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大卫·戈斯

函数域算术的基本结构。 （英语） Zbl 0874.11004号

Ergebnisse der Mathematik和ihrer Grenzgebiete。3.民俗. 35. 柏林：斯普林格。xiii，422页（1996年）。
自19世纪以来，人们就观察到数字场和函数场（尤其是紧致黎曼曲面上的有理函数场）之间的类比（Dedekind、Kronecker、Riemann、Weber），但现代故事始于E.Artin的《论文》（1923），其中，在具有有限常数场的函数场的范围内引入了代数数论的工具，明确了与经典情况的平行性（在后面，假设所有函数场都具有有限特征常数场）。
如果没有卡利茨在三十年代的作品，这本书就到此为止，接下来是两篇主要的论文D.海耶斯关于显式阿贝尔类场理论[Trans.Am.Math.Soc.189，77-91（1974；Zbl 0292.12018号); 高级数学。，补充螺柱6，173-217（1979；Zbl 0476.12010号)]也没有基本条款V.G.Drinfeld公司[功能分析应用10，107-115（1976）；翻译自Funkts.Anal.Prilozh.10，No.2，29-40（1976；Zbl 0346.14010号)]; Carlitz和Hayes为当代函数域的“代数数论”奠定了基础，Drinfeld为这些领域的自守和Langlands理论奠定了基础。
人们可以将函数场算法的现代处理分为以下几个主题：1）非阿贝尔类场理论和互易定律。2） Drinfeld模格式的模理论（这是具有正特征的“Shimura变种”），特别是对于维数2，并应用于函数域上的丢番图问题。3） 关于刚性解析函数及其某些值的超越性问题（如正特征中的\（j）-、Weierstrass-、zeta-和\（L）-函数…）；算法方面。4） 正特征中的代数算术（“代数数论”）（类数、由扭点生成的扩展、整数的伽罗瓦结构…）。5） Drinfeld模理论的内部问题和维度大于1的推广（如G.Anderson的T动机）。6） 特殊函数（伽玛函数、zeta函数和（L）函数…）的算术性质。
本书涉及第四到第六个主题（关于第一个主题，请参阅G.劳蒙【Drinfeld模块变种的同源性。第一部分，剑桥研究生高级数学41（1996；Zbl 0837.14018号)第二部分，剑桥研究生高级数学。56 (1997)]; 对于第二个，请参见E.-U.Gekeler公司【Drinfeld模数曲线，Lect.Notes Math.1231（1986；Zbl 0607.14020号)]，以及E.-U.Gekeler公司和M.逆转[J.Reine Angew.数学.476，27-93（1996；Zbl 0848.11029号)]；虽然目前还没有针对第三个主题的调查，但基本结果可以在Allouche、Brownawell、Denis、Yu……的论文中找到。）。
本书的第1章至第7章包含了当代函数域代数算法的所有基本材料和基本结果。Ore（加法）多项式、Carlitz模、Drinfeld模、T-moties、stukas，以及（在第7章中）Abelian扩张、循环扩张和“分圆”扩张的构造；这里解释了阿贝尔类场理论（如海耶斯所描述）。第八章是作者的zeta函数和L函数。这些函数的值位于（完全和代数闭合）域中，与基函数域具有相同的特征（p）。如今，人们并不知道这些函数的所有预期算术性质。例如，zeta函数不存在函数方程，但人们知道与黎曼zeta函数的经典性质相近的性质（作为整数值），似乎存在合理的零理论。第9章描述了伽马函数的两个概念（如前所述，特征值为（p））。第一个函数称为“算术伽马函数”，来自塔库尔。它有一个函数方程。给出并研究了高斯和和雅可比和的相似性。第二，“几何伽马函数”，来自作者；它具有一些函数关系。最后一章包含一些其他（相关）主题的快速描述。
除了具有正特征值的zeta、（L）和gamma-函数的理论外，本书还首次对函数场的现代代数算法的基本工具和性质进行了详尽的调查，这对于该理论的年轻研究人员和初学者来说是非常好的。这本书也充满了启发性的评论。提出了许多问题。
审核人：M.Reversat（图卢兹）

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引用于316文件

理学硕士：

11-02 与数论有关的研究综述（专著、调查文章）
2011年9月 Drinfel模块；高维动机等。
11时55分 有限域上多项式环的算法理论
11月24日 其他字符和和高斯和
11卢比 代数函数域的算术理论

关键词：

班级编号;伽马函数;矿石多项式;循环扩展;具有有限常数场的函数场;由扭转点生成的延伸;整数的伽罗瓦结构;T-动机;函数域的代数算法;Carlitz模块;Drinfeld模块;斯图卡人;阿贝尔扩张的构造;阿贝尔类场理论;\（L\）-函数;齐塔函数;高斯和;雅各比总和

引文：

兹比尔0292.12018;Zbl 0476.12010号;Zbl 0346.14010号;Zbl 0837.14018号;Zbl 0607.14020号;Zbl 0848.11029号
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\textit{D.Goss}，函数域算术的基本结构。柏林：施普林格（1996；Zbl 0874.11004）