阿夫拉姆·西迪 端点奇异积分的Euler-Maclaruin展开：一个新的观点。 （英语） Zbl 1081.65003号 数字。数学。 98，第2期，371-387（2004）。 本文对与应用（m）面板偏置梯形规则相关的离散化误差提供了一种新的重要的渐近展开式\[\widetilde T_m[f；θ]={1\over m}\sum^{m-1}_{i=0}f\Biggl（{i+\theta\over m}\Biggr）\]近似积分\（I[f]=int^1_0f（x）\，dx\）。经典Euler-Maclaruin求和公式的一个小改型导致了一个熟悉的结果，即当\（f\ in C^\infty[0,1]\），\[\widetilde T[f；\theta]-I[f]\sim\sum_{s=1}^\infty b_s/m^s，\]其中，（bs）依赖于（f）和（θ），但不依赖于（m）。读者将步长确定为（h=1/m），并将其确定为外推求积的基础，例如隆伯格积分及其许多变体。在过去的半个世纪里，这个公式被不同的作者，主要是Navot、Lyness、Ninham、Monegato和Sidi，推广到了许多具有端点奇点的函数（f（x））。目前，对于形式的被积函数，已经证明存在这种一般性质的展开式\[f（x）=x^\gamma（1-x^\delta）P（\log x）Q（\ log（1-x））g（x）\]在C^infty[0,1]\中使用\（g（x）\和\（P\）和\（Q\）多项式以及一般\（gamma\），\（delta\）。在这种更一般的情况下，离散化误差展开除包括形式（b_s/m^s）的项外，还包括形式（a_{s+gamma}\log^m/m^{s+gamma}\）的项，用于所有正整数（s）和所有非负整数（p），直到阶数\（p），以及涉及\（δ\）和\（Q \）的相应项。如果积分发散，并且\（\gamma\）和\（\delta \）不是负整数，则该理论以自然的方式用Hadamard有限部分积分替换不定量。在本文中，作者将几乎所有这些结果推广到一个端点处具有更复杂奇点的函数。为了说明这一点，假设（P）是一个常数，因此不会出现对数项。在C^\infty[0,1]\）中，（f（x）=x^\gamma g（x）在\（x=0\）处的奇异性形式为\（f（x）\sim\sum^\inffy_{s=0}C_sx^{\gamma+s}\）为\（x\至0+\），由此展开式中的一组项为\（a_{\gama+s}/m^{\gamma+s{\）。本文建立的泛化允许函数\[f（x）\sim\sum^\infty_{s=0}C_sx^{\gamma_s}\quad\text{as}\quad x\ to 0+，\]其中，不同复数序列\（\gamma_s\）满足\[\文本{Re\，}\gamma_{s+1}\geq\text{Re\、}\gamma_s；\quad\gamma_s\not\in\text{负整数}；\quad\lim_{s\to\infty}\，\text{Re\，}\gamma_{s+1}=\infty。\]扩展中的术语现在可能包括所有\（a_{\gamma_s}/m^{\gamma_s}\）除了包含负整数指数\（\gamma\）或\（\delta \）的被积函数可能存在的例外情况外，这个新结果是一个“伞形”结果，而这个审阅者已知的几乎所有以前的结果都是这种情况的特例。一个普通读者可能会想象，像这样的被积函数很少发生。然而，一个直接的应用是分析阿特金森变换在球面和（mathbb{R}^3）中其他光滑曲面上的积分。回顾此处涵盖的结果时，有两点非常突出。首先，虽然证明是冗长而繁琐的，但由此产生的展开式在性质上非常简单。他们很容易记住。第二，建立这些结果所需的所有数学都已经有一百多年的历史了。只需要渐近展开式的最基本性质。二十世纪第一个十年的读者会欣赏中立函数的明智使用，会欣赏作者的灵巧，并且会毫不费力地理解证明和结果。似乎根本不需要任何现代理论。这丝毫没有减损这项工作的内在价值。这位裁判认为，这是对外推求积的一个重大贡献，并在科学计算的实际程序中发挥了有益的作用。审核人：J.N.Lyness（阿贡） 引用于3评论引用于27文件 MSC公司： 65B15号机组 数值分析中的Euler-Maclaruin公式 30埃15 复平面上的渐近表示 40A25型 极限值的近似值（级数求和等） 41A60型 渐近近似、渐近展开（最速下降等） 65天32分 数值求积和容积公式 41A55型 近似正交 关键词：欧拉-麦克劳林公式;外推求积;端点奇异性;隆伯格一体化;Hadamard有限部分积分;渐近展开;梯形法则;误差扩展 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{A.Sidi}，数字。数学。98，第2号，371--387（2004；Zbl 1081.65003） 全文： 内政部 数学函数数字图书馆： 示例§2.10（i）Euler–Maclaurin公式§2.10面积和和序列第2章渐近逼近 参考文献： [1] 阿波斯托，T.M.：数学分析。Addison–Wesley，伦敦，1957年·Zbl 0077.05501 [2] Davis，P.J.，Rabinowitz，P.：数值积分方法。纽约学术出版社，第二版，1984年·Zbl 0537.65020号 [3] Lyness，J.N.：有限部分积分和Euler–Maclaurin展开。R.V.M.Zahar，《近似与计算》编辑，ISNM第119号，第397-407页，波士顿-巴塞尔-柏林，1994年。Birkhäuser Verlag公司·Zbl 0817.41028号 [4] Lyness，J.N.，Ninham，B.W.：数值求积和渐近展开。数学。公司。21, 162–178 (1967) ·Zbl 0178.18402号 ·doi:10.1090/S0025-5718-1967-0225488-X [5] Monegato，G.，Lyness，J.N.：欧拉-麦克劳林展开和有限部分积分。数字。数学。81, 273–291 (1998) ·Zbl 0932.41027号 ·doi:10.1007/s002110050392 [6] Navot，I.：Euler–Maclaurin求和公式对具有分支奇异性的函数的扩展。数学杂志。和物理。40, 271–276 (1961) ·Zbl 0103.28804号 [7] Navot，I.：欧拉-麦克劳林求和公式的进一步推广。数学杂志。和物理。41, 155–163 (1962) ·Zbl 0109.28904号 [8] Ninham，B.W.：广义函数和发散积分。数字。数学。8, 444–457 (1966) ·Zbl 0143.38701号 ·doi:10.1007/BF02166670 [9] Sidi，A.：实用外推方法：理论与应用。剑桥应用与计算数学专著排名第10。剑桥大学出版社，剑桥，2003 [10] Steffensen，J.F.：插值。切尔西，纽约，1950年 [11] Verlinden，P.：体积公式和渐近展开。鲁汶大学博士论文，1993年。由A.Haegemans监督·Zbl 0795.41029号 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。