×
塞缪尔·朗辛;赫尔敏·比尔梅;莱昂内尔·莫伊桑

多重随机傅里叶级数的比拉德定理。 （英语） Zbl 1370.42008年

J.傅里叶分析。申请。 23，第1期，207-228（2017）.
多重随机傅里叶级数是一系列形式的随机过程\[X（t）=\sum\limits_{n\in\mathbb{Z}^{d}}A{n}\exp（i\Phi_{n}）\exp，\]由\（t\in\mathbb{t}^{d}\）索引，并涉及实值随机变量\（（A{n}）{n\in\mathbb{Z}^{d\}}\）和\。理解这种无限随机变量之和在何种意义上收敛，是一个比确定性变量更微妙的问题。例如，在（L^｛2｝（\mathbb｛T｝^d））中几乎可以确定的两个合理过程\（X，Y\）（比如中心和弱平稳），即使它们的傅立叶系数相等，也可能在定律上不同。要进入这个迷人的主题，可以从经典书籍开始[J.P.卡哈内，一些随机函数序列。剑桥：剑桥大学出版社（1968；Zbl 0192.53801号)]和[M.B.马库斯和G.皮西耶随机傅里叶级数及其在谐波分析中的应用。普林斯顿：普林斯顿大学出版社（1981；Zbl 0474.43004号)].
本文讨论一类特殊的多重随机傅里叶级数，假设（（a{n}）{n\in\mathbb{Z}^{d}}）是确定性的、非负的、偶数的和平方可和的，并且（（Phi{n}）{n\ in\mathbb{Z{d}）均匀分布在（mathbb{R}\反斜杠2\pi\mathbb{Z}）上，这样（Phi_{n-}=-\Phi_{n}）几乎可以确定，只要（\mathcal{A}）不与（-\mathcal{A}\）相交，所有（\Phi_n}）{n\in\mathcali{A}}\）都是独立的。作者还指出，在适当的可和性和独立性假设下，对（（A{n}）{n\in\mathbb{Z}^{d}}）的假设可以减弱，以允许随机振幅。例如，在这样做时，它们允许独立的高斯变量作为傅里叶系数。
在这些假设下，问题仍然非常重要，但排除了一些病理行为（例如，傅里叶级数是由其系数决定的），并且一些主要技术难题消失了。特别地，作者表明，如果一致收敛性（或有界性）几乎肯定适用于一种（对称）求和方法，那么它也适用于任何其他求和方法。这是Lévy Itô-Nasio定理的一个很好的结果，该定理确保了Banach空间中独立对称随机变量的和几乎肯定收敛，当且仅当它的一个子序列收敛。
然后，本文的主要定理证明了以下几点等价：（1）一/所有求和法的几乎必然一致有界性。（2） 一元/全部求和法的几乎必然一致收敛性。（3） 这个级数几乎可以肯定地表示一个连续函数。（4） 对于所有求和方法，级数几乎可以处处收敛。
对于（d=1），定理在[P.比拉德，学生数学。22, 309–329 (1963;Zbl 0214.43702号)]. 作者还研究了通过求和此类序列获得的过程的特性，包括它们的协方差结构、平稳性和亚高斯行为。
审核人：皮埃尔·Portal（堪培拉）

引用于2文件

MSC公司：

42B05型 傅里叶级数和多变量系数
60克50 独立随机变量之和；随机游走
42B08型 几个变量的可加性
60G17年 示例路径属性

关键词：

比拉德定理;随机傅里叶级数;多重傅里叶级数;随机相位;随机场

引文：

兹比尔0192.53801;Zbl 0474.43004号;Zbl 0214.43702号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{S.Ronsin}等人，J.Fourier Ana。申请。23，第1号，207--228（2017；Zbl 1370.42008）
全文： 内政部 哈尔

