伯恩德·卡沃尔;马塞洛·露西亚 一些指数Sobolev不等式中的最佳常数。 （英语） Zbl 1170.46033号 印第安纳大学数学系。J。 57，第4期，1907-1927（2008）. 设\（\Omega\）是\（{mathbb R}^n\），\（\alpha_n={{（n-1）^{n-1}n^{1-2n}}\ over{Omega_n}}\）的有界域，其中\（\Omega_n\）表示单位球面\（S^{n-1}\子集{mathbbR}^n\），\ R}\）和\（f（\lambda，u）={1\over n}\int_{\Omega}W中的\（u\）的|\nabla u|^n\，dx-\lambda f（{1\over{|\Omega|}}\int_{\Omega}e^u\，dx）^{1，n}0（\欧米茄）\）。定理1：如果\（f（s）=int^s_1{1\over\tau}（1-{1\ver\tau}）^{n-1}\，d\tau\），则\（f（lambda，cdot）\）承认一个径向临界点\（u_0>0）当且仅当\（lambda={1\ over\{n\alpha_n}}\）；此外，对于所有（lambda\leq{1\over{n\alpha_n}}，u0），W中的u^｛1，n｝_0（\欧米茄）\），\（u\geq 0\）。定理2：如果（B）是（{mathbb R}^n）和（C^1（]0，infty[））中的球，（lim_{s\rightarrow\infty}（f（s）-\ln\；s）=0\），（f'\geq0\）和（s\mapsto{1\over-{n\alpha_n}}{{（1-{1\ over-s}）^{n-1}over-{sf'（s）}}）是在\（]1，\infty[\）中严格递增，然后是\（f（{1\over{n\alpha_n}}，u）>\inf\{f（{2\over}，v）：v\在W中^{1，n}0（B）}=-{1\over{n\alpha_n}}\sum^{n-1}_{k=1}{1\over{k}}\）用于W中的任何\（u\^{1，n}0（B）\）\（F（lambda，\cdot）\）在\（B）中为每个\（lambda<{1\over{n\alpha_n}}\）承认一个唯一的极小值，而对于\（lampda={1\ever{n\alpha_n}}\）则不实现下确值。定理3：设（B）为中心0的球，设（R）为（{mathbb R}^n）中的射线，设（u）为W中的射线^{1，n}_{0}（B）是的径向弱解\[-\文本{div}（|\nablau|^{n-2}\nablau）={{lambda}\ over{|B|}}f\ left（{1\over{B|}{int_{B}e^u\，dx\ right）e^u；\标记{*}\]则\（\sigma={1\over{|B|}}\int_{B}e^u\，dx\）满足\[n \alpha_n\lambdaf（\sigma）={{text{sgn}（\sigma-1）}\over\sigma}\left|1-{1\over\simma}\right|^{n-1}；\标记{**}\]相反，（a）如果存在（sigma0\in]1，infty[\）满足（（**）\），则问题（（*）\）承认正径向弱解，（b）如果存在[sigma0 \in]0,1[\）满意（**）]，则问题\（*）承认负径向弱解；（c）如果1满足（**），则0是解；如果（u（x）对于（|x|<R\），=n\ln{\sigma_0\ over{1+（\sigma _0-1）（{{|x|}\ over R}）^{n over{n-1}}}），则（u）是（a）和（b）中的解。审核人：Gianfranco Bottaro（热那亚） 引用于9文件 理学硕士： 46E35型 Sobolev空间和其他“光滑”函数空间、嵌入定理、迹定理 35J60型 非线性椭圆方程 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \印第安纳大学数学系textit{B.Kawohl}和\textit{M.Lucia}。J.57，第4期，1907年-1927年（2008年；兹bl 1170.46033） 全文： 内政部