罗杰·卡特。 Lie型有限群。共轭类和复杂字符。 （英语） Zbl 0567.20023号 纯数学和应用数学。Wiley-Interscience出版物。奇切斯特-纽约等：John Wiley and Sons。十二、 544页42.50英镑（1985年）。 正如标题所示，正在审查的这本书涉及共轭类和Lie型有限群的表示理论。设G是定义在有限域上的连通约化代数群，F是G的Frobenius态射，以及（G^F）F-不动点的有限群。用这种方法得到的有限群是李型群。这些群继承了代数群G的一些结构，特别是它们有一个带Weyl群W的分裂BN-pair，其中B是包含F-固定最大环面T（这种环面称为最大分裂）、（N=N（T））和（W=N/T）的F-固定Borel子群。因此，本书在第1章开始时阐述了代数闭域上的代数群理论（没有证据）。第二章给出了BN-pair公理，并导出了一些结果，包括抛物子群的交集模式。第三章通过描述G中最大环面的（G^F）共轭类的分类，延续了基本材料；它们与W的F-共轭类是双射的。随着Harish-Chandra和T.A.施普林格[见有限群中尖峰形式，Lect.Notes Math.131，C1-C24（1970；Zbl 0263.20024号)]. 一个更令人兴奋的突破是在P.迪林和G.卢斯提格1976年[Ann.Math.，II.Ser.103，103-161（1976；Zbl 0336.20029号)]. 设T是如上所述代数群G的任何F-不动点极大环面。然后，对于（T^F）的任何字符\（θ\）（即同态为\（\bar Q^*{ell}\），对于不等于有限域特征的素数\（\ell\），Deligne和Lusztig（loc.cit.）定义了一个虚表示，或等价地，通过使用\-旗簇的某些子簇的根上同调。这些字符具有预期的正交性，实际上，除非成对（T，（θ），（T'，θ）'）通过“几何共轭”相关，否则（R^G_T（θ。如果（G^*）是与G对偶的群，则对（T，（θ））的几何共轭类与（G^{*F}）的F-稳定半单共轭类是双射的。几何共轭和对偶的概念在第4章中解释。如果（θ）处于“一般位置”，则（R^G_T（θ。假设\（ell\）-adic上同调的基本性质（见附录），作者在第7章推导了Deligne-Lusztig字符的这些性质。在第八章中，他描述了（当G的中心相连时）某些有理线性组合（R^G_T（θ）），这些组合被证明是不可约字符，他称之为半单字符和正则字符。在每一个几何共轭类中都有一个半单字符和一个正则字符，正则字符是出现在Gelfand-Graev表示中的字符，这也将在本章中进行描述。Harish Chandra理论指出，G的不可约表示以以下方式分为族：如果\（\rho\）是\（G^F\）的不可约特征，则\（\rho\）是诱导特征的组成部分\（Ind^{G^F}_{P^F}（\tau）\），其中\（\tau）是抛物子群的回调\（P^F\）（P^F）的Levi因子（L^F）具有“尖点”特征，而这对（L，（tau））在（G^F）共轭之前是唯一的。该理论与Deligne-Lusztig理论的联系在于，如果（θ）在一般位置是（T^F）的一个特征，那么不可约（直到符号）特征（R^G_T（θ。这些结果在第9章中进行了描述。因此，Harish-Chandra理论导致了对抛物子群的尖点特征进行分类和分解由尖点特征导出的特征的问题。R.B.霍利特和G.I.莱勒[发明数学.58，37-64（1980；Zbl 0435.20023号)]描述了这种诱导表示的自同态代数的结构，该理论在第10章中进行了描述。另一方面，Deligne-Lusztig理论自然导致了当（θ）不在一般位置时分解（R^G_T（θ。作为第一步，我们可以取\（θ=1\），然后\（R^G_T（1）\）的成分是单幂字符。在1977年开始的一系列论文中，Lusztig逐个对单能字符进行分类，识别尖点字符，并分解（R^G_T（1））（在某些情况下，对于大q）。对于经典组而言，这项工作于1982年完成。