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卜燕燕;Demircik，金枪鱼;迈克尔·卢布林斯基

全息图的非线性手征传输。 （英语） Zbl 1409.81108号

《高能物理杂志》。 2019年，第1期，第78号论文，33页（2019年）.
摘要：在Schwarzschild-（mathrm）中，在全息定义为（U（1）_V×U（1{广告}_{5} \）。首先，在存在外部电磁场的情况下，导出了矢量电流和轴向电流的一般形式。然后，在梯度展开到三阶的范围内，我们解析地计算了所有（超过50个）传输系数。除了手性磁性和手性分离效应外，还发现了大量由手性异常引起的高阶（非线性）输运现象。一些高阶项是最低阶非线性效应的弛豫时间修正。发现手性磁波的电荷扩散常数和色散关系受到e/m背景场的异常诱导非线性修正。此外，出现了一种新的无间隙模式，我们称之为手性霍尔密度波，沿背景Poynting矢量传播。

引用于6文件

MSC公司：

81T40型 量子力学中的二维场论、共形场论等
81伏05 强相互作用，包括量子色动力学
58J28型 Eta不变量、Chern-Simons不变量
83C22号 爱因斯坦-麦克斯韦方程组
83元57 黑洞

关键词：

AdS-CFT通信;计量重力对应;全息术与夸克胶子等离子体;坡印亭矢量
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{Y.Bu}等人，《高能物理学杂志》。2019年，第1期，第78号论文，33页（2019年；Zbl 1409.81108）
全文： 内政部 arXiv公司

参考文献：

[1] L.Landau和E.Lifshitz，《流体力学》，第6卷，《爱思唯尔科学》（2013）。
[2] D.Forster，《流体动力学波动、破缺对称性和相关函数》，CRC出版社，（1975年）。
[3] M.Lublinsky和E.Shuryak，强耦合夸克-胶子等离子体（sQGP）通过耗散效应产生了多少熵？，物理学。版本C 76（2007）021901[arXiv:0704.1647]【灵感】。
[4] M.Lublinsky和E.Shuryak，《AdS/CFT改进的流体动力学》，物理。修订版D 80（2009）065026[arXiv:0905.4069][灵感]。
[5] Y.Bu和M.Lublinsky，流体-颗粒对应的所有阶线性化流体动力学，Phys。版本D 90（2014）086003[arXiv:1406.7222]【灵感】·Zbl 1390.83152号
[6] Y.Bu和M.Lublinsky，线性化流体/重力对应：从剪切粘度到所有阶流体动力学，JHEP11（2014）064[arXiv:1409.3095][灵感]·Zbl 1390.83152号
[7] Y.Bu和M.Lublinsky，《线性恢复弱弯曲时空中的流体动力学》，JHEP04（2015）136[arXiv:1502.08044][灵感]·Zbl 1388.83341号
[8] Y.Bu，M.Lublinsky和A.Sharon，Einstein-Gauss-Bonnet重力的双重流体动力学：全阶梯度恢复，JHEP06（2015）162[arXiv:1504.01370][灵感]·Zbl 1388.83342号
[9] I.Müller，Zum paradoxon der wärmeleitungstheorie，Z.Phys.198（1967）329·兹比尔0143.23602
[10] W.Israel，《非稳态不可逆热力学：因果相对论理论》，《年鉴物理学》100（1976）310[INSPIRE]。
[11] W.Israel和J.Stewart，相对论气体中非稳态和瞬态效应的热力学，物理学。莱特。A 58（1976）213。
[12] W.Israel和J.M.Stewart，瞬态相对论热力学和动力学理论，《物理学年鉴》118（1979）341[灵感]。
[13] M.P.Heller，R.A.Janik和P.Witaszczyk，规范理论等离子体中的流体动力学梯度膨胀，物理学。修订稿110（2013）211602[arXiv:1302.0697]【灵感】。
[14] M.P.海勒（M.P.Heller）和斯帕林斯基（M.Spaliñski），《梯度扩张之外的流体动力学：复苏和复苏》（Hydrodynamics Beyond the Gradient Expansion:Resurgence and Resummation），物理学。Rev.Lett.115（2015）072501[arXiv:1503.07514]【灵感】。
[15] S.Grozdanov和N.Kaplis，《构建高阶流体动力学：三阶，物理学》。版次：D 93（2016）066012[arXiv:1507.02461][灵感]。
