詹姆斯·汉弗莱斯（James E.Humphreys）。 BGG范畴中半单李代数的表示。 （英语） Zbl 1177.17001号 数学研究生课程94.普罗维登斯，RI：美国数学学会（AMS）（ISBN 978-0-8218-4678-0/hbk）。十六、289页。(2008). 这本书集中于（mathbb C）上的半单李代数（mathfrak g）表示理论中的代数方法。这次展览是在研究生课程的水平上进行的。重点是最高权模，从Verma模开始，在Kazhdan-Lustig猜想的背景下，在确定简单最高权模的形式特征时进行累积，其证明（1979）超出了本书的代数框架。这本书包含练习、示例和一个很好的参考列表，以供进一步学习和研究工作使用。设（U（mathfrak g））是泛包络代数。所有（U（mathfrak g）-模块中的类别\（text{Mod}\，U（math frack g）\）是一个非常大的类别。许多有趣的李群表示可以用一个更小的子范畴，即BGG来有效地研究类别\（{mathcal O}）由Joseph Bernstein、Israel Gelfand和Sergei Gelfand于20世纪70年代初提出。设\（\mathfrak g=\mathfrak n^-\oplus\mathfrak h\oplus\mathfrak n\）表示Cartan分解。范畴\（\mathcal O\）被定义为\（\roman{Mod}\，U（\mathfrak g）\）的完整子范畴，其对象是满足以下三个条件的模块\（M\）。（1） \（M\）是有限生成的\（U（\mathfrak g）\）-模块。（2） （M\）是\（\mathfrak h\）-半单的，也就是说，\（M \）是一个权重模：\（M=\oplus_{\lambda\in\mathfrak h^*}M_\lambda \）。（3） （M）是局部的（mathfrak n）-有限的：对于M中的每个（v），（M）的子空间（U（mathfrak n）v）是有限维的。第0章总结了关于（mathbb C\）上半单李代数结构的基本事实。读者还需要熟悉初等同调代数。第一部分（最高重量模块，第1-8章）以教科书的形式编写。第1章（类别：基础）从（mathcal O）的公理及其直接后果开始。第二章讨论有限维模的特征。为了推导Weyl和Kostant的经典公式，作者遵循BGG的方法，将字符研究为Verma模的形式\（\mathbb Z\）-线性组合。第三章是关于范畴（mathcal O）中的同调方法：函子（roman{Hom}）和（roman}Ext}），（mathcalO）上的对偶函子，主权和反权，带有限维模的张量Verma模，（matHCalO）中投影对象和BGG互易，模上的逆变形式。第4章（最高权重模块1）重点介绍Verma模块及其简单商。第5章（最高重量模块2）是关于Bernstein-Gelfand-Gelfand和Shapovalov的进一步开发。一个中心结果是关于Verma模的合成因子的BGG定理，它可以根据Bruhat序重新表示为正则权重。作者强调了Jantzen定理在Jantzen-filtrations框架下的替代证明。第六章（扩展与解析）给出了有限维模simple（L（lambda））的BGG分解，其项是Verma模的直和。这实现了Weyl-Kostant字符公式作为Euler特征。本章的提示将讨论更高级的（罗马{Ext}）函子。第7章（翻译函子）。引入了平移函子，并研究了它们对Verma模和简单模的影响。因此，得到了自对偶射影是对应于反支配权的射影的一般证明。第八章（卡兹丹-卢斯蒂格理论）。本章标志着从教科书到调查模式的转变。概述了Kazhdan-Lostig多项式的构造，并对Kazhdan-Lostig猜想进行了形式化表述。Beilinson-Bernstein和Brylinski-Kashiwara发表了对猜想的独立证明；介绍了各自的文献。第二部分（进一步发展）。第9章。（类别\（\mathcal O\）的抛物线版本）。本章是关于由（mathfrak g）的抛物子代数（mathfrak p\supset\mathfrack b\）确定的子范畴\（mathcal O^{mathfrak-p}\）。第十章（射影函子和主级数）本章讨论约瑟夫·伯恩斯坦和谢尔盖·盖尔芬德定义的射影函元，以及具有（mathfrak g）作为李代数的复半单李群的主级数Harish-Chandra模的相关范畴。第11章（倾斜模块）。倾斜模块的特点是模块及其双重模块都具有标准过滤。动机间接来自于对半单代数群、单位根量子包络代数或仿射Kac-Moody代数的并行模范畴中的融合规则的研究。第12章（扭曲和完成函数）。本章讨论洗牌Verma模、扭曲函子和完成函子。第13章（补遗）。作者简述了范畴（mathcal O）与表征理论其他部分之间的一些相互作用。讨论了以下概念：泛包络代数和本原理想的分类；类似于范畴\（\mathcal O\），Kac-Moody代数，各种范畴中最高权重模的类似物；块，它们的箭袋是一种表示类型。审核人：维克托·彼得格尔斯基（乌里扬诺夫斯克） 引用于1审查引用于248文件 MSC公司： 17-02 关于非结合环和代数的研究综述（专著、调查文章） 17B10号机组 李代数和李超代数的表示，代数理论（权重） 17对20 单、半单、归约（超）代数 17B35型 泛包络（超）代数 关键词：半单李代数;重量最大的模块;Verma模块 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{J.E.Humphreys}，BGG范畴中半单李代数的表示（mathcal O\）。普罗维登斯，RI:美国数学学会（AMS）（2008；Zbl 1177.17001）