维玛，J.K。;D.卡茨。;曼达尔，S。 二次代数的希尔伯特函数。 （英语） Zbl 0927.13021号 Simis，Aron（编辑）等，交换代数。1992年9月14日至25日，意大利米拉马雷·特里斯特，ICTP研讨会记录。新加坡：世界科学。291-302 (1994). 引言：设（S）是一个Artinian局部环。设（X={X_0，dots，X_m}）和（Y={Y_0，dots，Y_n}）是两组不定项。那么多项式环（R=S[X；Y]\）是一个二次代数。设（R_{rs}）表示由形式为（PQ）的单项式生成的（S）-模，其中，（P）是（X）中的度（R）单项式，（Q）是（Y）中的次（S）单项型。我们说，（PQ）是度的单项式\（R\）将所有\（R，s，a，b，in\mathbb{N}\）分解为\（R=\bigoplus_{R，s\geq0}R_{rs}\）和\（R_{rs}R{ab}=R_{R+a，s+b}\）。元素\（R_{rs}\）称为度\（R，s）\的双齐次。由双齐次元素生成的理想（I子集R）称为双齐次理想。因此，\（A=R/I\）是一个二次代数，度\（R，s）的二次分量是\（A{rs}=R{rs}/I{rs}\）。（A\）的希尔伯特函数定义为\（H（r，s）=\lambda（A{rs}）\），其中\（\lambda\）表示长度为\（s\）-模。B.L.范德瓦尔登[Proc.K.Akad.Wet.阿姆斯特丹31749-770（1928；JFM 54.0190.02标准)]证明了如果\（S\）是一个域，并且\（d=\dim（a）-2\），那么对于大\（r\）和\（S\），\（H（r，S）\由形式为\（sum_{i+j\leqd}a{ij}{r\chooses}{S\choosej}\）的多项式\（P（r，S\）给出，其中\（a_{ij{}\）是整数。在数字\（a_{ij}\）中，\（i+j=d\）特别有趣。让我们用\（e_{ij}（I）\）来表示它们。这些被B.L.van der Waerden（见上述引文）称为“I”度。他证明了度是非负整数，并指出了它们的几何解释。在本文中，我们指出了二次代数与（mathbb{N}）分次代数的Hilbert函数之间的一些基本区别，并指出了一些相似之处。在第2节中，我们将确定\（P（r，s）\）的总阶数。一般来说，它不是“期望值”\（\dim（A）-2\）。在第3节中，我们将证明（I）度的公式。通过设置（A_n=\bigoplus{r+s=n}A{rs}），可以将二次代数（A\）变成一个分次代数。因此\（A=\bigoplus_{n\geq0}A_n\）。在第4节中，我们将证明\（A\），\（e（A）\）的多重性是\（I\）的次数之和，前提是\（A_｛10｝\）和\（A_｛01｝\）产生的理想具有正高度。因此，我们恢复了由J.K.维尔马[《美国数学学会学报》104，第4期，1036-1044（1988；Zbl 0693.13015号)]关于Rees代数在齐次极大理想上的多重性。最后，在第5节中，我们给出了一些示例。关于整个系列，请参见[Zbl 0913.00030号]. 引用于13文件 MSC公司： 13日40分 Hilbert-Suell和Hilbert-Kunz职能；庞加莱级数 13A02号 分级环 13E10号 交换Artinian环和模，有限维代数 关键词：希尔伯特函数;希尔伯特多项式;Artinian局部环;JFM 54.0190.02标准 引文：Zbl 0693.13015号;JFM 54.0190.02标准 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{J.K.Verma}等人，in：交换代数。研讨会记录，ICTP，米拉马雷·特里斯特，意大利，1992年9月14日至25日。新加坡：世界科学。291--302（1994；Zbl 0927.13021）