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严树森;杨建福;于晓辉

涉及分数拉普拉斯算子的方程：紧致性和应用。 （英语） Zbl 1317.35287号

J.功能。分析。 269，编号1，47-79（2015）.
在本文中，作者考虑了一个Brézis-Nirenberg型问题[H.布列齐斯和伦伯格、Commun。纯应用程序。数学。36, 437–477 (1983;Zbl 0541.35029号)]对于分数拉普拉斯算子：\[\开始{aligned}（-\Delta）^{\alpha}u&=|u|^{2^{\ast}_{\alfa}-2-\epsilon}u+\lambdau\quad\text{in}\Omega，\\u&=0\quad\\text{on}\partial\Omega。\结束{对齐}\标记{1}\]这里，\（Omega\subset\mathbb{R}^{N}\）是一个有界光滑域，\（epsilon\ in[0,2^{ast}_{\alpha}-2），\（lambda>0\），\。
在这个设置中，作者通过推导相应的次临界问题的适当有界解的强紧性，证明了（1）的无穷多解的存在性。这扩展了G.Devillanova公司和S.Solimini公司【高级差异附录7，第10号，1257–1280（2002年；Zbl 1208.35048号)]从情况\（alpha=1\）到情况\（（0,1）中的alpha\）。由于指数的临界性，如果（ε=0），Palais-Smale条件失败，临界点理论不能直接得到所需的解。因此，遵循Devillanova和Solimini[loc.cit.]的观点，对亚临界问题的（缺乏）起泡行为进行了更详细的紧凑性分析。
为此，作者使用了Caffarelli-Silvestre扩展[L.卡法雷利和L.西尔维斯特、Commun。部分差异。方程式32，No.8，1245–1260（2007；Zbl 1143.26002号)]分数拉普拉斯公式（1）作为局部问题：\[\开始{aligned}-\text{div}（y^{1-2\alpha}\nablav）&=0\quad\text{in}\mathcal{C}（C）_{\Omega}，\\v&=0\quad\text{on}\partial_L\mathcal{C}（C）_{\Omega}，\\y^{1-2\alpha}\frac{\partial v}{\partical\nu}&=|v（x，0）|^{2^{\ast}_{\alpha}-2-\epsilon}v（x、0）+\lambda v（x和0）\quad\text{on}\Omega times\{0\}，\end{aligned}\tag{2}\]其中，\（\mathcal{C}_{\Omega}=\Omega \ times（0，\infty）\）和\（\partial_{L}\mathcal{C}{\Omega}=\ partial\Omegan\ times。考虑在能量空间中一致有界（in（epsilon_n>0））的亚临界问题（2）的解序列（v_n）\[H_{0，L}^{1}（\mathcal{C}（C）_{\Omega}）：=\left\{v\在L^{2}（\mathcal{C}（C）_{\Omega}）：v=0\text{on}\partial_{L}\mathcal{C} _L（_L），\int_{\mathcal{C}（C）_{\Omega}}y^{1-2s}|\nabla v|^2 dx<\infty\right\}，\]作者证明了\（H_｛0，L｝^｛1｝）（\mathcal）中的强收敛性{C}（C）_{\Omega}）\）用于\（v_n\）as \（\epsilon_n\rightarrow 0\）。因此，他们表明沿着这些序列不可能出现冒泡行为。与局部情况（α=1）相比，（2）分析中的主要挑战是推导必要的边界估计。
审核人：Angkana Rüland（牛津）

引用于1审查
引用于48文件

理学硕士：

35兰特 分数阶偏微分方程
35J60型 非线性椭圆方程
35J65型 线性椭圆方程的非线性边值问题

关键词：

分数拉普拉斯算子;临界椭圆问题;密实度;多解

引文：

Zbl 0541.35029号;Zbl 1208.35048号;Zbl 1143.26002号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{S.Yan}等人，J.Funct。分析。269，第1号，47--79（2015；Zbl 1317.35287）
全文： 内政部 arXiv公司

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