[16] P.Romatschke，核碰撞会产生局部平衡的夸克胶子等离子体吗？，欧洲物理学。J.C 77（2017）21[arXiv:1609.02820]【灵感】。
[17] P.Romatschke，远离局部平衡的相对论流体动力学，物理学。修订版Lett.120（2018）012301[arXiv:1704.08699][INSPIRE]。
[18] M.Spaliñski，关于杨-米尔等离子体的流体动力学吸引子，物理学。莱特。B 776（2018）468[arXiv:1708.01921]【灵感】。
[19] P.Romatschke，《对称破缺的相对论流体动力吸引子：非共形和非均匀》，JHEP12（2017）079[arXiv:1710.03234][INSPIRE]·Zbl 1383.81348号
[20] W.Florkowski、M.P.Heller和M.Spaliñski，LHC时代相对论流体动力学的新理论，报告。掠夺。Phys.81（2018）046001[arXiv:1707.02282]【灵感】。
[21] G.S.Denicol和J.Noronha，Gubser流中流体动力吸引子和微扰膨胀的命运，arXiv:1804.04771[灵感]。
[22] A.Behtash、C.N.Cruz-Camacho和M.Martinez，Gubser流的Far-from平衡吸引子和非线性动力系统方法，物理学。版次D 97（2018）044041[arXiv:1711.01745]【灵感】。
[23] A.Behtash、S.Kamata、M.Martinez和C.N.Cruz-Camacho，远场平衡膨胀等离子体的非扰动流变行为，arXiv:1805.07881[灵感]。
[24] Y.Bu、M.Lublinsky和A.Sharon，《全息照相的异常传输：第一部分》，JHEP11（2016）093[arXiv:1608.08595]【灵感】·Zbl 1390.83153号
[25] Y.Bu、M.Lublinsky和A.Sharon，《全息照相的异常传输：第二部分，欧洲物理学》。J.C 77（2017）194[arXiv:1609.09054]【灵感】·Zbl 1390.83153号
[26] V.A.Kuzmin、V.A.Rubakov和M.E.Shaposhnikov，关于早期宇宙中反常的弱电重子数不守恒，物理学。Lett.155B（1985）36【灵感】。
[27] A.Vilenkin和D.A.Leahy，奇偶非保守和宇宙磁场的起源，天体物理学。J.254（1982）77【灵感】。
[28] V.A.Rubakov和M.E.Shaposhnikov，早期宇宙和高能碰撞中的弱电重子数不守恒，Usp。菲兹。Nauk166（1996）493[hep-ph/9603208]【灵感】。
[29] D.Grasso和H.R.Rubinstein，早期宇宙中的磁场，物理学。报告348（2001）163[astro-ph/0009061][灵感]。
[30] M.Giovannini，《磁化的宇宙》，Int.J.Mod。物理学。D 13（2004）391[astro-ph/0312614][灵感]·Zbl 1058.83004号
[31] D.E.Kharzeev，《拓扑、磁场和强相互作用物质》，Ann.Rev.Nucl。第部分。科学65（2015）193[arXiv:1501.01336][灵感]。
[32] D.E.Kharzeev，手性磁效应和异常诱导的输运，Prog。第部分。编号。Phys.75（2014）133[arXiv:1312.3348]【灵感】。
[33] X.-G.Huang，重离子碰撞中的电磁场和异常输运——教学综述，报告。掠夺。Phys.79（2016）076302[arXiv:1509.04073]【灵感】。
[34] ALICE合作，电荷相关流和Pb-Pb碰撞中手征磁波的搜索，[sqrt{sNN}=2.76\sqrt{s_{text{NN}}=2.76 TeV，Phys。版本C 93（2016）044903[arXiv:1512.05739]【灵感】。
[35] CMS合作，p-Pb碰撞中电荷相关方位关联的观察及其对手性磁效应搜索的意义，Phys。修订稿118（2017）122301[arXiv:1610.00263]【灵感】。
[36] CMS合作，在欧洲粒子物理研究所大型强子对撞机（CERN Large Hadron Collider，Phys）的pPb和PbPb碰撞中使用电荷相关方位角关联对手性磁效应的限制。修订版C 97（2018）044912[arXiv:1708.01602][灵感]。
