斯里库马尔·拉马林加姆;克里斯·罗素;拉迪克，卢伯;菲利普·托尔。 使用单调布尔函数有效地最小化高阶子模函数。 （英语） Zbl 1422.68136号 离散应用程序。数学。 220, 1-19 (2017). 摘要：子模块函数最小化是机器学习、经济学、博弈论、计算机视觉等领域广泛应用中的一个关键问题。通用求解器的复杂度为\（O（n^3\log^2n.E+n^4\log^{O（1）}n），其中\（E）是计算函数所需的时间，\（n）是变量的数量Y.T.Lee先生等【“一种快速切割平面方法及其对组合优化和凸优化的影响”，摘自：2015年IEEE第56届计算机科学基础年度研讨会论文集，FOCS 2015。加利福尼亚州洛斯·阿拉米托斯：IEEE计算机学会，1049–1065（2015；doi:10.1109/FOCS.2015.68）]。另一方面，许多计算机视觉和机器学习问题都是在子模块函数的特殊子类上定义的，这些子类可以写成只包含少数变量的团上定义的许多子模块成本函数的总和。在这些函数中，伪布尔（或多项式）表示[E.波罗斯和P.L.锤子，离散应用。数学。123，第1-3号，155-225（2002年；Zbl 1076.90032号)]这些子类中有个等级（或等级，或集团大小）\（k\），其中\（k\lln\）。在这项工作中，我们开发了有效的算法来最小化这个有用的子模函数子类。为此，我们定义了一种新的映射，将阶次模函数转换为二次模函数。其基本思想是使用辅助变量来建模高阶项，并使用精心构建的线性程序找到变换。特别地，我们将辅助变量建模为单调布尔函数，使我们能够使用尽可能少的辅助变量来获得紧凑变换。使用标准最大流算法可以有效地最小化转换的二次函数，时间复杂度为\（O（（n+m）^3）\，其中\（m）是将所有高阶项转换为二次项所涉及的辅助变量的总数。具体来说，我们表明，我们的四阶函数方法只需要2个辅助变量，而现有方法中使用的变量为30个或更多。在一般情况下，我们给出了使用Dedekind数转换（k）阶函数所需的数字或辅助变量的上界，该上界大大低于现有的（2^{2^k}）的上界。 引用于三文件 MSC公司： 65年第68季度 算法和问题复杂性分析 06E30年 布尔函数 关键词：子模函数;二次伪布尔函数;单调布尔函数;Dedekind编号;最大流/最小割算法 引文：Zbl 1076.90032号 软件：J工具 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{S.Ramalingam}等人，《离散应用》。数学。220，1-19（2017；Zbl 1422.68136） 全文： 内政部 arXiv公司 参考文献： [1] Billionnet，A。；Minoux，M.，最大化超模伪布尔函数：超模三次函数的多项式算法，离散应用。数学。，12, 1, 1-11 (1985) ·Zbl 0583.90067号 [3] Boros，E。；Hammer，P.L.，在二次0-1最小化中改进屋顶质量的最大流方法。技术报告RRR 15-1989（1989），RUTCOR，罗格斯大学 [4] Boros，E。；Hammer，P.L.，伪布尔优化，离散应用。数学。，123, 1-3, 155-225 (2002) ·Zbl 1076.90032号 [5] Boros，E。；Hammer，P.L。；孙，R。；Tavares，G.，二次无约束二进制优化（qubo）改进下界的最大流方法，离散优化。，5, 2, 501-529 (2008) ·Zbl 1170.90454号 [6] 科恩，D.A。；库珀，M.C。；克里德，P。；Zivny，S。；Jeavons，P.G.，离散优化的复杂性代数理论，SIAM J.Compute。，42 (2013), 1915-1193 ·Zbl 1305.08007号 [7] Cooper，M.C.，通过最优软弧一致性最小化局部定义的子模函数，约束，13，4，437-458（2008）·Zbl 1180.90262号 [8] Crama，Y。；Hammer，P.L.，《布尔函数：理论、算法和应用》（2011），剑桥大学出版社·Zbl 1237.06001号 [9] 坎宁安，W.H.，关于子模函数最小化，组合数学，5185-192（1985）·兹伯利0647.05018 [11] 费希尔，M.L。；纳姆豪泽，G.L。；Wolsey，L.A.，最大化子模集函数的近似分析-i，数学。程序。螺柱，873-87（1978）·Zbl 0374.90045号 [13] Fleischer，L.公司。；岩田，S.，子模块函数最小化的推重标记框架及其在参数优化中的应用，离散应用。数学。，131, 2, 311-322 (2001) ·Zbl 1030.90097号 [16] 加洛，G。；Simeone，B.，关于超模背包问题，数学。程序：序列号。A和B，45，2295-309（1989）·Zbl 0682.90063号 [17] M.Grötschel。；Lovász，L。；Schrijver，A.，组合优化中的椭球方法及其后果，组合数学，1,2169-197（1981）·Zbl 0492.90056号 [18] Hammer，P.L.