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Jean-Pierre侯爵

数学的分类基础。或者如何为抽象数学提供基础。 （英语） Zbl 1329.18001号

版本符号。日志。 6，第1期，51-86（2013）.
这篇论文是众多讨论费费曼反对将范畴理论作为数学独立基础的论点的论文之一。在他发表于[S.费弗曼，in：逻辑，已找到。数学。，计算。理论；程序。第五届国际会议。，伦敦/安大略省1975年，第1部分，149–169（1977；Zbl 0401.18001号)]费弗曼认为，某些集合理论概念，例如操作和集合的概念，“在认识论和逻辑上是先验的”。作者认为，事实上，“优先权必须在于操作和收集的概念，但与费弗曼所声称的相反，类别在这样一个基础框架中发挥着不可或缺的作用。”在费弗曼的论文中，形容词“认识论”与“心理学”密切相关“在每一步中，我们都必须利用非结构化的运算和集合概念来解释要研究的结构概念。因此，运算和集合的概念如果不是首要的，那么逻辑和心理上的优先性是显而易见的。”本论文的创新之处在于作者试图明确区分这一“优先权”的逻辑和心理方面，并沿着这些思路仔细构建对费费曼的反对意见。
对费费曼论文的评论是本文的重要组成部分。以下是作者在引言中所做的几点评论。
“首先，请注意，费弗曼将范畴的概念与群、环等的概念放在一起，换句话说，与代数概念放在一边，这在基础研究的背景下是有争议的。事实上，在这种背景下，我们必须考虑的不是单个范畴，而是范畴的范畴。”代数和几何的丰富结合。”其次，他评论道“抽象数学，就像数学结构的概念一样，是开放的，从这个意义上讲，它所表示的内容相对于用来解释和说明概念的理论工具发生了变化要解释某些抽象概念，必须从复杂、结构化的上下文开始，这与费费曼在这里所说的形成鲜明对比。”第三，他注意到，即使抽象过程在逻辑上看起来可疑，“从心理学的角度来看，它可能仍然是可以辩护的。”人们甚至可以声称，理解形式逻辑本身就是一个抽象过程的例证，即从丰富、复杂的上下文到更简单但多义的上下文。”（范畴理论是这种“丰富而复杂的语境”的另一个例子。）
他继续说道：“费费曼的呈现顺序是向后的。我们只是不从集合和运算开始向学生解释群论。因此，我将定义的顺序与解释的顺序分开。”费费曼称之为“解释”，无论这个表达式在上下文中意味着什么，都不是抽象定义所提供的。”
为结束引言，他说：“我想表明，有可能发展出集合和运算概念的另一种概念，使范畴在这个概念中发挥关键的概念作用。为了从理论上发展这个概念，必须修改一阶逻辑、集合概念和范畴概念的某些方面。”是。动机和所需修改的主要要素来自M.Makkai先生[in:95年逻辑座谈会。符号逻辑协会欧洲夏季年会会议记录，以色列海法，1995年8月9日至18日。柏林：斯普林格。153–190 (1998;Zbl 0896.03051号)]. 然后，我将讨论心理优先权问题。我在后面几节的目标仅仅是为费弗曼似乎放弃的替代方案腾出空间。”
论文的第二部分涉及逻辑优先级。
作者的观点是，可以为朴素的收集和操作概念建立另一种理论框架：“任何对基本问题敏感的范畴理论家都会声称，基本逻辑必须（或多或少）修改后，解释的宇宙必须具有不同于累积层次结构的结构，并且提出的公理必须基于与ZF（C）通常假设的不同的集合概念。”
作者注意到有必要考虑一阶逻辑系统（FOL）的发展历史。在其形成之前（1940-50年左右），它与其他几个系统竞争，例如类型理论。“断言FOL和ZF是同一组织运动的两方并不完全荒谬。”
他对自己的建议进行了更详细的阐述：“逻辑的四个组成部分必须加以修改，以体现当代数学的抽象特征。首先，逻辑必须是多分类或类型化的；其次，必须引入上下文的概念（用于术语和公式）；第三，从属类型或概念从属的概念必须从一开始就纳入逻辑框架；第四，身份的概念必须受到特别关注，因为它在一个分类框架中有不同的表述。”他以最详细的方式对这四点中的每一点进行了评论。“当人们转向ZF中的集合时，可拓性公理捕捉到了同一性。这正是抽象数学的某些方面无法用ZF-集合或任何其他基于可拓性的集合概念进行标准分析或解释的地方在我看来，费费曼论点的失败在于形势的这一特定方面。”
（人们可能会注意到，如今每个有过计算机辅助推理和证明经验的人都知道，在进行数学证明时，外延是许多困难的根源。）
在讨论了同构、同一性（特别是同一类型）和莱布尼茨原理之后，作者指出“同构的集合理论概念不能作为范畴本身的同一性标准”（ldots）等效类别。”