[37] CMS合作，在\[sqrt{sNN}=5.02\sqrt}s{s{text{NN}}=5.02\]TeV，arXiv:1708.08901[INSPIRE]的pPb和PbPb碰撞中使用电荷依赖方位各向异性对手征磁波的挑战。
[38] V.Koch等人，手性磁效应和等压线碰撞的现状，Chin。物理学。C 41（2017）072001[arXiv:1608.00982]【灵感】。
[39] Z.K.Liu等人，《发现三维拓扑狄拉克半金属》，Na3Bi，Science343（2015）864。
[40] B.Q.Lv等人，Weyl半金属TaAs的实验发现，Phys。版本X 5（2015）031013[arXiv:1502.04684]【灵感】。
[41] S.Y.Xu等人，《Weyl Fermion半金属和拓扑Fermi弧的发现》，《科学》349（2015）613[INSPIRE]。
[42] O.Vafek和A.Vishwanath，《固体中的Dirac费米子：从高Tc铜氧化物和石墨烯到拓扑绝缘体和Weyl半金属》，《凝聚物质物理年鉴》5（2014）83[arXiv:1306.2272]【INSPIRE]。
[43] Q.Li等人，《ZrTe5中手性磁效应的观察》，《自然物理学》12（2016）550[arXiv:1412.6543][INSPIRE]。
[44] X.Huang等人，3D Weyl半金属TaAs中手性异常诱导负磁电阻的观察，Phys。版本X 5（2015）031023[arXiv:1503.01304]【灵感】。
[45] H.Li等人，Dirac半金属Cd3As2中的负磁电阻，《国家通讯》7（2016）10301[arXiv:1507.06470]。
[46] K.Landsteiner、E.Megias和F.Pena-Benitez，《库博公式的异常运输》，莱克托。《物理笔记》871（2013）433[arXiv:1207.5808]。
[47] K.Landsteiner，Y.Liu和Y.-W.Sun，手性流体和全息照相中的负磁阻率，JHEP03（2015）127[arXiv:1410.6399][灵感]·Zbl 1388.83356号
[48] A.Jimenez-Alba、K.Landsteiner、Y.Liu和Y.-W.Sun，全息成像中的异常磁导率和弛豫时间，JHEP07（2015）117[arXiv:1504.06566][灵感]。
[49] K.Landsteiner和Y.Liu，全息Weyl半金属，Phys。莱特。B 753（2016）453[arXiv:1505.04772]【灵感】·Zbl 1367.82014年
[50] A.Vilenkin，磁场中破坏电流的平衡宇称，物理学。修订版D 22（1980）3080【灵感】。
[51] K.Fukushima、D.E.Kharzeev和H.J.Warringa，《手性磁效应》，物理。修订版D 78（2008）074033【arXiv:00808.3382】【灵感】。
[52] D.E.Kharzeev和H.J.Warringa，手性磁导率，物理。修订版D 80（2009）034028[arXiv:0907.5007][灵感]。
[53] K.Fukushima、D.E.Kharzeev和H.J.Warringa，手性磁效应的实时动力学，物理。修订稿104（2010）212001[arXiv:1002.2495]【灵感】。
[54] D.Hou，H.Liu和H.-c.Ren，关于手性磁效应的一些场论问题，JHEP05（2011）046[arXiv:11033.2035][INSPIRE]·Zbl 1296.81139号
[55] D.Satow和H.-U.Yee，弱耦合下的手性磁效应与弛豫动力学，物理学。版本D 90（2014）014027[arXiv:1406.1150]【灵感】。
[56] H.-U.Yee，弱耦合下高维手性磁性和旋涡效应，物理学。版本D 90（2014）065021[arXiv:1406.3584]【灵感】。
[57] A.Jimenez-Alba和H.-U.Yee，弱耦合下手性异常的二阶传输系数：图解恢复，物理学。版本D 92（2015）014023[arXiv:1504.05866]【灵感】。
[58] G.M.Newman，《反常流体动力学》，JHEP01（2006）158[hep-ph/0511236][灵感]。
[59] H.-U.Yee，全息手性导磁性，JHEP11（2009）085[arXiv:0908.4189][INSPIRE]。
[60] A.Rebhan，A.Schmitt和S.A.Stricker，Sakai-Sogimoto模型中的异常和手征磁效应，JHEP01（2010）026[arXiv:0909.4782][INSPIRE]·Zbl 1269.81201号
