奈杰尔·希钦。 黎曼曲面上的自对偶方程。 （英语） Zbl 0634.53045号 程序。伦敦。数学。Soc.，III.系列。 55, 59-126 (1987). 在这篇评论中，只能提到这篇非同寻常的论文中的一些美丽的想法和成果。设\（A\）是主\（G\）-丛\（P\）在\（\mathbb R^4\）上的连接，并且\（F（A）\in\Omega（\mathbb R^4；\mathrm｛ad｝（P））\）的曲率2-形式，值在\（\mathrm｛ad｝（P）\）中，向量丛与伴随表示相关。连接（A）满足自对偶方程当且仅当（F（A））在Hodge星算子（*：\Omega（\mathbb R^4；\mathrm{ad}（P））到\Omeca（\mathbb R^ 4；\mathrm{ad}（P））下不变。只考虑解在两个平移下不变，将方程降为二维。它们是共形不变量，因此可以定义在黎曼曲面上。这些方程在亏格（g）的紧致Riemann曲面（M）上的所有解的模空间（{mathcal M}）是近70页稠密信息的中心对象。利用拓扑、黎曼、代数和辛几何的方法研究了它的丰富结构。为了简化计算，只考虑主束（P）的群（G）是（mathrm{SU}（2））或（mathrm{SO}（3））的情况。（mathrm{SU}（2））的结果也给出了曲面（M）本身复杂结构的Teichmüller空间的信息。模空间是维数为（12（g-1）的光滑流形。它的自然黎曼度量是完备的，是超Kähler度量。证明了M是非紧的单连通的，并计算了它的Betti数。自对偶方程的解定义了\（M\）上的全纯秩-2向量丛\（V\），以及\（\mathrm｛End｝\，V\otimes K\）的全纯部分\（\Phi\），其中\（K\）是\（M\）的正则丛。如果任何（Phi）不变子丛的阶数必须小于（V）阶数的一半，则这种对（（V，Phi））称为稳定子丛。证明了由解产生的对必然是稳定的，反之亦然：对于每个稳定的对，都存在自对偶方程的解-唯一模幺正规范变换。正是解与稳定对之间的这种对应关系为研究模空间（{mathcal M}）提供了基础。固定一个复数结构后，超Kähler流形（{mathcal M}）以全纯方式成为辛流形，并可视为代数完全可积哈密顿系统。（{mathcal M}）上的其他复杂结构使其成为Stein流形。因此，可以考虑将复杂连接与对关联的映射\（A，\Phi）\到A+\Phi+\Phi ^*\。如果这对连接是由自对偶方程的解产生的，那么它是平坦的，如果解是不可约的，则它是不可约化的S.K.唐纳森同上，127–131（1987年；Zbl 0634.53046号).作者没有试图给出对偶方程的显式解。但他确实对解的模空间进行了有趣的描述，并对其中包含的有趣数学进行了精彩的概述。审核人：S.蒂曼 引用于60评论引用于645文件 MSC公司： 第53页第18页 广义几何（a-la Hitchin） 53元人民币 厄米特流形和卡勒流形的整体微分几何 37J99型 有限维哈密顿和拉格朗日系统的动力学方面 32-02 关于几个复杂变量和分析空间的研究综述（专著、调查文章） 53-02 与微分几何有关的研究博览会（专著、调查文章） 32国集团15 黎曼曲面的模，Teichmüller理论（多变量的复杂分析方面） 30楼30 黎曼曲面上的微分 53二氧化碳 联系（一般理论） 关键词：主G束上的连接;自对偶性;模空间;紧致黎曼曲面;Teichmüller空间;复杂结构;超卡勒度量;稳定对;辛流形;斯坦因流形;复杂连接 引文：Zbl 0634.53046号 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{N.J.Hitchin}，程序。伦敦。数学。Soc.（3）55，59-126（1987；Zbl 0634.53045） 全文： 内政部