×
M.科伦坡。；马吉（F.Maggi）。

分数周长的等周簇的存在性和几乎处处的正则性。 （英语） Zbl 1364.45008号

非线性分析。，理论方法应用。，序列号。A、 理论方法 153, 243-274 (2017).
本文建立了具有多重体积约束的分数次等周问题的基本存在性和部分正则性结果。如果\（E\subset\mathbb{R}^n，\；n\geq2 \）和\（s\in（0,1）\），则（E\）阶的分数周长定义为\（P_s（E）=int_{mathbb}R}^n}w_E（x）dx=int_Edx\int_{E^c}dy/|x-y|^{n+s}）。首先，作者在分数设置下开始研究另一个经典几何变分问题，即具有多个体积约束的等周问题。主要结果是以下定理1.1。对于每一个（m\in\mathbb{R}^n_+\）都存在一个等周簇（\mathcal{E}\），其中\（m（\mathcal{E{）=m\）。如果我们设置\（partial\mathcal{E}=\{x\in\mathbb{R}^n:\存在h=1，\dots，n\），这样\（0<|\mathcal{E}（h）\cap B_R（x）|<|B_R等于\（n-2）（即，这样\（mathcal{h}^{n-2+\varepsilon}（\Sigma（\mathcal{E}））=0\）for every\（\varepsilon>0\）if\（n\geq3，\Sigma\（\mathcal{E{）\）is discrete if\（n=2\）and \（\partial\mathcal{E}\setminus\Sigma-（\matchal{Eneneneep）\）isa \（C^{1，\alpha}\）-supersurface in \（\mathbb{R}^n\）for some\（\α\ in（0,1）\）。
本文自然地提出了两类密切相关的问题：第一，理解分数等周簇的奇异性，第二，在一些基本情况下刻画分数等周聚类。
本文分为两部分。在第二节中，作者采用分数设置Almgren的原始证明证明了定理1.1中的存在部分。在第3节中，作者证明了定理1.1中的部分正则性断言。就像分数周长最小化边界的情况一样，他们利用扩展问题来获得单调性公式，表明边界的大多数点附近只存在等周簇的两个腔室。当这种情况发生时，它们表明相邻腔室的局部最小周长，并且它们应用了以下已知结果M.C.卡普托和N.吉伦[“非局部几乎最小边界和应用的规则”，预打印，arXiv:1003.2470]，以证明\（C^{1，\alpha}\）-正则性。
审核人：瓦西尔·奥普鲁（伊阿什伊）

引用于4文件

MSC公司：

2005年第45季度 积分方程的反问题
49J45型 涉及半连续性和收敛性的方法；放松

关键词：

等周问题；分数周长；分区问题；存在；规律性
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{M.Colombo}和\textit{F.Maggi}，非线性分析。，理论方法应用。，序列号。A、 理论方法153243-274（2017；兹bl 1364.45008）
全文： 内政部 arXiv公司