参考文献：

[1] Ash，J.M.，Welland，G.V.：多重三角级数的收敛性、唯一性和可和性。事务处理。美国数学。Soc.163、401-436（1972）·Zbl 0233.42014号 ·doi:10.1090/S0002-9947-1972-0300009-X
[2] Berens，H.，Xu，Y.：多元傅里叶级数的费耶尔平均值。数学。Z.221、449-465（1996）·兹比尔0904.42009 ·doi:10.1007/PL00004254
[3] Billard，P.：《傅里叶-阿尔éatoirement Bornées，Continues，Uniformément Convergentes》。数学研究生。22, 310-330 (1963) ·Zbl 0214.43702号
[4] Blevins，R.D.：具有随机相位的有限傅里叶级数的概率密度。J.声音振动。208(4), 617-652 (1997) ·Zbl 1235.60055号 ·doi:10.1006/jsvi.1997.1207
[5] Cohen，G.，Cuny，C.：关于随机傅里叶级数的Billard定理。牛市。波兰。阿卡德。科学。数学。53, 39-53 (2005) ·Zbl 1112.42002号 ·doi:10.4064/ba53-1-5
[6] Fefferman，C.：关于多重傅里叶级数的收敛性。牛市。美国数学。Soc.77（5），744-745（1971）·Zbl 0234.42008号 ·doi:10.1090/S0002-9904-1971-12793-3
[7] Fefferman，C.：关于多重傅里叶级数的散度。牛市。美国数学。Soc.77（2），191-195（1971）·Zbl 0212.09403号 ·doi:10.1090/S002-9904-1971-12675-7
[8] 图A-Talamanca，A.：非对易群上的有界连续随机Fourier级数。程序。艾姆斯22号573-578（1969年）·Zbl 0179.46603号 ·doi:10.2307/2037434
[9] Galerne，B.，Gousseau，Y.，Morel，J.-M.：随机相结构：理论与合成。IEEE传输。图像处理。20(1), 257-267 (2011) ·Zbl 1372.94086号 ·doi:10.1109/TIP.2010.2052822
[10] Itó，K.，Nisio，M.：关于独立Banach空间值随机变量和的收敛性。大阪J.数学。5, 35-48 (1968) ·Zbl 0177.45102号
[11] Kahane，J.-P.：函数的一些随机级数。剑桥高等数学研究。剑桥大学出版社，剑桥（1994）
[12] Katznelson，Y.：《Séries三角洲分歧综合集成》。Studia数学。26, 301-304 (1966) ·Zbl 0143.28804号
[13] Ledoux，M.，Talagrand，M.：巴拿赫空间中的概率。Ergebnisse der Mathematik和ihrer Grenzgebiete。柏林施普林格（1991）·Zbl 0748.60004号
[14] Lieb，E.H.，Loss，M.：分析。数学研究生课程，第二版。AMS，普罗维登斯（2001）·Zbl 0966.26002号
[15] Lukacs，E.：特征函数，第2版。哈夫纳出版公司，纽约（1970年）。修订和扩大·Zbl 0201.20404号
[16] Marcus，M.B.，Pisier，G.：随机傅里叶级数及其在谐波分析中的应用。数学研究年鉴。普林斯顿大学出版社，普林斯顿（1981）·Zbl 0474.43004号
[17] Paley，R.，Zygmund，A.：关于一些函数系列，第一部分程序。外倾角。菲洛斯。Soc.26337-357（1930）·doi:10.1017/S0305004100016078
[18] Paley，R.，Zygmund，A.：关于一些函数系列，第二部分。程序。外倾角。菲洛斯。Soc.26458-474（1930年）·doi:10.1017/S0305004100016212
[19] Paley，R.，Zygmund，A.：关于一些系列功能，第三部分程序。外倾角。菲洛斯。Soc.28190-205（1932）·Zbl 0006.19802号 ·doi:10.1017/S0305004100010860
[20] Tevzadze，N.：关于二次可和函数的双傅里叶级数的收敛性。索布斯克。阿卡德。诺克·格鲁津。SSR 77（5），277-279（1970）·Zbl 0203.06902号
[21] van Wijk，J.：数据可视化的斑点噪声纹理合成。SIGGRAPH计算。图表。25(4), 309-318 (1991) ·doi:10.1145/127719.122751
此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。