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娄英英;曾振兵

（新）（p）-平行体的质点积分不等式。 （英语） Zbl 1487.52006年

数学。不平等。申请。 24，第4期，1125-1134（2021）.
平行体是凸几何中的一个重要概念。设\（K，E\）是包含原点和\（R（K；E）=max\{R>0:rE\子集K\}\）的\（mathbb{R}^n\）中的凸体。对于\（-r（K；E）\leq\lambda<\infty），\（L_p\）平行体\（K+_{p}\lambdaE）定义为\[S^{n-1}}中的K+{p}\lambda E:=\bigcap_{u\left\{x\in\mathbb{R}^{n}:x\cdot u\leqsleat\left[h（K，u）^{p}+\mathrm{sgn}（\lambda）|\lambda|^{p{h（E，u）|{p}\ right]^{frac{1}{p}}\right\}。\]对于\（p=1\），无需要求\（K，E）包含原点。（通用）斯坦纳公式\[V（K+\lambda E）=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}W_i（K；E）\lambda^i，~\lambada>0，\]定义了与（E）（也称为（K）和（E）的混合体积）有关的（K）的相对quermassintegrals\（W_i（K；E）\）。
外部平行体（\（\lambda>0\））更为经典。对于内部平行体（\（-r（K；E）\leq\lambda<0）），M.A.Hernández Cifre先生和圣马力诺东部【Isr.J.Math.177，29–47（2010年；Zbl 1207.52004号)]研究了案例（p=1），和A.R.马丁内斯·费尔南德斯等。【进一步研究（L^p\）-Brunn-Minkowski理论：凸体的差异。穆尔西亚大学（博士论文）（2016）；Rev.R.Acad.Cienc.Exactas Fís.Nat.，Ser.a Mat.，RACSAM 110，No.2，613–631（2016；Zbl 1352.52002号)]介绍并研究了一般情况。Hernández Cifre和Saorín[loc.cit.]首先为（p=1）建立了内部平行体的质点积分的尖锐上界，后来又由Y.Lou先生等【加拿大数学杂志，第74期，第2期，368–380页（2022年；Zbl 1489.52007年)]对于\（p>1\）。
在本文中，作者注意到，内部平行体只需使用（0）-极值法向量即可定义，即：，\[K+_{p}\lambda E=\bigcap_{u\in\mathscr{U} 0（K） }\left\{x\in\mathbb{R}^{n}:x\cdotu\leqslate\left[h（K，u）^{p}-|\lambda|^{p}h（E，u）^{p{right]^{\frac{1}{p}}\right\}，~\lambda<0。\]此处\（\mathscr{U} _0（0）（K） \）是\（K\）的\（0\）-极端法向量的集合。因此，它们引入了一系列新的外部平行体：\[K^{p}（\lambda）：=\bigcap_{u\in\mathscr{U} _0（0）（K） }\left\{x\in\mathbb{R}^{n}:x\cdot u\leqslated\left[h（K，u）^{p}+\lambda^{p{h（E，u）p{p}\right]^{\frac{1}{p}}\right，~\lambda>0。\]主要结果如下。设（K）和（E）是包含原点、（1）和（frac{1}{p}+frac{1}{q}=1）的凸体。对于\（\lambda\geq0\）和\（i=0，\ldots，n-1\），\[ \开始{split}W{i}\左（K^{p}（\lambda）；E（右）geqslide（左）（压裂{1}{1+\lambda^{p}}）^{压裂{n-i}{q}}W{i}（K；E）\\+\lambda^{p}\sum_{k=0}^{n-i-1}\左（\frac{1}{1+\lambdap}\右）\] 其中\（K^{\ast}=\bigcap_{u\in\mathscr{U}（U）_{0}（K）}\left\{x\in\mathbb{R}^{n}:x\cdot u\leqslead h（E，u）\right\}\），和\[V\left（K_｛1｝\left[r_｛1｝\right]，\ldots，K_｛m｝\left[r_｛m｝\right]\right）=V（\underrace｛K_｛1｝，\ldots，K_｛1｝}_｛r_｛1｝｝｝，\ldots，\underrace｛K_｛m｝，\ldots，K_｛m｝}_｛r_｛m｝｝）\] 是混合体积。如果\（K\）是\（E\）的切向体，则等式成立。相反，假设（E）正则且严格凸。然后等式表征了（E）的切向体。
审核人：金丽（维也纳）

理学硕士：

52A20型 维的凸集（包括凸超曲面）
52A39型 凸几何中的混合体积和相关主题
52A40型 凸几何中涉及凸性的不等式和极值问题

关键词：

混合体积;\（p\）平行体;0-极端法向量

引文：

Zbl 1207.52004号;Zbl 1352.52002号;Zbl 1489.52007年
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{Y.Lou}和\textit{Z.Zeng}，数学。不平等。申请。24，编号4，1125-1134（2021；兹bl 1487.52006）
全文： 内政部

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