[61] Y.Matsuo，S.-J.Sin，S.Takeuchi和T.Tsukioka，带电AdS黑洞全息流体动力学中的磁导率和Chern-Simons项，JHEP04（2010）071[arXiv:0910.3722]【灵感】·Zbl 1272.81165号
[62] A.Gorsky、P.N.Kopnin和A.V.Zayakin，《软球AdS/QCD中的手性磁效应》，Phys。版本D 83（2011）014023[arXiv:1003.2293]【灵感】。
[63] V.A.Rubakov，《关于手征磁效应和全息照相》，arXiv:1005.1888[INSPIRE]。
[64] A.Gynther、K.Landsteiner、F.Pena-Benitez和A.Rebhan，全息反常电导率和手征磁效应，JHEP02（2011）110[arXiv:1005.2587][INSPIRE]·Zbl 1294.81281号
[65] I.Amado，K.Landsteiner和F.Pena-Benitez，全息中Kubo公式的异常传输系数，JHEP05（2011）081[arXiv:1102.4577][灵感]·Zbl 1296.81122号
[66] T.Kalaydzhyan和I.Kirsch，手性磁效应的流体/重力模型，Phys。修订稿106（2011）211601[arXiv:1102.4334]【灵感】。
[67] C.Hoyos、T.Nishioka和A.O'Bannon，《AdS/CFT的手性磁性效应与风味》，JHEP10（2011）084[arXiv:1106.4030]【灵感】·Zbl 1303.81115号
[68] 胡永平、孙鹏和张建华，通过AdS/CFT对应的Maxwell-Gauss-Bonnet重力守恒流流体动力学，物理学。版本D 83（2011）126003[arXiv:1103.3773]【灵感】。
[69] 胡永平（Y.-P.Hu）和帕克（C.Park）、切恩-西蒙斯（Chern-Simons）对麦克斯韦-高斯-布朗特引力中双流体动力学的影响，物理学。莱特。B 714（2012）324[arXiv:1112.4227]【灵感】。
[70] X.Bai，Y.-P.Hu，B.-H.Lee和Y.-L.Zhang，Einstein-Maxwell引力有限截止面上具有异常电流的全息带电流体，JHEP11（2012）054[arXiv:1207.5309][INSPIRE]。
[71] S.Lin和H.-U.Yee，强耦合下的非平衡手性磁效应，物理学。版本D 88（2013）025030[arXiv:1305.3949]【灵感】。
[72] I.Iatrakis，S.Lin和Y.Yin，轴向电荷的反常输运：拓扑与非拓扑涨落，JHEP09（2015）030[arXiv:1506.01384]【灵感】·兹比尔1388.81724
[73] S.Grozdanov和N.Poovuttikul，具有高导数全息对偶的理论中异常电导率的普遍性，JHEP09（2016）046[arXiv:1603.08770][INSPIRE]·Zbl 1390.83112号
[74] M.Ammon、M.Kaminski、R.Koirala、J.Leiber和J.Wu，带电磁性黑膜的准正常模式与手性磁性输运，JHEP04（2017）067[arXiv:1701.05565][灵感]·Zbl 1378.81100号
[75] J.M.Maldacena，超热场理论和超重力的大N极限，国际期刊Theor。Phys.38（1999）1113[第9711200页][灵感]·Zbl 0969.81047号
[76] S.S.Gubser、I.R.Klebanov和A.M.Polyakov，非临界弦理论规范理论相关器，物理学。莱特。B 428（1998）105[hep-th/9802109][灵感]·Zbl 1355.81126号
[77] E.Witten，Anti-de Sitter space and holography，Adv.Theor。数学。Phys.2（1998）253[hep-th/9802150][灵感]·Zbl 0914.53048号
[78] D.T.Son和P.Surowka，《三角形异常的流体动力学》，物理学。修订稿103（2009）191601[arXiv:0906.5044]【灵感】。
[79] A.V.Sadofyev和M.V.Isachenkov，流体动力学方法中的手性磁效应，物理。莱特。B 697（2011）404【第1010.1550号法律公告】【灵感】。
[80] D.T.Son和N.Yamamoto，《浆果曲率、三角形异常和费米液体中的手征磁效应》，物理学。Rev.Lett.109（2012）181602[arXiv:1203.2697]【灵感】。
