米查·卡洛恩斯基;托马斯·尤扎克 随机超图中的相变。 （英语） Zbl 0995.05131号 J.计算。申请。数学。 142，第1期，125-135（2002）. （d）-一致超图（H）由（n）个顶点的集合（V）和（V）个元素子集的族（{mathcal E}）组成，称为边。（因此一个图是一个2-一致超图。）如果有一系列顶点（v{1}，点v{r-1}）和边（e_{1}，点e_{r}），那么两个顶点（v，v）是相连的，这样（为了方便起见，写下\（u=v{0}\）和\（v=v{r}\），我们就有所有（0）的\（v{i}，v{i+1}\）。\leq i\leq（r-1）\）。如果（S\）中的每一对顶点都是连通的，则顶点集\（S \）是连通的。组件是\（{1,2\点，n\}\）的最大连通子集：组件的顺序是其中的顶点数。具有\（r=s（d-1）-k\）顶点和\（s\）边的连通\（d\）-一致超图的数量将表示为\（C_{d}（s，k）\）。我们说，如果（用相同的符号）（k=s（d-1）-r）是（-1），则（H）是树，如果（k=0），则它是单循环的。（在随后的所有渐近估计中，应将（d）视为固定的：因此隐含常数可能取决于（d）。）随机超图（{mathbb{G}}^{d}（n，M（n））是从顶点集（{1,2，点n}）和（M（n。我们说一个随机超图有一个特定的性质\（\wp\）a.a.s如果\[\lim_{n\rightarrow\infty}P\left（{\mathbb{G}}^{d}（n，M（n））\text{has}\wp\right）=1。\]在（d=2）的情况下，即随机图，一些目前的标准结果，总结于S.Janson、T.Łuczak和A.Ruciński[随机图（Wiley，纽约）（2000；Zbl 0968.05003号)]证明如果\（M（n）=cn\），那么对于\（c<1/2）a.a.s.，所有组件都是树或单循环的，它们的顺序是\（log（n）\），但对于\（c>1/2）a.a.s，会出现一个“giant”组件，其顺序在\（n）中是线性的。（c\sim 1/2）的情况更为微妙。在这篇综述的其余部分中，让（m=m（n））是（n）的函数，使得（lim_{n\infty}m/n^{2/3}=infty\）但是（m=o（n）\）。结果表明，如果（M=n/2-M），则所有最大分量的阶数大致相等，但如果（M=n/2+M），则a.a.s.存在一个唯一的最大分量，其显著大于任何其他分量。对于（d>2）的值，将这些结果推广到（{mathbb{G}}^{d}（n，M））的第一步是在J.Schmidt-Pruzan和E.Shamir[组合数学581-94（1985；Zbl 0573.05042号)]. 结果表明，最大部件的尺寸如下。对于（d\geq2）、（M=cn）和（c<1/（d（d-1）），它是顺序（log（n））的a.a.s，对于（c=1/。在本文中，作者研究了当（M\sim n/（d（d-1）））时的行为。当\（M=n/（d（d-1））-M\）时，情况并不太难。他们首先表明a.a.s.所有成分要么是树要么是单圈。这是通过表明否则它们必须包含两种类型的结构中的一种来实现的，然后使用一阶矩法来表明a.a.s.这两种结构不存在。此外，使用B.I.塞利瓦诺夫[具有简单圈结构的齐次超图的枚举（俄语），Komb.Anal.2，60-67（1972）]，关于（C_{d}（s，-1）和（C_}d}，s，0），它们获得（对于任何固定的）（ell）在（{mathbb{G}}^{d}（n，M））的第个最大单圈分量中边数的极限分布，以及（{mathbb{G}}^{d}（n，M））（即a.a.s.树）第个最大分量中边数的极限分布。这些结果很容易暗示a.a.s.不存在超过（n^{2/3}）边的分量。对于具有（M=n/（d（d-1））+M）的\（{mathbb{G}}^{d}（n，M）\）的情况，情况更为困难，并且与获得上述所有\（M（n）\的结果不同（就像随机图的情况一样），作者只能在（除了前面关于\（M）的假设之外）我们具有\（M。对于这里考虑的\（M\）的值，\（｛\mathbb｛G｝｝^｛d｝（n，M）\）的最大分量\（C\）是a.a.s.唯一的。作者证明了（C）a.a.s.包含（1+o（1））2dm/（d-1）条边，并获得了在一定范围的值（s）和（k）下，（C）具有边和顶点的概率（p{s，k}）的渐近性。该证明使用了详细的计算、本审查最后一段末尾所述的事实以及作者早期的结果M.Karoánski，T.Łuczak[离散数学.171，153-167（1997；Zbl 0876.05041号)]关于（k=k（s））的（C{d}（n，k））的渐近性作为（s）的函数缓慢无穷大。他们的结果的一个推论（以前在（d=2）的情况下甚至没有注意到）是（C）中边数和（C）的顶点数的联合分布（归一化后，结果是具有相关性的二元正态（sqrt{15}/5））。他们还推测限制（m（n）=o（n^{2/3}\log（n）/\log\log。最后，他们给出了第个最大分量大小的局部极限定理（同样，第个最大的分量是固定的）。审核人：David B.Penman（科尔切斯特） 引用于28文件 MSC公司： 05C80号 随机图（图形理论方面） 05C65号 Hypergraphs（Hypergraph） 关键词：随机超图;相变;最大分量 引文：Zbl 0968.05003号;兹比尔0573.05042;Zbl 0876.05041号 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{M.Karoñski}和\textit{T.Łuczak}，J.Compute。申请。数学。142，编号1，125--135（2002；Zbl 0995.05131） 全文： 内政部 参考文献： [1] Bender，E.A。；坎菲尔德，E.A。；McKay，B.D.，具有给定数量顶点和边的标记连通图的渐近数，随机结构。算法，112-169（1990）·Zbl 0745.05022号 [2] Bollobás，B.，《随机图的进化》，Trans。阿默尔。数学。《社会学杂志》，286257-274（1984）·Zbl 0579.05046号 [3] Bollobás，B.，《随机图》（1985），学术出版社：伦敦学术出版社·Zbl 0567.05042号 [4] Erdős，P。；Rényi，A.，关于随机图的演化，Publ。数学。科学。挂。阿卡德。科学。，5, 17-61 (1960) ·Zbl 0103.16301号 [5] Janson，S。；Knuth，D.E。；Łuczak，T。；Pittel，B.，巨型构件的诞生，随机结构。算法，4233-358（1993）·Zbl 0795.05127号 [6] Janson，S。；Łuczak，T。；鲁辛斯基，A.，《随机图》（2000），威利：威利纽约·Zbl 0968.05003号 [7] 卡伦斯基，M。；Łuczak，T.，连通稀疏边一致超图的个数，离散数学。，171, 153-167 (1997) ·Zbl 0876.05041号 [8] Łuczak，T.，随机图过程临界点附近的组件行为，随机结构。算法，1287-310（1990）·Zbl 0745.05048号 [9] 施密特·普鲁赞（Schmidt-Pruzan），J。；沙米尔，E.，随机超图演化中的成分结构，组合数学，581-94（1985）·Zbl 0573.05042号 [10] Selivanov，B.I.，Perechislene odnorodnykh hipergrafov c prostŏciklovöstrukturo \774'，Kombinatorny \774]Analiz，2，60-67（1972年） 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。