Piotr A.Krylov。;亚历山大五世·米哈列夫。;阿斯卡尔·A·图甘巴耶夫。 阿贝尔群的自同态环。 （英语） Zbl 1044.20037号 代数与应用2。马萨诸塞州波士顿：Kluwer学术出版社（ISBN 1-4020-1438-4/hbk）。xii，第442页。(2003). 鉴于这本书的标题，首先要问的问题是：为什么要研究阿贝尔群的自同态环？作者提供了三组理由。首先，我们可以获得关于阿贝尔群的更多信息，开发新的概念和方法，并确定要检查的新有趣的群类。其次，我们可以促进更一般的模和自同态环理论的发展。第三，我们可以说明环和模的加性群的结构，以及阿贝尔群的同调性质。在这本书中，方法的多样性、结果的优美性以及公开问题的吸引力为作者的理论基础提供了充分的理由。给定一个阿贝尔群，我们可以首先考察自同态环{结束}_\mathbb{Z}（A）\），然后将组\（A\）作为\（\text{结束}_\mathbb{Z}（A）\）-模块。有各种各样的工具可用于此类研究，并且假设“自同态环”的读者对阿贝尔群、环和模的理论有一定的了解。这本书分为七章，如下所述。第一章（关于自同态环的一般结果）。在基本定义和结果的两部分之后是自同态环的一部分示例和性质。然后有四节关于无扭阿贝尔群的内容，包括对拟同构环和J.D.Reid的不可约群的讨论。第二章（群作为其自同态环上的模）。这些“内模”的一些被检验属性分别是Artian、Noetherian、flat、finitely-generated和projective。第三章（自同态环的环性质）。在有限拓扑的一节之后，本章讨论了具有dcc或acc的自同态环，以及正则环、交换环和局部环。第四章（雅各布森根式）。雅各布森根在环理论中的重要性是众所周知的。本文研究了p群、无挠有限秩群、代数紧群和完全可分解群的自同态环的根。第五章（同构与实现）。（1） 在何种程度上\（\text{结束}_\mathbb{Z}（A）决定（A）？这个问题的答案被称为“同构定理”。最著名的是由于Baer-Kaplansky：如果\（A\）和\（B\）是具有同构自同态环的扭群，那么\（\text）之间的每个同构{结束}_\mathbb{Z}（A）和（text{结束}_\mathbb{Z}（B）是由（A）和（B）之间的同构所诱导的。（2） 给定一个环\（R\），当是\（R=\text{结束}_\一些阿贝尔群的mathbb{Z}（A）？这个问题的答案被称为“实现定理”。这里的模型是“角定理”：具有恒等式的可数、约化、无挠环是秩为两倍的阿贝尔群的自同态环。应该注意的是，本章不包含任何使用Shelah黑匣子的关于实现的广泛工作。第六章（遗传自同态环）。本章是本书中最长的一章，将前几章的结果结合在一起，提出了代表（A）、（text）之间相互作用的顶峰的定理{结束}_\mathbb{Z}（A）\）和\（_{text）的模块结构{结束}_\mathbb{Z}（A）}A\）。内容远远超出了本章的标题，包括自小群、群的范畴和自同态环上模的范畴的等价、忠实群、内平面群、具有右遗传自同构环的群、广义秩1的群、作为自同态圈的最大阶，和MOP-半单群。第七章（完全传递组）。群是完全可传递的（ft），如果对于A中的任意两个元素（A，b\），具有（text{height}（A）leq\text{height{}（b）），则存在（A）到（b\）映射的自同态。涵盖的主题包括齐次ft群、其拟同构环是除环的ft群和无挠群。这本书基本上是自足的，尽管有些证据是在需要太多额外材料时通过参考给出的。在每一节的末尾都会出现一些有用且富有挑战性的练习集，在每一章的末尾都列出了一些悬而未决的问题。这本书将作为研究生课程的教科书、活跃的数学领域的参考资料以及吸引人的研究问题的指南，具有重要价值。审核人：查尔斯·文森哈勒（斯托斯） 引用于4评论引用于57文件 MSC公司： 20公里30 阿贝尔群的自同态、同态、自同态等 16S50型 自同态环；矩阵环 16日90分 结合代数中的模范畴 20-02 与群论有关的研究综述（专著、调查文章） 关键词：阿贝尔群;自同态环;环的加法群;拟自同态;雅各布森根 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{P.A.Krylov}等人，阿贝尔群的自同态环。波士顿马萨诸塞州：Kluwer学术出版社（2003；Zbl 1044.20037）