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弗兰克·梅尔;扎格，哈特姆

型方程爆破剖面的稳定性^{p-1}u\). （英语） Zbl 0872.35049号

杜克大学数学。J。 86，第1期，143-195（1997）.
作者处理半线性抛物方程的以下Cauchy问题：\[{（*）}\qquad\qquad u_{t}=\增量u+|u|^{p-1}u，\quad u（\cdot，0）=u_{0}\ in H，\]其中，（u（t）：x\在{\mathbb{R}}^{N}\到u（x，t）\在{\ mathbb}R}\）和\（H=W^{1，p+1}（{\mathbb{R{}^{N}）\cap L^{infty}（}\mathbb{R}{N}）假设指数\（p\）是次临界的，即如果\（N\geq 3\），则\（1<p<（N+2）/（N-2），否则\（1<p<infty。）由于局部Cauchy问题\（（*）\）可以在\（H，\）中求解，众所周知的事实是，解\（u（t）\存在于\（[0，+infty），\）或\（[0，t）\（t<infty\）上。在最后一种情况下，\（u\）在时间\（T:|u|_｛H｝\to+\infty\quad\text｛as｝\quad T\ to T）爆炸。到目前为止，关于\（（*）：\）的解的爆炸行为有很多结果Y.吉加和R.V.科恩【公共纯应用数学42，第6期，845-884（1989；Zbl 0703.35020号)],菲律宾南部和R.V.科恩【公共纯应用数学45，第7期，821-869（1992；Zbl 0784.35010号)],J.J.L.Velázquez[美国数学学会第338卷，第1期，第441-464页（1993年；兹伯利0803.35015)],M.伯杰和R.V.科恩【公共纯应用数学41，第6期，841-863（1988；Zbl 0652.65070号)],M.A.Herrero先生和J.J.L.Velázquez【Differ.Integral Equ.5，No.5，973-997（1992；Zbl 0767.35036号)Ann.Inst.Henri Poincaré，Ana。Non Linéaire 10，No.2，131-189（1993；Zbl 0813.35007号)],J.布里克蒙特和A.库皮埃宁[非线性7，No.2，539-575（1994；Zbl 0857.35018号)].
本文的总体目标是研究爆破附近溶液的轮廓以及此类行为相对于初始数据的稳定性，为上述已知结果提供更基本的证明。作者的方法基于精细的几何考虑和先验估计技术。证明的主要结果可以总结如下。
定理1。存在着（T_{0}>0\），对于每一个带有（|g|_{L^{infty}}\leq（\log T）^{-2}，\）的\（T\ in（0，T_{0{]，\）和\（g\ in H\），我们都可以找到\（d_{0}\ in{mathbb{R}}\）和\（d_}\ in（d_#1}\ in}\mathbb}{R}{}}^{N}\）。b{R}}^{N}，\）初始数据的问题\（*）\）\[{u_{0}（x）=T^{-1/（p-1）}\left\{f（z）\left（1+{d_{0}+d_{1} z（z）}\在{p-1+{{（p-1）^{2}}\在{4p}}|z|^{2{}}\right）+g（z）\right\}上，z=（x-a）（|\log T|T）^{-1/2}，}\]有一个唯一的经典解\（u（x，t）\）定义在\（{\mathbb{R}}^{N}\times[0，t）\）上，并且
（i） \（u\）有且只有一个放大\（|u（a，t）|\到\ infty\）作为\（t\到t；\）
（ii）\（lim_{t\to-t}（t-t）^{1/（p-1）}u（a+（（t-t\[f（z）=\左（p-1+{{（p-1）^{2}}\上{4p}}|z|^{2{\右）^{-1/（p-1”}。\]定理2。设\（\hat u_｛0｝\）为定理1的初始数据。用\（u（t）\）表示带数据\（u{0}，\）的\（*）\的解，用\（t）和\（a）分别表示其爆破时间和爆破点。然后，在（H）中有一个（u{0}）的邻域（{mathcal V}），其属性为：对于（mathcal V，）（u（t））中的每一个在有限时间内爆炸的（t=t（u{0}）只在一个爆破点（a=a（u{0}，），其中（u（t）是初始数据的（*）的解。，\（u（t）\）在\（t（u_{0}）附近表现\)和\（a（u{0}）\），类似于\（u（t）：\）\[\lim_{t\to-t}（t-t）^{1/（p-1）}u（a+（（t-t\]关于\（z\ in｛\mathbb｛R｝｝^｛N｝\）一致。
审核人：D.帕拉加切夫（索非亚）

引用于5评论
引用于91文件

MSC公司：

35K55型 非线性抛物方程
35B40码 偏微分方程解的渐近行为
35K15型 二阶抛物方程的初值问题

关键词：

半线性抛物方程;放大附近的剖面

引文：

Zbl 0703.35020号;Zbl 0784.35010号;兹伯利0803.35015;Zbl 0652.65070号;Zbl 0767.35036号;Zbl 0813.35007号;Zbl 0857.35018号
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\textit{F.Merle}和\textit{H.Zaag}，数学公爵。J.86，No.1，143--195（1997；Zbl 0872.35049）
全文： 内政部

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