斯蒂芬·盖斯;尤哈·伊琳娜 Wiener空间上的解耦，相关的Besov空间，以及BSDE的应用。 （英语） Zbl 1494.60002号 美国数学学会回忆录1335.普罗维登斯，RI:美国数学学会（AMS）（ISBN 978-1-4704-4935-3/pbk；978-1-4744-6751-7/电子书）。iv，112页。(2021). 为了定义一类广泛的各向异性Besov空间，本文讨论了Wiener空间上的解耦方法。作者引入的一类Besov空间不仅包含了用实数插值方法得到的传统各向同性Besov空，而且还包含了Wiener空间上新的各向异性Besov空域。这些新空间旨在研究倒向随机微分方程（BSDE）。作者对寻找类型为[Y_t=\xi+\int_t^t f（s，Y_s，Z_s）ds-\int_t ^t Z_s d W_s，\qquad t>0，\]的BSDE的适配解过程（（Y，Z）非常感兴趣，其中（xi:\Omega\to\mathbb{R}）是a（\mathcal{F} 时间（_T）\)-可测量的终端条件，\[f；[0，T]\times\Omega\times\mathbb{R}\times\ mathbb}R}^d\to\mathbb{R}\]是一个非马尔可夫的可预测随机生成器，并且（W=（W_t）{t\ in[0，t]}\）是一个（d）维布朗运动。这些注释的目的是以基本堆积的方式提供连续BMO鞅的理论，并将其应用于BSDE的定性研究。特别是，BMO-鞅理论中有两个关键成分，即Fefferman不等式和反向Hölder不等式。实际上，BSDE的应用包括几个精心选择的主题：例如，BSDEs关于高斯结构扰动的稳定性，BSDEs解的存在性和定量性质，尤其是在次二次和二次情况下，关于L_p的研究-BSDE的变化，以及对其他类型的BSDE应用。一般来说，BSDEs的仿真是一个重要的课题，也是一个积极研究的课题。事实上，人们需要一个BSDE的近似理论，例如，找到最佳时间网格或获得以适当方式测量的这些方案收敛速度的上下速率。为了研究这些近似性质，或多或少必须了解解（（Y，Z））的变分性质，即所有（0\leqsleat s<t\leqslait t）的\[Vert Y_t-Y_s\Vert_p\qquad\text{和}\qquat\left\Vert\left（\int_s^t\Vert Z_r\Vert^2 dr\right）^{1/2}\right\Vert_p的行为和一个适当的范围\（p\ in（0，\infty）\），其中\[\Vert\xi\Vert_p:=\Vert\xi\Vert_{L_p（\Omega）}=\left（\mathbb{E}\Vert\xi\Vert^p\right）^{1/p}\]用于随机变量\（\xi:\Omega\to\mathbb{R}\）。在这些注释中，作者开发了一种方法，根据数据的正则性（（xi，f））估计（2）的变化，其中正则性是用贝索夫空间表示的分数平滑度。他们的方法基于维纳空间的各向异性解耦。如果所讨论的BSDE中的生成器消失，也就是说，如果情况是\（f\equiv0），那么有一个是\[Y_t=\mathbb{E}（\xi\vert\mathcal{F} _（t）). \] 因此，在（f\不等于0）的情况下，映射\[G_t^f:\xi\to Y_t\]可以解释为沿着生成器\（f\）的某种广义非线性条件期望。结果表明，这些注释中的正则性概念对于这个非线性映射（G_t^f）是稳定的。此外，由于我们有\[\Vert Y_t-Y_s\Vert_p\leqslated\Vert Y_t-\mathbb{E}（Y_t\Vert\mathcal{F} _秒)\Vert_p+\Vert\mathbb｛E｝（Y_t\Vert\mathcal{F} _秒)-Y_s\Vert_p\]和自\（\Vert\mathbb{E}（Y_t\Vert\mathcal{F} _秒）-Y_s\Vert_p\）可以用标准方法处理，主要问题在于研究术语\[\Vert Y_t-\mathbb{E}（Y_t\Vert\mathcal{F} _秒)\Vert_p\qquad\text{for}\quad s\uparrow t.结果表明，这种行为对应于随机变量（Y_t）的（L_p）中的分数平滑概念。这里的关键点是\[\Vert Y_t-\mathbb{E}（Y_t\Vert\mathcal{F} _秒）\Vert_p\sim\Vert Y_t-Y_t^{（s，t]}\Vert_p \]用于\（p\in[1，\infty）\），其中\（Y_t^}（s、t]}\）是\（Y_t\）的解耦版本，在这些注释中采用的解耦方法的意义上。