比约恩桑德斯特德 行波稳定性。 （英语） Zbl 1056.35022号 Fiedler，Bernold（编辑），《动力系统手册》。第2卷。阿姆斯特丹：爱思唯尔出版社（ISBN 0-444-50168-1/hbk）。983-1055 (2002). 作者概述了行波（包括脉冲和波前）稳定性理论中使用的概念和方法。他在很大程度上讨论了理论中可以称为“线性化稳定性”或“光谱稳定性”的部分。作者强调了新文学中出现的一个有趣的观点。例如，考虑反应扩散系统\[\partial_tu=D\部分^2_xu+F（u），\四元x\in\mathbb{R}，\；u=（u_1，\点，u_n），\；D=（a_{jj}\delta_{jk}），\；a_｛jj｝>0，\tag｛1｝\]具有平滑非线性。一种寻求形式为\（u（x，t）=u（x-ct，t）\），\（c>0\）的解。设置\（\xi=x-ct\），（1）转换为\[\partial_tU=D\partial ^2_\xi U+c\partial_\xi U+F（U），\；\xi\in\mathbb{R}。\标记{2}\]作为底层函数空间，例如，空间连续一致有界函数。（2）的平衡解（Q=Q（xi））称为行波，在某些情况下称为脉冲或波前。为了研究（Q）的稳定性，我们引入了特征值问题\[D\partial ^2_\xi U+c\partial_\xi U+（\partial-uF）（Q）U=\lambda U\tag{3}\]作者将重点放在（3）一阶常微分方程的线性系统上：\[\部分U=V，\；V=D^{-1}\biggl（\lambda-（\partial_uF）\bigl（Q（\xi）\bigr）u-cD^{-1}伏\标记{4}\]等价于（3）：（4）的有界解产生（3）的有边界解，反之亦然。设置\（u=（u，V）\），（4）可以用更紧凑的形式书写\[\partial_\xi u=A（\xi，\lambda）u，\；在C_b^1中的u（\mathbb{R}，\mathbb{R}^{2n}）\tag{5}\]通过（4）正确定义了\（A（\xi，\lambda）\）。使用（5）可以将运算符值族（T（lambda））、（lambda\in\mathbb{C}）简单地关联到（T），这样，（text{dom}（T（\lambda\[T（\lambda）u=\partial_\xi u-A（\xi，\lambda）u.\tag{6}\]谱（Sigma=\Sigma（T））定义如下：（a）（\lambda\in\Sigma\）iff\（T（\lampda）\）不是有界可逆的，（b）（\lambda\in \Sigma-{pt}\）iff（T（\ lambda）\是指数为零的Fredholm，（c）。该定义的优点是，（Sigma）、（Sigma{pt}）、（Sigma{ess}）根据指数二分法的概念承认特征，这与线性常微分方程的稳定性理论有关。例如：\（\lambda\in\mathbb{C}（C）-\Sigma iff（5）或等价物（4）承认指数二分法[Thm.3.2 inK·J·帕尔默[《美国数学学会学报》104、149–156（1988年；兹比尔0675.34006)]. 本文的主要部分致力于在与行波有关的各种情况下，上述频谱概念和指数二分法概念之间的相互作用。一个相对较小的章节专门讨论了上述概念与非线性稳定性之间的关系；一系列参考文献可作为替代。本文对行波稳定性领域进行了高度推荐性的介绍，作者对此做出了重大贡献，但未提供任何证据。关于整个系列，请参见[Zbl 0982.37002号].审核人：布鲁诺·斯卡佩里尼（巴塞尔） 引用于196文件 理学硕士： 35B35型 PDE环境下的稳定性 35公里40 二阶抛物线系统 37升15 无限维耗散动力系统的稳定性问题 35-02 关于偏微分方程的研究综述（专著、调查文章） 37-02 关于动力学系统和遍历理论的研究综述（专著、调查文章） 35G20个 非线性高阶偏微分方程 35K57型 反应扩散方程 关键词：线性化稳定性;光谱稳定性;脉冲;正面;指数二分性 引文：兹比尔0675.34006 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{B.Sandstede}，收录于：动力系统手册。第2卷。阿姆斯特丹：爱思唯尔。983--1055（2002；Zbl 1056.35022）