理查德·莫林（Richard A.Mollin）。 高级数论及其应用。 （英语） 兹比尔1200.11002 离散数学及其应用佛罗里达州博卡拉顿：CRC出版社（ISBN 978-1-4200-8328-6/hbk；978-1-138-11325-1/pbk；978-1-4200-8329-3/电子书）。xiii，466页。(2010). 理查德·莫林（Richard A.Mollin）是数论及其相关数学领域众多教科书的著名畅销作者，他在这里介绍了他最近关于这个主题的论文。正如他在序言中指出的那样，本书被设计为高级本科生或初级研究生水平的数字理论第二门课程，以遵循前面的初级方法课程，如他以前的教科书“基本数字理论及其应用”中给出的课程【CRC离散数学及其应用丛书。佛罗里达州博卡拉顿：CRC出版社（1998；Zbl 0943.11001号)]. 事实上，本书的读者被认为对上述书的内容有深刻的了解，作者在整个论述中大量引用了这些内容。关于正在审查的书的内容，材料分为十章，每章又分为几个部分。第1章题为“代数数理论和二次域”，提供了代数数域的必要基础知识，特别关注二次域及其在Ramanujan–Nagell Diophantine方程解、高斯整数因式分解、欧氏二次域、，以及指数（p=3）的费马最后定理。唯一因式分解性质的进一步应用涉及Bachet丢番图方程的经典解以及范数核素二次域的特征。第2章讨论了二次数域中整数环的理想理论，以及Noetherian域、Dedekind域和阶乘环的相关代数背景资料。对于具体应用，利用Pollard方法和更高的Fermat数说明了某些三次整数的因子分解方法。第三章从不同的角度研究二元二次型。从等价、判别、约简和类数的基本材料入手，通过比较形式类数和理想类数，给出理想类数有限性的另一种证明，研究形式和理想的歧义概念，分析形式的亏格，以及通过雅可比符号描述通用字符的赋值。在本章的最后，应用上述方法和结果，一方面给出了素数形式（p=a^2+Db^2）的大量表示示例，另一方面也说明了模素数形式的等价性。第4章致力于丢番图逼近的主题，从而假设了连分式、有理逼近、二次有理数和相关主题的基本背景。代数和超越数、Thue-Siegel-Roth定理、Schanuel猜想以及Gel'fond、Gel'fond-Schneider、Prouhet-Thue-Morse、Euler、Apéry和Catalan著名的数论常数的简要讨论是本文的主要主题，以及关于闵可夫斯基数字几何的相关材料的一节。第5章提供了一些扩展的、更高级的算术函数知识，包括伯努利数、伯努利多项式、傅里叶级数、欧拉-马克拉林求和公式、沃利斯公式和斯特林公式，以及欧拉-马塞罗尼常数的精确近似。然后，在关于算术函数平均阶和一些具体应用的后续章节之后，简要解释了黎曼-泽塔函数，特别是考虑到它与著名的素数定理及其各种算术函数等价物的关系，以及黎曼假设。第六章转向数论中的进位分析方法，重点介绍了Hensel引理、域的赋值理论、Ostrowski定理以及进位数作为幂级数的表示。第7章的主要目标是建立关于算术级数中素数的Dirichlet定理。为此，作者首先讨论了Dirichlet特征、Dirichlet-（L）函数以及相关的猜想“广义黎曼假设”。在沿着这些线证明了Dirichlet定理之后，我们展示了Diricwlet密度及其一些应用，最终得到了算术级数中素数的Dirichle密度定理。第8章给出了前几章对丢番图方程的几个应用。在第一部分中，使用Lucas-Lehmer函数及其各种恒等式分析了经典的“广义Ramanujan-Nagell方程”（x^2-D=p^n）和Bachet方程（y^2=x^3+k）的解，从而完成了第一章的讨论。接下来是对正则素数指数的费马最后定理的彻底处理，包括库姆对它的开创性证明，而本章的最后一节则专门讨论了壮观的“ABC猜想”和前一个“加泰罗尼亚猜想”。作者描述了数论中这些里程碑的当前发展状况，解释了在此背景下仍未解决的“费马-加泰罗尼亚猜想”，然后转向ABC猜想的关键意义。后者的几个结果被导出，其中包括Thue-Siegel-Roth定理、Hall猜想、Erdős-Mollin-Walsh猜想、Granville-Langevin猜想和其他相关（推测）陈述。第9章介绍了任意域上的椭圆曲线，主要讨论了它们的算术性质和应用。