菲利普·格里芬。；詹姆斯·库尔布斯。 重对数的自归一化定律。 （英语） Zbl 0687.60033号 安·普罗巴伯。 17，第4号，1571-1601（1989）. 设（X_i:\）\（i\geq1\}\）是一个具有有限方差（sigma^2>0）的独立同分布实随机变量序列。重对数定律指出，在概率为1的情况下\[（S_n-nE X_1）/（2\sigma 2\log\log n）^{1/2}，\quad n\geq 1，\]为[-1,1]。这里\（S_n=X_1+X_2+…+X_n\）。本文将此结果推广到没有有限二阶矩的变量，特别是Feller类（{mathcal J}）中的随机变量，\[{mathcal J}=\{X:\limsup_{X\to\infty}X^2P[|X|>X]/E（X^2I（|X|\leq X）<U\}。\]定理陈述中的关键创新之处在于，不是用非随机值nE（X_1）和（（2σ^2 n log n）^{1/2}）进行规范化，而是用非随机中心常数（C_n）和^{无}_{1} X（X）^2_ i），是对（{X_1，X_2，…，X_n}）变化的随机度量定理1表明，如果X是高斯定律的吸引域，则EX存在，且概率为1的簇集为\[（S_n-nE X）/（2\log\log nV_n）^{1/2}\]为[-1,1]。每当E\（X^2<+\infty\）时，假定EX为0。定理2将定理1推广到指数稳定定律的吸引域中的X。在这种情况下\[[S_n-nE（X I（|X|\leq d_ n（\lambda）））]/（2\log\log nV_n）^{1/2}\]是\（[-k_ 1（X，\lambda）\），\（k_ 2（X，\ lambda。这里，（d_n（\lambda）=d（\lampda n/\log\log n），（d（t）=\inf\{s\geq b+1:K（s）\leq 1/t}），（b=\inf\{x\geq 1:\四K（x）>0}^{-2}东（X^2I（|X|\leqx））、\）和\（k_i（X，\lambda）\）是严格的正常数（对于\（\lambda\）大），因此\[\lim_{\alpha\uparrow2}\sup k_i（X_1\lambda）=1，\quad and \quad\lim_}\alpha\ uparrow 2}\inf k_i。\]上面的上确界和下确界在适当的吸引域中占据了所有X。如果E（X）存在，则定理2的中心可以替换为n E X。这是定理3的结果，即{mathcal J}中的X。如果X也满足\[\limsup_{x\to\infty}G（x）/K（x）<θ<1，\]则E\（|X|<+\infty\）和\（（S_n-nE X）/（2\log\logn V_n）^｛1/2｝\）的簇集几乎肯定是\（[-k_1（X），k_2（X）]\）。这里，\（k_i（X）\）是严格正的有限数，这样\（lim_{\theta\downarrow0}\supk_i上面的上确界被取而代之的是满足上面（theta）中的条件的所有（X在{mathcal J}中）。定理4包含了证明先前定理所需的主要技术结果。这表明几乎可以肯定\[\limsup_{n}[S_n-nE（X I（|X|\leq d_ n（\lambda）））]/（2\log\log nV_n）\quad ^{1/2}=C_1（X，\lambda）\]对于合适的常数\（C_1（X，\lambda）\）。这个结果的证明类似于LIL的通常证明，使用指数增加的子序列和随机变量块，但要困难和微妙得多。 引用于2评论引用于54文件 MSC公司： 2015年1月60日 强极限定理 关键词：Feller类；重对数定律；高斯定律的吸引域；簇集；稳定定律的吸引域 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{P.S.Griffin}和\textit{J.D.Kuelbs}，Ann.Probab。17，第4号，1571--1601（1989；Zbl 0687.60033） 全文： 内政部