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赫里什·阿卜杜拉;安达姆阿里·穆斯塔法;弗朗西斯科·帕帕拉尔迪

拟秩Artin问题的密度。 （英语） Zbl 1489.11004号

功能。近似值，注释。数学。 65，编号1，73-93（2021）.
设\（\Gamma\）是有理数和\（\mathrm{Supp}（\Gamma）\）的有限生成乘法子群，素数集\（p\）不除以\（\Gamma\）的任何元素的分子或分母。对于任何素数（p不在mathrm{Supp}（Gamma）中），我们可以考虑约化群\（\Gamma_p=\{\Gamma\bmod p:\Gamma\ in\Gamma\}\）并将其视为有限域\（\mathbb F_p\）的乘法群\（\mathbb F_p^*\）的一个子群。
给定一个给定的整数\（m\），作者感兴趣的是素数\（P\）的集合\（\mathcal P（\Gamma；m）\），使得\。在广义黎曼假设下，已知这组素数有一个自然密度（ρ（γ，m）），由下式给出\[\rho（\Gamma，m）=\sum_{k\ge1}\frac{\mu（k）}{[\mathbb Q（\zeta_{mk}，\Gamma^{1/mk}）：\mathbbQ]}，\]使用\（zeta_d=e^{2\pii/d}\）和\（Gamma^{1/d}\）实数集\（alpha\），使得\（alfa^d\）位于\（Gamma\）中。
作者的主要结果显式地将\（\rho（\Gamma，m）\）计算为有理数倍Euler产品\[\prod_{\ell}\大（1-\frac{1}{（\ell-1）|\Gamma.\mathbb Q^{*\ell}/\mathbbQ^{*.ell}|}\Big），\]其中乘积的范围是奇数素数（ell），而不是除法（m）。
这延伸到第三作者早期的工作A.苏莎[《数学建筑学》101，第4期，319–330（2013；Zbl 1329.11004号)]早先在（Gamma）只包含正有理数的情况下建立了这个结果。作者得出了一个特例，其中\（\Gamma=\langle-1，a\rangle\）。他们还感兴趣的是确定在什么条件下\（\rho（\Gamma，m）=0\）以及在什么条件下\（\mathcal P（\Gamma；m）\）是一个有限集。
这些证明需要代数数论来评估所涉及的Kummer扩张的场度，此外还需要对具有几乎是乘法函数的参数的无限和进行相当技术性的操作。
结果得到了大量数值数据的补充，这些数据与理论结果吻合良好。
审核人：彼得·莫雷（波恩）

引用于1文件

MSC公司：

11A07号 同余；原始根；残渣系统
11号37 算术函数的渐近结果

关键词：

渐近结果;原始根

引文：

Zbl 1329.11004号

软件：

PARI/GP公司
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{H.Abdullah}等人，Funct。近似值，注释。数学。65，编号1，73--93（2021；Zbl 1489.11004）
全文： 内政部 arXiv公司

参考文献：

[1] L.Cangelmi和F.Pappalardi，关于\（r）-秩Artin猜想II，《数论杂志》75（1999），第1期，第120-132页·Zbl 0926.11086号
[2] C.胡利，关于Artin的猜想，J.Reine Angew。数学。226 (1967), 207-220. ·Zbl 0221.10048号
[3] 圣朗，代数，第二版，美国Addison-Wesley，1984年·Zbl 0712.00001号
[4] H.W.Lenstra，小。，关于全局域中的Artin猜想和Euclid算法，发明。数学。42 (1977), 201-224. ·Zbl 0362.12012号
[5] H.Lenstra、P.Moree和P.Stevenhagen，基本根密度的字符和，数学。程序。剑桥菲洛斯。Soc.157（2014），第3期，489-511·Zbl 1353.11104号
[6] P.Moree，近原始根，功能。近似注释。数学。48（2013），第1期，133-145·Zbl 1300.11006号
[7] P.Moree和P.Stevenhagen，计算更高秩的原始根密度，《阿里斯学报》。163（2014），第1期，第15-32页·Zbl 1353.11105号
[8] L.Murata，一个类似于Artin关于本原根猜想的问题及其应用，架构（architecture）。数学。（巴塞尔）57（1991），555-565·Zbl 0755.11029号
[9] A.穆斯塔法·阿里和F.帕帕拉尔迪，代数数乘法群的注记，正在准备中。
[10] A.穆斯塔法·阿里和F.帕帕拉尔迪，有理数群约简的可分性，正在准备中·Zbl 1310.11098号 ·doi:10.1090/S0025-5718-2014-02872-X
[11] F.帕帕拉迪，（r）秩Artin猜想，数学。公司。66 (1997), 853-868. ·Zbl 0883.11041号
[12] F.帕帕拉尔迪，有理数群约简的可分性，数学。公司。84 (2015), 385-407. ·Zbl 1310.11098号
[13] F.Pappalardi和A.Susa，乘法子群的Artin猜想的类似，架构（architecture）。数学。101（2013），第4期，319-330·Zbl 1329.11004号
[14] PARI集团，PARI/GP版本2.11.2，波尔多大学，2019年。
[15] A.Schinzel，Gerst关于幂剩余定理的改进，《阿里斯学报》。17 (1970), 161-168. ·Zbl 0233.10003号
[16] 小S.S.Wagstaff。，伪素数和Artin猜想的推广，《阿里斯学报》。41 (1982), 141-150. ·Zbl 0496.10001号
[17] E.维斯，代数数论，麦格劳·希尔，纽约，1963年·Zbl 0115.03601号
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