同态^{\gamma\tau_0}E_{2，（\alpha，\beta）}^{（p）}（\tau）d\tau，其中基点\（\tau_0\in\mathcal{H}\）是任意的。的经典结果C.L.西格尔[高级解析数论。孟买：塔塔基础研究所（1980；Zbl 0478.10001号)]用广义Dedekind和表示（\Phi_{（\alpha，\beta）}^{（p）}）。另一方面，Siegel在[loc.cit.]中也表示了实二次场的函数在非正整数处的特殊值，即Eisenstein级数的周期。将这两个表达式结合在一起，就Dedeking和得出了这些特殊值的显式公式，其算术性质意味着有趣的完整性结果。
将Eisenstein上同调类的经典构造推广到{德国}_2\)字段数超过G.更难[发明数学.89，37–118（1987；Zbl 0629.10023号)]，及其完整性性质由同一作者在[Springer Proc.Math.Stat.245，51-82（2018；Zbl 1457.11072号)].
如果是\（\mathrm{GL}_N\)在\（\mathbb{Q}\）上，在[M.V.诺里，ICM 1994，690–696（1995；兹比尔0844.11039);R.Sczech公司，发明。数学。113，第3期，581-616（1993年；Zbl 0809.11029)]在研究全实域上L函数的算术性质方面非常有用。本文的目的是将这些结构推广到小组的情况{GL}_N\)在虚二次域\（k）上。在这种情况下，构造的结果证明了Sczech在[P.科尔梅兹，发明。数学。95，第1期，161-205（1989年；Zbl 0666.12008号)]用Kronecker-Eisenstein级数将（k）的有限延拓的Hecke（L）-函数的临界值表示为多项式，通过（k）在椭圆曲线上的扭点处计算CM。
审核人：Neven Grbac（普拉）

MSC公司：

11英尺75英寸 算术群的上同调
11层20 Dedekind eta函数，Dedekind-sums
11楼66 Langlands\（L\）-函数；单变量Dirichlet级数与函数方程
11楼67 自守（L）-级数的特殊值，自守形式的周期，上同调，模符号

关键词：

艾森斯坦上同调类;Dedekind总和;\（L\）-函数;赫克字符

引文：

Zbl 0478.10001号;Zbl 0629.10023号;Zbl 1457.11072号;Zbl 0844.11039号;Zbl 0809.11029;Zbl 0666.12008号
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\textit{N.Bergeron}等人，J.Reine Angew。数学。797，1--40（2023；Zbl 1530.11053）
全文： 内政部 arXiv公司

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