，使用伪布尔编程解决了一些网络流问题，Oper。决议，13，388-399（1965）·Zbl 0132.13804号 [19] Hansel，G.，Sur le nombre des functions booleennes monotones de n variables，C.R.Math。阿卡德。科学。巴黎（1966）·Zbl 0191.29202号 [20] Ishikawa，H.，凸先验马尔可夫随机场的精确优化，PAMI，251333-1336（2003） [21] Ishikawa，H.，一般二进制mrf最小化到一阶情形的转换，PAMI，13，6，1234-1249（2011） [22] 岩田，S.，《子模函数最小化的完全组合算法》，J.Combinal Theory Ser。B、 84、2、203-212（2002）·Zbl 1175.90332号 [23] 岩田，S.，最小化子模函数的快速缩放算法，SIAM J.Compute。，2337, 1-8 (2003) ·Zbl 1049.90530号 [24] 岩田，S。；弗莱舍，L。；Fujishige，S.，最小化子模函数的组合强多项式算法，J.ACM，48，4，761-777（2001）·Zbl 1127.90402号 [25] Kleitman，D.，《关于dedekind问题：单调布尔函数的个数》，Proc。阿默尔。数学。Soc.（1969年）·Zbl 0186.30702号 [27] Kolmogorov，V.，最小化子模函数之和，离散应用。数学。，160, 15, 2246-2258 (2012) ·Zbl 1274.90461号 [28] 科尔莫戈罗夫，V。；Zabih，R.，什么能量函数可以通过图形切割最小化？，PAMI，26，2（2004）·兹比尔1039.68666 [29] 科尔舒诺夫，A.D.，单调布尔函数的个数，Probl。Kibernet.、。，38 (1981), 5-108 ·Zbl 0521.94018号 [30] 拉迪基。；罗素，C。；科尔里，P。；Torr，P.，基于图形切割的推断与共现统计，（欧洲计算机视觉会议（2010），Springer），239-253 [33] Lovasz，L.，子模函数与凸性，（数学规划-最新技术（1983）），235-257·Zbl 0566.90060号 [34] Narasimhan，M。；Bilmes，J.A.，《应用于区分结构学习的子模块-超模块程序》（《人工智能中的不确定性》（2005）），404-412 [36] Orlin，J.B.，子模函数最小化的一种更快的强多项式时间算法，数学。程序。，118, 2, 237-251 (2009) ·Zbl 1179.90290号 [37] Promislow，S。；Young，V.，有限格上的超模函数，Order，22，4（2005）·邮编1097.06008 [38] Queyranne，M.，最小化对称子模函数的组合算法，SODA，98-101（1995）·Zbl 0847.05064号 [40] Rhys，J.M.W.，《共享固定成本和网络流量的选择问题》，《管理》。科学。，200-207 (1970) ·Zbl 0203.52505号 [41] Rosenberg，I.G.，二价最大化到二次型情形的约化，Cah。美分。埃图德。里奇。操作。，17, 71-74 (1975) ·Zbl 0302.90041号 [44] 施莱辛格，D。；Flach，B.，将任意minsum问题转换为二进制问题。技术报告TUD-FI06-01（2006），德累斯顿理工大学 [45] Schrijver，A.，在强多项式时间内最小化子模函数的组合算法，J.组合理论。B、 80、2、346-355（2000）·Zbl 1052.90067号 [46] Trevisan，L。；Sorkin，G.B。；苏丹，M。；Williamson，D.P.，《小工具、近似和线性编程》，SIAM J.Compute。，29, 6, 2074-2097 (2000) ·Zbl 0957.68048号 [47] 阿兰·尤耶（Alan Yuille）；阿南德·兰加拉扬；Yuille，A.L.，凹-凸过程（cccp），（神经信息处理系统进展，第14卷（2002），麻省理工学院出版社）·Zbl 1022.68112号 [49] 齐夫尼，S。；科恩，D.A。；Jeavons，P.G.，二进制子模函数的表达能力，离散应用。数学。，157, 5, 3347-3358 (2009) ·Zbl 1229.90093号 [51] Zivny，S。；Jeavons，P.G.，使用二进制子模函数可以表达哪些子模函数？牛津大学计算实验室研究报告CS-RR-08-08（2008） [52] Zivny，S。；Jeavons，P.G.，用图割表示的子模约束类，约束，15，3，430-452（2010）·Zbl 1208.68196号 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。