最后，在《有限域上约化群的特征》（Ann.Math.Stud.107，1984；Zbl 0556.20033号)]当G有一个连通中心时，他给出了所有R^G_T（θ）的分解。在这项工作中，他使用了Goresky和MacPherson定义的交集上同调理论。这项工作的一个结果是，（G^F）的不可约字符与（G^{*F}）-共轭对类（s，（\phi））成双射关系，其中s是（G^{*F{）中的半单元素，而（\phi\）是（C_{G^*}（s）的唯一字符，从而产生字符的“Jordan分解”。Lusztig的分类表明，unipower字符以一种显著的方式归入家族。当G是F-分裂且（φ）是W的不可约特征时，设（Rw\）为（R^G{T_W}（1）\），其中（T_W\）是通过（W\ in W\）扭转从最大分裂环面获得的环面，且设（R{phi}=（1/|W|）sum{W}\phi（W）R_W\）。（在扭曲情况下也有类似的定义。）然后分解\（R_｛\phi｝\）就足够了，Lusztig的结果表明\（R_｛\phi｝\）的成分都在同一家族中。分解由“傅里叶变换”矩阵描述。这些结果在第12章和第13章中描述，没有证明。这两章中描述的其他主题包括Weyl群的单元、Unipower类和Weyl组表示之间的Springer对应，以及由于前面提到的Lusztig而导致的不可约字符的Jordan分解。第11章讨论了Coxeter群的表示，为第12章做准备。对于共轭类，标准参数将共轭类的分类问题简化为半单类和幺正类的分类。Springer在G的李代数中的幂零簇和G中的单幂零簇之间定义了一个G-等变双射，从而我们可以看到G在李代数中幂零簇上的轨道。Springer和Steinberg在特征足够大时，利用Jacobson-Morozov定理，通过加权Dynkin图对这些G轨道进行了分类。作者和Bela利用Richardson的结果给出了另一种方法。这两种理论都在第五章中进行了描述。小素数的情况也在没有证明的情况下进行了描述，这是对文献的有益补充。最后，本文还使用Deriziotis的几何方法描述了半简单类。作者在第5-10章中仔细、详细地讨论了单幂共轭类和表示理论，包括Deligne-Lusztig的论文和Howlett-Lehrer的结果。第13章中的表格和其他信息以及广泛的参考书目也将对该领域的工作人员有用；例如，所有特殊群体的“普通学位”都是首次在一个地方获得的。在后面的第11-12章中，他描述了Lusztig关于单能字符和分解（R^G_T（1））的深入结果，但用作者自己的话来说，这里的论述非常粗略。审稿人认为，缺少的是这项深入工作中所涉及的证明和思想的迹象。令人失望的是，没有提到最近在计算格林函数方面的工作，格林函数在组的字符表中起着重要作用。然而，总的来说，这本书是一个最有价值的信息来源，并且是为Lusztig（loc.cit.）这本讲述了整个故事的书做了很好的准备。审核人：B.斯里尼瓦桑 引用于8评论引用于826文件 MSC公司： 20G05年 线性代数群的表示理论 2002年2月20日 与群论有关的研究综述（专著、调查文章） 20世纪10年代 线性代数群的上同调理论 20G40型 有限域上的线性代数群 14层35 经典群（代数几何方面） 17B35型 泛包络（超）代数 关键词：共轭类;Lie型有限群的表示理论;连通约化代数群;Frobenius态射;有限F-不动点群;BN-对;Weyl群;Borel子组;最大环面;抛物子群的交集;实际的代表;广义特征;\（\ ell\）-adic上同调;旗帜品种;几何共轭;约旦分解;unipower元素;分隔符-Lusztig字符;不可约字符;正则字符;Gelfand-Graev表示;尖角字符;唯一字符;交集上同调;施普林格通信;Coxeter群的表示;Dynkin图;参考文献;特殊群体;字符表 引文：Zbl 0263.20024号;Zbl 0336.20029号;Zbl 0435.20023号;Zbl 0556.20033号 PDF格式BibTeX公司 XML格式 整数序列在线百科全书： n×n有符号置换矩阵群的不可约表示的最大度。