[81] M.A.Stephanov和Y.Yin，手性动力学理论，物理学。Rev.Lett.109（2012）162001[arXiv:1207.0747]【灵感】。
[82] D.T.Son和N.Yamamoto，量子场论中Berry曲率的动力学理论，物理学。修订版D 87（2013）085016[arXiv:1210.8158][灵感]。
[83] J.-H.Gao，Z.-T.Liang，S.Pu，Q.Wang和X.-N.Wang，量子动力学方法中的手性异常和局部极化效应，物理学。Rev.Lett.109（2012）232301[arXiv:1203.0725]【灵感】。
[84] 陈建伟，蒲S.，王强和王晓南，相对论手征动力学方程中的贝里曲率和四维单极性，物理学。Rev.Lett.110（2013）262301[arXiv:1210.8312]【灵感】。
[85] P.V.Buividovich、M.N.Chernodub、E.V.Luschevskaya和M.I.Polikarpov，晶格规范理论中手性磁效应的数值证据，物理学。版本D 80（2009）054503[arXiv:0907.0494]【灵感】。
[86] M.Abramczyk，T.Blum，G.Petropoulos和R.Zhou，2+1风味QCD+QED中的手性磁效应，PoS（LAT2009）181（2009）[arXiv:0911.1348]【灵感】。
[87] K.Fukushima、D.E.Kharzeev和H.J.Warringa，《电流敏感性和手征磁效应》，Nucl。物理学。A 836（2010）311[arXiv:0912.2961]【灵感】。
[88] V.V.Braguta、P.V.Buividovich、T.Kalaydzhyan、S.V.Kuznetsov和M.I.Polikarpov，SU（3）猝灭晶格规范理论中的手征磁效应和手征对称破缺，物理学。原子。编号75（2012）488[arXiv:1011.3795]【灵感】。
[89] 山本，具有手性化学势的晶格QCD中的手性磁效应，物理学。Rev.Lett.107（2011）031601[arXiv:1105.0385]【灵感】。
[90] V.Braguta、M.N.Chernodub、K.Landsteiner、M.I.Polikarpov和M.V.Ulybyshev，轴向磁效应的数值证据，物理。版本D 88（2013）071501[arXiv:1303.6266]【灵感】。
[91] 山本，广义布洛赫定理和手征输运现象，物理学。修订版D 92（2015）085011[arXiv:1502.01547][灵感]。
[92] M.A.Zubkov，平衡手征磁效应的缺失，Phys。D 93版（2016）105036[arXiv:1605.08724]【灵感】。
[93] D.T.Son和A.R.Zhitnitsky，致密物质中的量子异常，物理学。修订版D 70（2004）074018[hep-ph/0405216][灵感]。
[94] M.A.Metlitski和A.R.Zhitnitsky，《稠密物质中的异常轴子相互作用和拓扑电流》，Phys。修订版D 72（2005）045011[hep-ph/0505072][灵感]。
[95] D.E.Kharzeev和H.-U.Yee，《手性电磁波》，物理学。版本D 83（2011）085007[arXiv:1012.6026]【灵感】。
[96] Y.Bu，T.Demircik和M.Lublinsky，非线性手征传输的梯度恢复：全息透视，arXiv:1807.11908[灵感]·Zbl 1409.81108号
[97] M.Joyce和M.E.Shaposhnikov，原始磁场，右手电子和阿贝尔异常，物理学。Rev.Lett.79（1997）1193[astro-ph/9703005]【灵感】。
[98] A.Boyarsky、J.Fröhlich和O.Ruchayskiy，磁场的自洽演化和早期宇宙中的手性不对称，物理学。修订版Lett.108（2012）031301[arXiv:1109.3350][INSPIRE]。
[99] C.Manuel和J.M.Torres-Rincon，手性磁效应的动力学演化：在夸克-胶子等离子体中的应用，物理学。版本D 92（2015）074018[arXiv:1501.07608]【灵感】。
[100] A.Boyarsky、J.Fröhlich和O.Ruchayskiy，手性相对论流体的磁流体动力学，物理学。版本D 92（2015）043004[arXiv:1504.04854]【灵感】。
[101] Y.Hirono，D.Kharzeev和Y.Yin，手性异常驱动的磁螺旋度自相似逆级联，Phys。版本D 92（2015）125031[arXiv:1509.07790]【灵感】。