在展示了基本知识、椭圆曲线上的扭点、卢茨-纳格尔定理、马祖定理、西格尔定理以及椭圆曲线上有理数的简化之后，简要介绍了一些最近的应用。其中包括H.W.Lenstra的奇数复合自然数椭圆曲线因式分解方法，他的相关椭圆曲线素性测试，以及s.Goldwasser和J.Kilian的有效素性证明算法[Proc.18th STOC，316-329（1986）]。本章最后简要介绍了椭圆曲线密码技术，旨在作为进一步的应用，重点介绍了Menezes-Okamoto-Vanstone椭圆曲线密码系统（1991）。第10章是本书的最后一章，简要介绍了模形式，特别是椭圆模函数。这是从\（L\）-函数和模表示的角度解释著名的Shimura–Taniyama–Weil猜想的必要背景材料。利用Ribet定理，证明了这个在2001年被称为“模性定理”的猜想是如何暗示费马最后定理的。数论中的另一个中心主题，即用于估计由乘法性质定义的各种数字集的基数的筛选方法，在附录中进行了讨论。在没有证据的情况下，作者在这里提供了一些经典开放问题的概述，对于这些问题，筛分方法的使用已经带来了显著的最新进展。一路上，读者通过莫比乌斯函数、布伦常数、塞尔伯格筛、布伦-提奇马什定理、双素数上的塞尔伯格筛子、哥德巴赫猜想上的塞尔伯格筛子，阿廷猜想及其上的大筛子、庞拜里-维诺格拉多夫定理，熟悉了埃拉托斯提尼的筛子，最近的Friedlander-Iwaniec定理、Elliott-Halberstam猜想以及Goldston-Pintz-Yildirim关于元组中素数的几乎全新的定理[cf。D.A.Goldston博士,J.平茨和C.Y.Yildirim公司《素数之间小间隙的最新进展之路》，解析数论。向高斯和迪里克莱特致敬。Gauss-Dirichlet会议记录，德国哥廷根，2005年。普罗维登斯，RI：美国数学学会（AMS）。《克莱数学学报》7，129–139（2007；Zbl 1213.11168号)].最后，通过这些结果来说明筛选方法的威力，通过描述由Pollard、Buhler、H.W.Lenstra、Pomerance等提出的强大的“数字域筛选算法”，证明了后者在处理因子分解问题中的作用。在这种情况下，第九个费马数的因式分解是一个很有启发性的例子。如作者前面所述，更多基础教科书“基本数论及其应用”[CRC离散数学及其应用丛书。佛罗里达州博卡拉顿：CRC出版社（1998；Zbl 0943.11001号)]每一节都有大量的例证和练习。课文末尾包含了奇数练习的解决方案，采用课程课文的教师可以获得偶数练习的解答手册。此外，还有大约50位数学家的传记素描，他们为文本中描述的理论的发展做出了贡献，每一节都以引用历史名人作为文化开胃菜的引言为特色。丰富的参考书目包含106个参考文献，其中通过明确的页面参考为文本中给定项目的每次引用提供最大的信息。精心编制的索引有1500多个条目，用于最大程度地交叉引用。总的来说，这本优秀的教科书展示了作者杰出的阐释能力，正如他的数学知识和高尚的品味一样。在先进的古典和当代数论中，作者以最清晰易懂的写作风格，将读者带到了该领域研究的前沿，并展开了一次真正令人兴奋的旅程。审核人：沃纳·克莱因茨（柏林） 引用于1审查引用于4文件 MSC公司： 11-01 与数论有关的介绍性说明（教科书、辅导论文等） 2014年11月 代数数；代数整数环 11E12号机组 全局环和域上的二次型 11G05号 全局场上的椭圆曲线 2006年11月 \（zeta（s）和（L（s，chi）） 2003年11月 模函数和自守函数 关键词：教材;代数数;二次型;丢番图近似;丢番图方程;椭圆曲线;模块化形式;费马最后定理 引文：Zbl 0943.11001号;Zbl 1213.11168号 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{R.A.Mollin}，高级数论及其应用。佛罗里达州博卡拉顿：CRC出版社（2010年；兹bl 1200.11002） 全文： 内政部 整数序列在线百科全书： Markoff（或Markov）数：满足x^2+y^2+z^2=3*x*y*z的正整数x，y，z的并集。 对于A002559中给出的z，具有x≤y≤z的Markoff三元组（x，y，z）的成对（x，y）数组。