参考文献：

[1] Almgren，F.J.，带约束椭圆变分问题解的存在性和正则性，Mem。阿米尔。数学。Soc.，4165，viii+199（1976年）·Zbl 0327.49043号
[2] Ambrosio，L。；De Philippis，G。；Martinazzi，L.，（gamma）-非局部周长泛函的收敛性，Manuscripta Math。，134, 3-4, 377-403 (2011) ·Zbl 1207.49051号
[3] 巴里奥斯，B。；Figalli，A。；Valdinoci，E.，积分微分算子的Bootstrap正则性及其在非局部极小曲面上的应用，Ann.Sc.Norm。超级的。比萨Cl.Sci。(5), 13, 3, 609-639 (2014) ·Zbl 1316.35061号
[4] Bourgain，J。；Brezis，H。；Mironescu，P.，《Sobolev空间的另一种研究》，（最优控制与偏微分方程（2001）），439-455·Zbl 1103.46310号
[5] 卡布雷，X。；法尔，M.M。；Weth，T.，《具有恒定非局部平均曲率的曲线和曲面：符合Alexandrov和Delaunay，J.Reine Angew》。数学。（2016），（印刷中）
[7] 卡法雷利，L。；Roquejoffre，J.-M。；Savin，O.，非局部最小曲面，Comm.Pure Appl。数学。，63, 9, 1111-1144 (2010) ·Zbl 1248.53009号
[8] 卡法雷利，L。；Valdinoci，E.，《非局部极小曲面的一致估计和极限参数》，《计算变量偏微分方程》，41，1-2，203-240（2011）·Zbl 1357.49143号
[10] Caroccia，M。；Maggi，F.，Hales等周蜂窝状定理的精确定量版本，J.Math。Pures应用。，106, 5, 935-956 (2016) ·Zbl 1350.49070号
[12] Ciraolo，G。；Figalli，A。；Maggi，F。；Novaga，M.，具有恒定和几乎恒定非局部平均曲率的超曲面的刚度和尖锐稳定性估计，J.Reine Angew。数学。（2016），（印刷中）
[14] Dávila，J.，关于有界变差函数的一个公开问题，Calc.Var.偏微分方程，15，4，519-527（2002）·Zbl 1047.46025号
[18] 迪·卡斯特罗，A。；Novaga，M。；鲁菲尼，B。；Valdinoci，E.，非局部定量等周不等式，计算变量偏微分方程，54，3，2421-2464（2015）·兹比尔1333.49061
[19] Figalli，A。；富斯科，N。；Maggi，F。；Millot，V.公司。；Morini，M.，《球相对于非局部能量的等周线和稳定性》，Comm.Math。物理。，336, 1, 441-507 (2015) ·Zbl 1312.49051号
[20] Figalli，A。；Valdinoci，E.，非局部极小曲面的正则性和bernstein型结果，J.Reine Angew。数学。（2015），（印刷中）
[21] Foisy，J。；阿尔法罗，M。；布罗克·J。；霍奇斯，N。；Zimba，J.，《（R^2）中的标准双肥皂泡使周长最小化》，太平洋数学杂志。，159, 1, 47-59 (1993) ·Zbl 0738.49023号
[22] 弗兰克·R·L。；Lieb，E.H。；Seiringer，R.，分数Schrödinger算子的Hardy-Lieb-Thirring不等式，J.Amer。数学。Soc.，21，4，925-950（2008年）·Zbl 1202.35146号
[23] Hales，T.C.，蜂巢猜想，离散计算。地理。，25, 1, 1-22 (2001) ·Zbl 1007.52008号
[24] 哈钦斯，M。；摩根，F。；Ritoré，M。；Ros，A.，《双泡猜想的证明》，《数学年鉴》。(2), 155, 2, 459-489 (2002) ·Zbl 1009.53007号
[25] Kinderlehrer，L。；Nirenberg，D。；Spruck，J.，《椭圆自由边界问题中的正则性》，《国际期刊分析》。数学。，34, 86-119 (1978) ·Zbl 0402.35045号
[26] Knüpfer，H。；Muratov，C.B.，《关于具有竞争非局部项的等周问题I：平面情况》，Comm.Pure Appl。数学。，66, 7, 1129-1162 (2013) ·Zbl 1269.49087号
[27] Knüpfer，H。；Muratov，C.B.，关于具有竞争非局部项的等周问题II：一般情况，Comm.Pure Appl。数学。，1974年至1994年（2014年）·Zbl 1302.49064号
[28] Maggi，F.（《有限周长和几何变分问题集：几何测度理论导论》，《有限周长和几何变分问题集：几何测度理论导论》，剑桥高等数学研究，第135卷（2012年），剑桥大学出版社）·Zbl 1255.49074号
[29] Nitsche，J.C.C.，最小表面集料中液体边缘的更高规则性，Nachr。阿卡德。威斯。哥廷根数学-物理学。Kl.II，75-95（1977年）
[31] Ponce，A.C.，Sobolev空间的一种新方法以及与（Gamma）收敛的联系，计算变量偏微分方程，19，3，229-255（2004）·Zbl 1352.46037号
[32] Reichardt，B.W.，《双泡猜想的证明》，（R^n），J.Geom。分析。，18, 1, 172-191 (2008) ·Zbl 1149.53009号
[33] Reichardt，B.W。；海尔曼，C。；Lai，Y.Y。；Spielman，A.，《（R^4）中双泡猜想和某些高维情形的证明》，太平洋数学杂志。，208, 2, 347-366 (2003) ·Zbl 1056.53007号
[34] O.萨文。；Valdinoci，E.，维2非局部极小锥的正则性，计算变量偏微分方程，48，1-2，33-39（2013）·Zbl 1275.35065号
[35] Simon，L.，圆柱切锥与极小子流形的奇异集，J.微分几何。，38, 3, 585-652 (1993) ·Zbl 0819.53029号
[36] Taylor，J.E.，《肥皂泡状和肥皂膜状极小曲面的奇点结构》，《数学年鉴》。(2), 103, 3, 489-539 (1976) ·Zbl 0335.49032号
[37] Wichiramala，W.，《平面三泡猜想的证明》，J.Reine Angew。数学。，567, 1-49 (2004) ·Zbl 1078.53010号
此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。