FOL通常将身份作为未分析的原语。事实上，作者说：“这表明，对于抽象数学来说，一个基本的框架必须以这样或那样的方式为这些不同的同一性概念腾出空间。”没有看到范畴理论建立在不同的集合概念上，即抽象概念上。”
关于类别，当对类别的类别进行排序时，差异尤其重要。
第三部分的标题是“拼凑”。本部分的目的是展示可能性完成作者提出的计划。
他说：“至少有三种不同的方法可以将上述组件组合在一起，我不会给出这些系统的精确、完整的正式表示，特别是因为其中两个系统仍在进行重要和基本的开发。”
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集合范畴的基本理论（ETCS）。这种方法主要基于Lawvere的工作[Zbl 0141.00603号;Zbl 1072.18005号]。它与初等拓扑的概念密切相关。在逻辑方面，它使用普通的多排序一阶逻辑，没有依赖排序。
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由提出的高维类别和具有依赖排序的一阶逻辑（FOLDS）M.Makkai先生[Zbl 0896.03051号],R.杰肯多夫（编辑）等。[语言、逻辑和概念。纪念约翰·麦克纳马拉的论文。马萨诸塞州剑桥：麻省理工学院出版社（1999；Zbl 0949.00041号)];http://www.math.mcgill.ca/makkai/). J.-P.马奎斯对这种方法给予了很大关注。他指出，这与Martin-Löf依赖类型理论有关：“第一，句法上的组件是具有依赖排序的一阶逻辑”。然后他概述了“它的一些显著特征”。然而，他的结论似乎并不完全支持这种方法，相反，这对他来说是关于抽象数学讨论的一部分。一方面，他说“Makkai因此提出了一个通用形式系统，该系统具有通用语义（在类别中，而不仅仅是在集合中），就像一阶逻辑一样，并包含了上述所有元素，因为我们坚定地处于范畴逻辑中。”另一方面，他注意到：“一开始，这个宇宙可能看起来荒谬复杂，难以理解，因此不适合于基础宇宙。我们回到了基于基础概念的某种简单性或直接性的论证。我认为，如果一个人达到了这一点，那是因为他忘了我们首先要做的事情：为摘要数学和后一种表达方式不仅仅意味着抽象实体在这个表达方式的本体论意义上。”
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同伦类型理论（另请参见[单价基金项目同伦类型理论。数学的单价基础。新泽西州普林斯顿：高等研究院；北卡罗来纳州罗利：卢鲁出版社（2013；Zbl 1298.03002号)]. 作者注意到：“这是一个最近迅速发展起来的提案，我不会提供关于这个框架的任何技术细节。”他对马丁·洛夫类型理论和麦凯方法的关系作了几点一般性评论。他总结道：“我们现在至少有两个形式系统和一个语义，可以作为框架来开发抽象数学的基础，在这两种情况下，类别都起着至关重要的作用。”
在论文的其余部分，作者讨论了心理优先和逻辑优先的概念。以下引文反映了一些要点。关于优先权：“当费弗曼写下他的论点时，一些人仍然认为数学教学应该反映其逻辑组织，也就是说，心理优先权应该反映逻辑优先权。这现在被视为大错特错。”关于概念：“更令人惊讶的是，[概念]所需的依赖项具有强大的几何的关于看待费弗曼批评的新方式：“我希望已经表明，在任何抽象数学概念上，范畴论都必须在其基础上发挥关键作用。即使在这个框架中，集合和运算也将发挥关键作用。”。因此，在某种意义上，费弗曼是正确的，但不是他设想的那样。”
审核人：塞尔盖·索洛夫（图卢兹）

引用于三文件

MSC公司：

18甲15 基础、与逻辑和演绎系统的关系
03年05月 逻辑和基础的哲学和批判性方面
00A30型 数学哲学
03G30型 分类逻辑，拓扑

关键词：

数学的范畴基础;数学中的抽象;逻辑和心理优先

引文：

Zbl 0401.18001号;Zbl 0896.03051号;Zbl 0141.00603号;兹比尔1072.18005;Zbl 0949.00041号;兹比尔1298.03002
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{J.-P.马奎斯}，Rev.Symb。日志。6，第1号，51--86（2013；Zbl 1329.18001）
全文： 内政部

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