现在让我们快速了解一下这些笔记的内容。更准确地说，共有六章，包括二十四节，并附有技术事实附录。整本书保持了其易于阅读的风格，几乎所有主要结果的证明都以礼貌的方式进行了详细解释。参考书目中总共列出了94篇参考文献，包括15部专著。在第一章中，概述了主要思想以及背景和相关结果。第2章讨论一般因子分解。事实上，存在几种用于随机变量和随机过程的因子分解技术，它们具有通过正则空间对随机变量或过程进行因子分解的想法，该正则空间携带关于所讨论问题的典型信息，其中介绍了因子分解和将随机过程从一个随机基转移到另一个随机基础的方法，同时保持分布性和可测性。实际上，在第4章中，这个想法被系统地用作一个中间步骤，以解耦Wiener空间并生成各向异性的Besov空间。第3章讨论随机微分方程（SDE）的传递，其中上一章中的方法应用于Wiener空间，特别是由Brownian运动驱动的SDE。以下三章是本书的主体。第四章研究维纳空间上的各向异性Besov空间。首先介绍Wiener空间上的经典Besov空间。然后利用第二章中的解耦方法，在维纳空间上引入各向异性贝索夫空间。新构造的空间被设计成由BSDE生成的非线性条件期望将这些空间映射到自身。这一显著结果将在最后一章中说明。这一事实为BSDEs的解提供了变分估计。本章最后讨论了有界变分泛函和局部时间泛函的嵌入定理。第五章是关于连续BMO-鞅。作者提供了一些关于BMO空间和逆Hölder不等式的工具，并将其应用于非Lipschitz BSDEs，其中当考虑两个具有可测性、有界性和Lipschit连续性条件的逆方程时，得到了有用的结果：-随机积分中初始数据与被积函数（非马尔可夫可预测产生器）的差异是估计过程扰动时间上的上确界量的主要依据。最后一章，即第6章，专门介绍BSDE的应用程序，共有29页。这是本书中最长的一章。这一章充满了随机分析的精髓，写得很好。在这里，作者进一步将第2、3、4和5章的一系列结果应用于BSDEs。本章处理类型为：[Y_t=\xi+\int_t^t f（s，Y_s，Z_s）ds-\int_t ^t Z_s D W_s，\qquad t \ in[0，t]，\quad a.s.的BSDE。首先讨论了BSDE相对于高斯结构扰动的稳定性。其次，在附加条件的二次型情形下，证明了上述BSDE解的存在唯一性。此外，第五节讨论了BSDEs的L_p变异的推导。关键问题在于如何应用上述扰动结果（见§5.4），以获得有关BSDE的\（L_p\）变化的信息。最后讨论了它在其他类型BSDE中的应用，如多维BSDE和耦合前向SDE，具有奇异终端条件的BSDE，以及Lévy过程的扩展参数。总的来说，这本书是以一种完全独立的方式写成的。令人惊讶的是，几乎所有的证明都是明确给出的。至于小的例外情况，您需要阅读这个卷的所有内容都可以在这个卷中找到。因此，我可以说，这些注释写得很好，它是对具有基本预备知识的倒向随机微分方程理论的清晰综合，也可以作为对Wiener空间上的解耦方法和应用于BSDE随机演算的各向异性Besov空间的简要介绍。谁应该读这本书？在我看来，本笔记可以高度推荐给雄心勃勃的研究生和研究人员。审核人：Isamu Doku（斋戒） 引用于9文件 理学硕士： 60-02 概率论相关研究综述（专著、调查文章） 07年6月60日 随机变分法和Malliavin演算 60小时10分 随机常微分方程（随机分析方面） 46E35型 Sobolev空间和其他“光滑”函数空间、嵌入定理、迹定理 关键词：各向异性贝索夫空间;维纳空间上的解耦;倒向随机微分方程;插值。 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{S.Geiss}和\textit{J.Ylinen}，维纳空间上的解耦，相关的Besov空间，以及BSDE的应用。普罗维登斯，RI:美国数学学会（AMS）（2021；Zbl 1494.60002） 全文： 内政部 arXiv公司 链接 参考文献： [1] 艾劳，H\'{e} 我\`烯；任家刚；张西成，半鞅局部时间的光滑性，中国科学院。科学。巴黎S\'{e} r.（右）。我数学。，330, 8, 719-724 (2000) ·Zbl 0956.60043号 ·doi:10.1016/S0764-4442（00）00251-2 [2] 斯特凡·安科赫纳（Stefan Ankirchner）；彼得·伊姆凯勒（Peter Imkeller）；Dos Reis，Gon{c} 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