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于敏钟;奥斯汀·劳森

持久性曲线：总结持久性图的规范框架。 （英语） Zbl 1497.55008号

高级计算。数学。 48，第1号，第6号论文，42页（2022年）.
本文研究持久同调（PH）计算所得持久图的拓扑摘要。PH通过跟踪拓扑特征在某些变化参数上的变化来从数据集中提取拓扑信息；然后将这些信息存储为持久性图（PD）。然而，正如机器学习算法所要求的那样，PD空间不是希尔伯特空间。因此，研究人员提出了将PD映射到希尔伯特空间的各种方法，这一步骤被称为汇总PD，从而得到拓扑摘要。
总结PD有两种技术，即核函数和PD矢量化。本文选择后一种技术来提出一种统一的向量化PD框架，称为持久性曲线（PC）。一旦建立了个人电脑框架，作者将展示个人电脑如何适合现有的个人电脑摘要。为了清楚起见，作者通过PC展示了以下PD总结：寿命曲线、生命熵曲线、PD阈值、持久性景观、持久性轮廓和Euler特征曲线。在稳定性分析的背景下，构造了定理1，该定理可用于任何特定的PC，但持久性环境除外。利用该定理，对许多PC进行了稳定性分析，例如，寿命PC相对于Wasserstein距离（W_1）是条件稳定的，而在瓶颈距离（W_{infty}）下是不稳定的。
为了获得稳定的持久性总结，作者提出了两种PC变体，称为归一化持久性曲线和基于熵的持久性曲线。以寿命PC为例，证明了归一化寿命PC在（W_1）下是稳定的，在（W{infty}）下也是条件稳定的。这一发现引出了另一个问题：PC在正常化条件下会变得稳定吗？为了使PC在归一化后保持稳定，作者提出了三个条件，但需要注意的是，PC在归一前是有条件稳定的。以类似的方式，他们表明生命熵曲线相对于（W_1）和（W{infty}）是条件稳定的。PC的Python实现在Github中很容易获得：https://github.com/azlawson/PersistenceCurves网站
接下来，作者使用两个应用程序讨论了所提出的PC的计算效率、效率和实验稳定性：离散动力系统的参数确定和图像纹理分类。此外，还比较了PC和其他TDA方法的随机森林分类结果。数值实验表明，稳定性和分类性能可能没有高度相关性。例如，与Betti曲线和持久性统计数据相比，持久性环境（已经证明是稳定的）表现不佳。在高斯噪声的影响下，持久性图像表现优于其他PC，而持久性统计则表现不佳。
在最后一节中，作者通过显示两个不同的图像来警告用户，这两个图像会产生相似的PD，这反过来又会导致相似的PC。此外，他们注意到要选择合适的矢量大小来保留输入的信息。他们还根据其性能、稳定性和计算效率，提出了用于实际应用的归一化寿命曲线。
审核人：R.U.Gobithaasan（Terengganu）

引用于4文件

MSC公司：

55N31号 持久同源性及其应用，拓扑数据分析
62R40型 拓扑数据分析
68T09号 数据分析和大数据的计算方面

关键词：

持久同源性;拓扑数据分析;持久性图;持久性曲线;图像分类

软件：

乔托-塔达;github;持久性图像;叫做古迪辛;持久性曲线;Outex公司;开膛器.py;Scikit公司
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{Y.-M.Chung}和\textit{A.Lawson}，高级计算机。数学。48，第1号，第6号论文，42页（2022年；Zbl 1497.55008）
全文： 内政部 arXiv公司

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