[102] A.Avdoshkin、V.P.Kirilin、A.V.Sadofyev和V.I.Zakharov，《关于手性介质流体动力学近似的一致性》，Phys。莱特。B 755（2016）1[arXiv:1402.3587]【灵感】·Zbl 1367.76070号
[103] J.-W.Chen，T.Ishii，S.Pu和N.Yamamoto，非线性手性传输现象，物理学。D 93版（2016）125023[arXiv:1603.03620]【灵感】。
[104] E.V.Gorbar、I.A.Shovkovy、S.Vilchinskii、I.Rudenok、A.Boyarsky和O.Ruchayskiy，非均匀手征等离子体的反常麦克斯韦方程，物理学。D 93版（2016）105028[arXiv:1603.03442]【灵感】。
[105] O.F.Dayi和E.Kilinçarslan，旋转坐标系中的非线性手性等离子体传输，物理学。版次D 96（2017）043514[arXiv:1705.01267]【灵感】。
[106] Y.Hidaka，S.Pu和D.-L.Yang，动力学理论中手性流体的非线性响应，物理学。版次D 97（2018）016004[arXiv:1710.00278]【灵感】。
[107] D.E.Kharzeev和H.-U.Yee，《相对论流体动力学中的异常和时间反转不变性：二阶和高维公式》，Phys。版本D 84（2011）045025[arXiv:1105.6360]【灵感】。
[108] E.Megias和F.Pena-Benitez，一阶和二阶流体动力学中的全息重力异常，JHEP05（2013）115[arXiv:1304.5529][灵感]·Zbl 1342.83406号
[109] U.Gürsoy和J.Tarrio，《地平线普适性和反常电导率》，JHEP10（2015）058[arXiv:1410.1306]【灵感】·Zbl 1388.81935号
[110] U.Gürsoy和A.Jansen，（非）异常电导和全息的重整化，JHEP10（2014）092[arXiv:1407.3282][INSPIRE]·Zbl 1333.83187号
[111] Y.Bu，M.Lublinsky和A.Sharon，U（1）来自AdS/CFT的电流：扩散、导电性和因果关系，JHEP04（2016）136[arXiv:1511.08789]【灵感】·Zbl 1388.83191号
[112] G.Basar和G.V.Dunne，《流体动力学、复苏和跨症状学》，《物理学》。修订版D 92（2015）125011[arXiv:1509.05046][灵感]。
[113] Y.Bu，R.-G.Cai，Q.Yang，Y.-L.Zhang，具有手性电分离效应的全息荷电流体，JHEP09（2018）083[arXiv:1803.08389][灵感]。
[114] S.Li和H.-U.Yee，强耦合等离子体中手性输运现象和自旋极化的弛豫时间，Phys。版次D 98（2018）056018[arXiv:1805.04057]【灵感】。
[115] R.C.Myers、A.O.Starinets和R.M.Thomson，基本物质的全息光谱函数和扩散常数，JHEP11（2007）091[arXiv:0706.0162][灵感]·Zbl 1245.81209号
[116] 蒲秀英，吴秀英，杨德良，手性霍尔效应与手性电波，物理学。版次：D 91（2015）025011[arXiv:1407.3168]【灵感】。
[117] Y.Bu，T.Demircik和M.Lublinsky，《全息非线性手征传输：强场极限》，准备中·兹比尔1409.81108
[118] S.Bhattacharyya、V.E.Hubeny、S.Minwalla和M.Rangamani，《来自重力的非线性流体动力学》，JHEP02（2008）045[arXiv:0712.2456]【灵感】。
[119] J.Erdmenger、M.Haack、M.Kaminski和A.Yarom，R荷电黑洞的流体动力学，JHEP01（2009）055[arXiv:0809.2488][灵感]·Zbl 1243.83037号
[120] N.Banerjee、J.Bhattacharya、S.Bhatacharyya、S.Dutta、R.Loganayagam和P.Surowka，带电黑膜的流体动力学，JHEP01（2011）094[arXiv:0809.2596][INSPIRE]·Zbl 1214.83014号
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