伊戈尔Podlubny 分数微分方程。介绍分数阶导数、分数阶微分方程及其求解方法和一些应用。 （英语） Zbl 0924.34008号 科学与工程数学. 198. 加州圣地亚哥：学术出版社。xxiv，340页（1999年）。 在过去的三十年里，分数微积分（即任何实数或复数阶的导数和积分）的学科变得越来越重要，这主要是因为它在科学和工程的不同领域中得到了证明的应用，例如流体流动、流变学、自相似和多孔结构中的动力学过程，扩散输运与扩散、电网络、概率统计、动力系统控制理论、粘弹性、腐蚀电化学和化学物理有关。事实上，它为求解微分方程和积分方程，以及涉及数学物理特殊函数的其他问题，以及它们在一个或多个变量中的扩展和推广提供了几种潜在有用的工具。分数微积分的概念似乎起源于1695年9月30日侯爵（Marquis de l'Hópital，1661-1704）给莱布尼茨（G.W.Leibniz，1646-1716）的一封信，信中探讨了莱布尼兹（目前流行的）符号（{d^ny\over dx^n}）对于阶导数（n）when（n={1\over 2}）的意义。任意（实或复）阶分数阶积分是（n（n\in\mathbb{n}）阶普通积分的推广。实际上，如果我们通过定义线性积分算子\（{mathcal I}\）和\（{mathcal K}\）\[（{\mathcal I}f）（x）：=int^x_0f（t）dt\tag{1}\]和\[（{\mathcal K}f）（x）：=\int^\infty_xf（t）dt，\tag{2}\]然后通过迭代很容易看出\[（{\mathcal I}^nf）（x）={1\over（n-1）！}\nint^x_0（x-t）^{n-1}f（t） dt\quad（n\in\mathbb{n}）\tag{3}\]和\[（{\mathcal K}^nf）（x）={1\over（n-1）！}\int^\infty_x（t-x）^{n-1}f（t） dt\quad（n\in\mathbb{n}）。\标记{4}\]为了插值（（n-1）！）在\（n\）的正整数值之间，可以设置\[（n-1）！=\伽马（n）\标签{5}\]根据熟悉的Gamma函数。因此，一般来说，方程（3）和（4）最终会产生Riemann-Liouville算子（{mathcal R}^ mu）和分数阶积分（mu）（（mu inmathbb{C}）的Weyl算子\[（{\mathcal R}^\mu f）f（x）：={1\over\Gamma（\mu）}\int^x_0（x-t）^{\mu-1}f（t）dt\quad\bigl（{\mathfrak R}（\mo）>0\bigr）\tag{6}\]和\[（{\mathcal W}^\mu f）（x）：={1\over\Gamma（\mu）}\int^\infty_x（t-x）^{\mu-1}f（t）dt\quad\bigl（{\mathfrak R}（\mo）>0\bigr），\tag{7}\]分别假设函数（f（t））受到约束，从而存在（6）和（7）中的积分。还有分数阶导数的算子（{mathcal D}^ mu_{x；0}）和（{mathcal D}^ mu_{x；infty}）分别对应于分数积分算子（{mathcal R}^）和\[（{\mathcal D}^\mu_{x；0}f）（x）：={D^m\over dx^m}（{\mathcal R}^m-\mu}f）；m\in\mathbb｛N｝）\tag｛8｝\]和\[（{\mathcal D}^\mu_{x；\infty}f）（x）：={D^m\over dx^m}（{\mathcal W}^{m-\mu}f）（x）\四元（0\leq{\mathfrak R}（\mu）<m；\；m\in\mathbb{N}）。\标记{9}\]在分数阶微积分的文献中，还存在许多对算子（{mathcal R}^\mu）、（{mathcal W}^\mu）、、（{mathcal D}^\mu_{x；0}）和（{matlcal D}^\mu_{x，infty}）的进一步扩展和推广，为了本主题中的非专业人士，我们选择在这里介绍每一个算子。这本书是由一位应用数学家为分数微积分的潜在用户编写的。这本书的主题分为十章。第1章提供了后几章中使用的各种特殊函数的一些基本理论。在本章中，作者讨论了Gamma函数和Beta函数、Mittag-Lefler函数及其推广，以及Wright对经典Bessel函数（J_nu（z））和（I_nu（z））的常见扩展。关于查尔斯·福克斯（Charles Fox，1897-1977）的H函数的附加章节将为Mittag-Lefler和Wright函数提供一种统一的方法。第2章以清晰的方式介绍了分数微积分的概念，并介绍了分数导数（尤其是黎曼-卢维尔分数导数）的各种性质和特征。在第3章至第8章中，作者重点介绍了分数阶微分方程的理论和求解方法。特别是，第3章讨论了存在性和唯一性定理，第4章和第5章分别讨论了拉普拉斯变换和格林函数解的方法，第6章总结了基于梅林变换、符号微积分和正交多项式的其他方法，第7章和第8章分别介绍了分数阶导数的计算方面和求解分数阶微分方程的数值方法。最后，在第9章和第10章中，作者概述了分数微积分的各种应用，包括上面提到的一些应用。这本书包含一个附录，提供了有用的分数导数表，一个引用了多达259条参考文献的参考书目（其中大多数（如果不是全部的话）实际上是在书的正文中提到的），以及一个四页的索引。这绝不是第一本（或最后一本）关于分数微积分主题的书，但它确实会吸引数学、物理和工程科学家的注意力（并成功地满足他们的需要），这些科学家正在寻找分数微积分的应用。一、 因此，向所有分数微积分用户推荐这本写得很好的书。审核人：H.M.Srivastava（不列颠哥伦比亚省维多利亚市） 引用于11评论引用于6792文件 MSC公司： 34A25型 常微分方程分析理论：级数、变换、变换、运算微积分等。 26A33飞机 分数导数和积分 34轴 常微分方程的一般理论 34-01 关于常微分方程的介绍性说明（教科书、教程论文等） 关键词：分数阶微分方程;分数导数;存在;分数微积分;Riemann-Liouville算子;Weyl运算符;分数积分;唯一性 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{I.Podlubny}，分数微分方程。介绍分数阶导数、分数阶微分方程及其求解方法和一些应用。加利福尼亚州圣地亚哥：学术出版社（1999；Zbl 0924.34008）